29.3 课时1 弧长和扇形面积 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

29.3 弧长和扇形面积 课时1 弧长和扇形面积 22051 1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程. 2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算. 学习目标 22051 【问题1】半径为的圆，周长是多少？ O R 【思考】我们知道，弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分.想一想，如何计算圆周长？圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？由此出发，1°的圆心角所对的弧长是多少？°的圆心角呢？ 复习导入 22051 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° (1) 圆心角是180°,占整个周角的，因此它所对的弧长是_____________. (2) 圆心角是90°,占整个周角的，因此它所对的弧长是______________. (3) 圆心角是45°,占整个周角的，因此它所对的弧长是______________. = 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πR = = 新知讲解 22051 由此我们可以得出： O R 1° O R n° 1°的圆心角所对的弧长是_______，即______ ，于是， n °的圆心角所对的弧长为 新知讲解 22051 弧长公式： 注意： 1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中的意义：表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的 2.在弧长公式中，已知中任意两个量，都可求出第三个量. 归纳 22051 【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm) 分析： 管道的展直长度的长 典例精析 22051 【例1】制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm) 解：由弧长公式，可得弧AB的长 因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2 970（mm）. 答：管道的展直长度约为2 970mm． 典例精析 22051 弧、弧长、弧的度数之间的关系: (1)弧相等表示弧长、弧的度数都相等； (2)度数相等的弧，弧长不一定相等； (3)弧长相等的弧，弧的度数不一定相等；只有在同圆或等圆中，弧长相等的弧才是等弧. 归纳 22051 【练习】一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径R=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径绕轴心逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取3.14）？ · O A 解：设半径绕轴心逆时针 方向旋转的度数为n°. 解得 n≈90°. 因此，滑轮旋转的角度约为90°. 巩固练习 22051 如图，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对 的弧围成的图形叫作扇形.可以发现，扇形的面积除了与圆 的半径有关，还与组成扇形的圆心角的大小有关.在同圆或 等圆中，圆心角越大，扇形面积也就越大．那么，怎样计算圆半径为，圆心角为°的扇形面积呢？ O A B O A B 新知讲解 22051 【问题1】半径为的圆，面积是多少？ O R 【思考】由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分.想一想，如何计 算圆的面积？圆面积可以看作圆心角为多少度的扇形的面积？圆心角为1° 的扇形面积是多少？圆心角为°的扇形呢？ 新知讲解 22051 O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 圆心角占周角的比例=扇形面积占圆面积的比例 扇形的面积 = = = 新知讲解 22051 扇形面积公式： 注意： 1. 同样要注意公式中的意义：表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的 2.根据扇形面积公式和弧长公式，已知S扇形，l，n，R四个量中的任意两个，都可以求出另外两个. S扇形 归纳 22051 大小不变时，对应的扇形面积与 有关， 越长，面积越大. 圆心角 半径 半径 圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大. 圆心角 半径 圆心角 总结：扇形的面积与圆心角、半径有关. 【思考】扇形的面积与哪些因素有关？ 新知讲解 22051 比较扇形面积公式与弧长公式，你有什么发现？ O R n° S扇形 可以用弧长表示扇形的面积： S扇形 其中为扇形的弧长， R为半径. 新知讲解 22051 【例2】如图，水平放置的圆柱形排水管 道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截 面上有水部分的面积(结果保留小数点后两位) 【分析】水面高0.3 m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？ 线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C. 【分析】要求图中阴影部分面积，应该怎么办？ 阴影部分面积＝扇形OAB的面积－△OAB的面积. 典例精析 22051 解：如图，连接，，过点作弦的垂线，垂足为， 交于点，连接. ∵ ，=0.6，=0.3， ∴. ∴. 又 ， ∴ 是线段的垂直平分线. ∴. 典例精析 22051 在Rt△AOD中，OA=0.6 m，OD=0.3 m， ∴AD= m， ∴AB=2AD= m. 从而∠=60°，∠=120°. 则有水部分的面积： S=S△扇形OABS△OAB =×0.6² =0.12π ≈0.22 (m²). 典例精析 22051 弧长和扇形面积 弧长公式 面积公式 S扇形 S扇形 课堂小结 22051 2.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 1.已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为 . B 3.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB=45° ，则扇形AOB的面积为（　　） A．5π B．12.5π C．20π D．25π D 4π 当堂检测 基础 22051 4. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积. A B D C E 解：S＝S扇形OAB + SΔOAB 当堂检测 提升 22051 5.如图， △ABC是边长为a的等边三角形，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，以A，B ， C三点为圆心，为半径作圆，求图中阴影部分的面积. S阴影= S△ABC -S扇形FBD-S扇形ECD-S扇形FAE= S△ABC -3×S扇形 当堂检测 提升 22051 解：连接 AD . 由题意得：CD =，AC = a . ∴ AD == ∴S△ABC = BC×AD×= ， ∴S阴影 = S△ABC -3S扇形=×AD×BC-3× =- = 当堂检测 提升 22051 $