29.2 圆的有关性质（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2 圆的有关性质 （第 2 课时） 人教版 · 数学 · 九年级上册 授课教师：__________ 班级：__________ 课时：1 课时 学习目标 目标 1. 理解圆的旋转对称性和圆心角的概念。 2. 掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，并能运用它们进行计算与证明。 3. 经历“旋转—重合”的探究过程，体会利用旋转变换研究圆的性质的方法。 课前复习 复习 1.（填空）＿＿＿＿于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的＿＿＿＿条弧。 1.（填空）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的＿＿＿＿条弧。 1.（填空）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.（填空）28.2 节学过，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形 　　能与原来的图形重合，那么这个图形叫做＿＿＿＿对称图形。 　　能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 一、探究圆的旋转对称性（课本P125） 探究 1.（填空）圆是＿＿＿＿对称图形，＿＿＿＿就是它的对称中心；不仅如此， 1.（填空）圆是中心对称图形，＿＿＿＿就是它的对称中心；不仅如此， 1.（填空）圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心；不仅如此， 　　把圆绕圆心旋转＿＿＿＿角度，所得图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形。 　　把圆绕圆心旋转任意角度，所得图形都与原图形重合，即圆是旋转对称图形。 2.（填空）圆上各点绕圆心旋转后仍落在＿＿＿＿上， 2.（填空）圆上各点绕圆心旋转后仍落在圆上， 　　这就是利用旋转研究＿＿＿＿与＿＿＿＿关系的依据。 　　这就是利用旋转研究圆心角与＿＿＿＿关系的依据。 　　这就是利用旋转研究圆心角与弧、弦关系的依据。 二、圆心角的概念（课本P125） 概念 1.（填空）我们把顶点在＿＿＿＿的角叫做圆心角。 1.（填空）我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。 2.（思考）（课本P126）如图29.2-3，在⊙O中， 　　当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的 　　弧与弦有什么关系？把∠AOB连同弧绕圆心O 　　旋转，使射线OA与OA′重合。 ∵∠AOB＝∠A′OB′，∴射线OB与OB′重合； 又OA＝OA′，OB＝OB′，∴点A与A′重合，点B与B′重合。 于是与重合，AB与A′B′重合， 即＝，AB＝A′B′。也就是说， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 三、圆心角定理及其推论（课本P126） 定理 1. 定理：（填空）在＿＿＿＿或＿＿＿＿中， 1. 定理：（填空）在同圆或＿＿＿＿中， 1. 定理：（填空）在同圆或等圆中， 　　相等的圆心角所对的＿＿＿＿相等，所对的＿＿＿＿也相等。 　　相等的圆心角所对的弧相等，所对的＿＿＿＿也相等。 　　相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 几何语言（如图29.2-3）：∵∠AOB＝∠A′OB′， ∴＝，AB＝A′B′。 想一想：两个圆心角、两条弧、两条弦共三组量， 　　在同圆或等圆中，如果其中一组量相等， 　　那么其余各组量也怎样？ 其余各组量也对应相等。即“等圆心角⇔等弧⇔等弦”， 三组量中有一组量相等，其余各组量也对应相等。 三、圆心角定理 · 推论1、推论2 推论 2. 推论1：（填空）在同圆或等圆中，如果两条＿＿＿＿相等， 2. 推论1：（填空）在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 　　那么它们所对的＿＿＿＿相等，所对的＿＿＿＿也相等。 　　那么它们所对的圆心角相等，所对的＿＿＿＿也相等。 　　那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等。 符号表示：∵＝，∴∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′。 3. 推论2：（填空）在同圆或等圆中，如果两条＿＿＿＿相等， 3. 推论2：（填空）在同圆或等圆中，如果两条弦相等， 　　那么它们所对的＿＿＿＿相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 　　那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 符号表示：∵AB＝A′B′，∴∠AOB＝∠A′OB′，＝。 四、例题精讲 · 例2（课本P126） 例题 例2　如图29.2-4，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°。 　　求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 证明：∵在⊙O中，＝， ∴AB＝AC（等弧对等弦），△ABC是等腰三角形。 又∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形， 可得AB＝BC＝AC。 ∵在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC。 方法归纳 · 五、课堂练习（课本P126） 方法归纳 方法归纳：在同圆或等圆中，“等圆心角⇔等弧⇔等弦”可以相互转化。 解题时要先分清相等的是圆心角、弧还是弦，再选择相应的转化方向， 实现弧与弦之间的灵活转换。 1.（课本P126练习1）如图，AB、CD是⊙O的两条弦。 (1)如果AB＝CD，那么＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿； (1)如果AB＝CD，那么＝、＿＿＿＿＿＿； (1)如果AB＝CD，那么＝、∠AOB＝∠COD； (2)如果＝，那么＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿； (2)如果＝，那么AB＝CD、＿＿＿＿＿＿； (2)如果＝，那么AB＝CD、∠AOB＝∠COD； (3)如果∠AOB＝∠COD，那么＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。 (3)如果∠AOB＝∠COD，那么＝、＿＿＿＿＿。 (3)如果∠AOB＝∠COD，那么＝、AB＝CD。 五、课堂练习 · 第1题(4) 练习 (4)如图，如果AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F， 　　那么OE与OF相等吗？请说明理由。 　　（提示：由垂径定理，AE＝＿＿AB，CF＝＿＿CD， 　　得AE＿＿CF；再连接半径OA、OC， 　　用“＿＿”定理说明Rt△OEA≌Rt△OFC。） 解：OE＝OF。理由：由垂径定理， AE＝，CF＝； 又AB＝CD，∴AE＝CF。连接OA、OC，则OA＝OC。 在Rt△OEA和Rt△OFC中，OA＝OC（斜边）， AE＝CF（直角边），由“HL”定理， 得Rt△OEA≌Rt△OFC，∴OE＝OF。 五、课堂练习 · 第2题（计算） 计算 2.（课本P126练习2）（计算）如图，AB是⊙O的直径， 　　＝＝，∠COD＝35°。求∠AOE的度数。 解：∵＝＝， ∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝35°（同圆中等弧对等圆心角）。 ∴∠BOE＝3×35°＝105°。 又AB是直径，∠AOB＝180°， ∴∠AOE＝180°−105°＝75°。 五、课堂练习 · 第3题（证明） 证明 3.（课本P126练习3）（证明）如图，OA、OB、 　　OC是⊙O的三条半径，＝， 　　M、N分别是OA、OB的中点。求证：MC＝NC。 证明：∵＝，∴∠AOC＝∠BOC （同圆中等弧对等圆心角）。∵OA＝OB， M、N是OA、OB的中点， 又OC＝OC，在△OMC和△ONC中， OM＝ON，∠MOC＝∠NOC，OC＝OC， ∴△OMC≌△ONC（SAS），∴MC＝NC。 五、课堂练习 · 第4题（填空） 练习 4.（填空）在⊙O中，圆心角∠AOB＝60°， 　　⊙O的半径为3 cm，则弦AB的长为＿＿＿＿cm。 　　⊙O的半径为3 cm，则弦AB的长为3cm。 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C。由垂径定理， AC＝。在Rt△OAC中，∠AOC＝＝30°， AC＝OA·sin30°＝3×＝1.5 cm， ∴AB＝2AC＝3 cm。又OA＝OB且∠AOB＝60°， △OAB是等边三角形，AB＝OA＝3 cm。故填3。 五、课堂练习 · 第5题（计算） 计算 5.（计算）在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB＝120°， 　　⊙O的半径为5 cm。求圆心O到弦AB的距离。 解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，连接OA。 由垂径定理，AC＝。 ∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB， ∴∠AOC＝60°。在Rt△OAC中， OC＝OA·cos60°＝5×＝2.5 cm。 因此，圆心O到弦AB的距离为2.5 cm。 六、课堂小结 小结 【填一填】（1）顶点在＿＿＿＿的角叫做圆心角； 【填一填】（1）顶点在圆心的角叫做圆心角； 　　（2）圆既是＿＿＿＿对称图形，又是＿＿＿＿对称图形； 　　（2）圆既是中心对称图形，又是＿＿＿＿对称图形； 　　（2）圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形； 　　（3）在同圆或等圆中，相等的＿＿＿＿所对的＿＿＿＿、＿＿＿＿都相等； 　　（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的＿＿＿＿、＿＿＿＿都相等； 　　（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、＿＿＿＿都相等； 　　（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦都相等； 　　两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量也＿＿＿＿。 　　两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，其余各组量也对应相等。 七、作业布置 作业 必做题：①课本P126练习第3题，写出MC＝NC的完整证明过程； ②在⊙O中，弦AB的长等于半径，求弦AB所对的圆心角的度数。 选做题：在⊙O中，圆心角∠AOB＝90°，弦AB的长为4 cm， 　　求⊙O的半径长。 ①证明过程见课堂练习第3题。 ②解：设⊙O的半径为R，则AB＝R，OA＝OB＝R。 　　∴△OAB是等边三角形，所求圆心角∠AOB＝60°。 选做：∵OA＝OB，∠AOB＝90°，△OAB是等腰直角三角形。 　　由勾股定理，AB²＝OA²＋OB²＝2R²，即4²＝2R²， 　　R²＝8，R＝2。因此，⊙O的半径长为2 cm。 下课啦！ 谢谢观看 · 同学们再见 学而时习之，不亦说乎 —— 课后记得复习巩固哦 $