浙江省杭州第二中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

杭州二中高三年级2026学年第一学期10月月考 数学试卷 一、单选题 1若：为复数，二1-1+i,则=(） A.-1-i B.1-i C.-1+i D.1+i 2.“m<0”是“关于x的方程x2+2x+m=0有一正一负根”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.若圆C:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+(y-m)2=1无公共点，则实数m的取值范围是() A.（-o,-v3U(3,+o∞) B.（5,5) C.（-o,-1)U(1,+oo) D.（-1,1) 4.记s,为等差数列a}的前n项和，若和的公差为d(d>-4),且4=2，则a+的最小值为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 5.某中学从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，则选出的3人中既有男生又有女生的概率是() B. c.8 D. 6.已知直线l分别与曲线y=e+a和y=ex+a切于点A,B,且与x轴交于点C,若AC=CB,则a=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 7.已知函数f)=six+牙，若实数a,B满足：次∈R,不等式f)-f(a+f(,-f(B≥1恒成立，则la-月 的最小值为() A B c. 8.卫>0，抛物线C1:y=Px,C,:y°=2px的焦点分别为F,F,坐标原点O.过F的直线交C1点A,B,过F 的直线交C,点C,D,且RARB=RCRD=2,则气=() SAOCD B. C.2 D.4 二、多选题 9.已知函数f(x)=x2-2x,则() A.f(x)是偶函数 B.f(x)在(0，+oo)上单调递增 C.f(x)有3个零点 D.f(x)的最小值为-1 10.若随机变量X的取值为x,x2,,xm,且x1<x2<…<x,a,b,C为常数，下列说法正确的是() A.E(ax+b)=aE(X)+b B.D(ax+b)=aD(X)+b C.E(X-c≥D(X) D.(,j 11.四棱锥P-ABCD,底面是边长为1的正方形，如图为一种平面展开图，下列说法正确的是() A.RB⊥P4 B.RA+ED>√2 C.凹八边形APBPCPDP的周长大于4√2 D.若四棱锥P-ABCD各面不全等，则有45种不同的平面展开图 三、填空题 Ous馏-g5099:啡4y明pav晋'？p2 1B.已知双唐线器若-a0b>)的辛作距为c,若-红<0，刻它的高心车的取植的园足 14. mEN,)三的极值点为？AQ:Q》在直线y=k(x-0的下方，则k的最小值是 四、解答题 15.2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周.某中学举行了一次“垃圾分类知识竞 赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x(单位：分，得分取正整数，满分为 100分)作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，分为5组，得到 如图所示的频率分布直方图。 频率 个组距 0.035.-. (1)求图中a的值： 0.025 (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数. 0.020 0 5060708090100竞赛成绩/分 16.已知直三棱柱ABC-AB,C中各棱长均为l,P为AC中点. (1)求证：AB∥平面PBC: A B1 (2)求二面角C-BP-A的余弦值. : A B 17.已知函数f(x)=x+D ,x>0 (1)求f(x)的极值点： (2)若方程f(x)=m有两个不同的根x1,x2, (i)求m的取值范围： (ii)求xx的取值范围. 18.动点M(x,)与定点F(L,0)的距离和M到定直线x=2的距离的比是常数2，设动点M的轨迹为曲线C, 2 (1)求C的方程： (2)过点F作直线I与C交于A,B两点，线段AB的中点为D,O为坐标原点，直线OD与直线x=2相交于点E. ()若△BEF为等腰直角三角形，求l的方程； (i)求四边形OAEB面积的最小值. 19.定义函数f(x)(定义域为D,)的最大n元邻差和 Sn=,max为f(a)-f(a)川+|f(a)-f(a)川++|f(ai)-f(a)k a<a<<am 其中a,a,,an∈Dr,n≥2 (1)若函数f(x)=sinx,0≤x≤2π，请直接写出Sn. (2)若依次从点集K,={(i,)j=0,12,…,10}(i=0,1,2,10)中任取一个点折线相连得到函数f(x,0≤x≤10 (i)求满足S026=2的函数f(x)个数： (ii)求满足S3=20的函数f(x)个数. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A A C B A A ACD ACD ACD 1.B 【详解】两边同乘z-1,消去分母得z=1+i)z-1),展开得二=Q+)z-Q+i), 移项合并得z[1-1+)]=-1+i),即-iz=-1+i),则两边同时除以-i得 2手0+）1分实数化分子分母同莱以-i得0+加1D -i i(-i) 将二=1-i代入原方程分母z-1,得1-)-1=i≠0，分母不为零，解有效 2.A 【详解】方程x2+2x+m=0有一正一负根的等价条件：对于一元二次方程x2+bx+C=0(a≠0)有一正一负根， 只需满足两根之积二<0（此时判别式△=B-4c>0会自动成立）· 本题中=1，c=,因此两根之积为m,方程有一正一负根等价于<0. 由此可知：“m<0”和“方程有一正一负根”可以互相推出，因此是充要条件. 3.A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式 求解m的取值范围。 【详解】圆C:x2+y2+2x=0化为标准式：（x+1)2+y2=1, 圆心C(-1,0),半径片=1， 圆C2:x2+(y-m)=1,圆心C2(0,m),半径2=1， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距d=CC=V0+12+(m-02=Vm2+1, 若两圆外离，则d>片+5=2，即V1+m>2,解得m>√3或m<-V3; 若两圆内含，则d<-5=0,无解. 因此两圆无公共点的条件是(-o,-V5)U(3,+∞). 4.C 【分析】利用等差数列的通项公式、前项和公式得到a4+ 1=1+}6, 2+2a0t8+20设18+2d从丽有037 Sa 应用基本不等式求最小值. 【详解】已知等差数列{a}中a=2,公差为d(且d>-4) 由4=4，-d=2-d,4=4+2d=2+2d,3=4ga）=2a+a4, 2 所以S=x0e-小+2+2]-2+-=+2a,&寸-C+20+sa 设t=8+2d且d>-4,所以t>0,得2d=t-8,所以4=2+t-8)=t-6, 所以a*安-0+片626-4 当且仅当1=}即1=1时，即d=7时，取等号， 综上所述，a+3,的最小值为-4 5.B 【分析】根据题意，利用组合数的公式分别求得所有不同的选法，以及所求事件的基本事件的个数，结合古典概型 的概率计算公式，即可求解. 【详解】从4名男生和2名女生中任选3人参加社会公益活动，共有C=20种不同的选法， 若选出的3人中既有男生又有女生， ①当选出的3人中1男2女，有C4C=4种不同的选法： ②当选出的3人中2男1女，有CC=12种不同的选法， 所以选出的3人中既有男生又有女生，共有4+12=16种不同的选法， 则选出的3人中既有男生又有女生的概率为P=6=: -20-5 6.A 【分析】设点Ax,e1+a),B(x2,e+),利用导数求出两条曲线的切线方程，根据两条直线重合可得两条直线的 斜率截距均相等，从而可求得斜率k=1,再根据AC=CB可知C是AB中点，利用纵坐标关系列出方程解出a的值， 最后检验即可. 【详解】设点A(:,e+d,B(,e+), 由于y=e+a的导数y'=e,y=e+的导数y'=e+a, 故过A的切线为y-(e+a=e(x-x),即y=ex+e(1-x)+a, 过B的切线为y-e+a=e+a(x-),即y=et+ax+e(1-), eeta, 因此 e(1-x)+a=et(1-x2), 设e=eta=k,故x=x23+a,k(1-x)+a=k(1-为)， 故k(x2-x)=-a,故k(-a=-a,因此k=1, 由k=e=1得x1=0,所以A(0,1+a),进而x3=x-a=-a,所以B(-a,1), 因此切线的方程为y=x+1+a,令y=0,得C(-(1+a),0), 因为AC=CB,所以0=+0@+1，解得a=-2, 2 当a=-2时，A(0,-1),B(2,1),切线y=x-1,C(1,0), AC=(1,1),CB=(1,1),因此a=-2满足条件. 7.B 【分析】利用绝对值的几何意义，将恒成立条件转化为f()-f(B)21;通过换元简化函数，借助和差化积公式建 立不等式，结合三角函数的性质确定下界；最后验证等号能够成立，求得引α-B的最小值. 【详解】西领网=(+到的值城训。 设a=fa)=n(a+》b=0=sm(B+4到 则不等式|f(x)-a+|f(x)-bP1对任意x∈R恒成立， 根据绝对值几何意义，If(x)-a+|f(x)-b|的最小值为a-b,故需|a-b21. 令0=a+年p=B+行，则a-bHsn0-sing1,. 且|a-BH0-pl,需求|0-p|的最小值 由有空化积公式可测n0-n外2om”1, 因为eos9,9s1,所以2kin9,≥2l6os0+lm09≥1， 2 2 22 得sin 得9≥云（取最小正解），即0-2号 26 验证摄小值：当0=云p=名时、m0-号如p= 1 6 2 5如0-s血=1，且0-p叶号，满足条作 枚a-1H0-p的最小值为写 8.A 9.ACD 【分析】根据偶函数定义判断A,应用二次函数单调性判断B,结合零点定义计算判断C,应用二次函数最值判断 D 【详解】f(-x)=x2-2x=f(x),且定义域为R,f(x)是偶函数，A对： x>0时f(x)=x2-2x,在(0,1)上单调递减、(1，+o)上单调递增，B错： 令f(x)=0得x(x-2)=0,即x=0±2，共3个零点，C对： f(x)=(-2-1≥-1，当x=1时取等，D对. 10.ACD 【分析】应用期望和方差的性质判断A、B,由期望与方差的关系，并应用作差法比较大小判断C,由题设有 |X-+s立，再由D()=E(X-E(》]的实际意义判断D. 2 【详解】A:由期望的性质知E(aX+b)=aB(X)+b,正确， B:由方差的性质知D(aX+b)=aD(X),错误， C:(X-c)2]=E(X2-2cX+c2)=E(X2)-2cE(X)+c2,()=E(x)-[E(, 两式相减得[(X-c)]-D(X)=[E(X)]-2cE()+c2=(E(X)-C)≥0， 所以E[(X-c)]≥D(X)恒成立，正确， D:因为≤X,对于在密X的取做。布有x， 从而有-，：，周风x]s2-y. 因为D(X)=[(X-E(X)]是所有关于常数C的偏差平方期望[(X-c)]的最小值， 当且仅当c=B00时取等号，所以D(0≤(X-产了]s(心，分，正确 11.ACD 12.4V3-3 10 【分析】使用同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解. 【详解】由simA=，cosB1● 一2，可知B为钝角，AC为锐角， 4 所以cosM=5imB= 2 则mc-剧（白号95 13.4,2+V5) 【分析】根据题目条件和b2=c2-α2得到方程，求出离心率取值范围 【详解】b2-4ac<0,且b2=c2-a2,故c2-a2-4ac<0, 两边同除以a2得e2-4e-1<0,解得2-√5<e<2+√5， 因为e>1,所以离心率取值范围是1,2+√5) 14.e 15.(1)0.01 (2)中位数为78，平均数为76.5 【分析】(1)利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出a的值： (2)用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为0.5可得中位数. 【详解】(1)由频率分布直方图可知，10(a+0.020+0.025+0.035+a)=1,解得a=0.01 (2)由(1)知a=0.01.因此各组的频率分别为0.10,0.20,0.25,0.35,0.10， 对应这100名学生各组的人数分别为10,20,25,35,10， 各组的组中值分别为55,65,75,85,95， 则F=55x10+65×20+75x25+85×35+95×10=76.5, 100 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5. 由0.1+0.2+0.25=0.55>0.5可得中位数位于[70,80]，设为x, 侧0,1+02士0×025=05→x=78,即中位数为78 16.(1)连接B,C,交BC于点2，则9为B,C的中点. 连接PQ,因为P为AC中点，所以PQ/IAB, B 又PQC平面PBC,AB4平面PBC, 所以AB,II平面PB. (2)直三棱柱ABC-AB,C中AA⊥平面ABC, 三棱柱中各棱长均为1，所以△ABC为正三角形， 又P为AC中点，所以BP14C,且BP=3 如图所示，以PA,PB所在直线为x,y轴，以过P且平行于A4的直线为z轴建立空间直角坐标系， (o02000o0.c(-j00c(-j0) nA-G丽-9oc(a则 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 1 m:P4=2x+z=0 则 m-PB-3 =0 B 令x=2,则平面PAB的一个法向量为m=(2,0,-1) 设平面P℃B的法向量为n=(x,y,z）, n-PC=-x+2=0 2 则 n-PB=3 y=0 令x=2,则平面P℃B的一个法向量为n=(2,0,1): m风对日号 故二面角G-B即-A的余弦值为 I0时e0 22m0<<4 4 18.①。+y=1(20x=y+1或x=-y+16mS=2 2 【分析】(1)通过题目条件列出相应距离等式求解. (2)()通过联立直线l与椭圆方程后，利用韦达定理求解A,B坐标间的关系，表示出相应线段斜率求解垂直关系 后，通过线段长度相等求解；()通过将四边形面积转化为两个三角形面积之和以及点到直线距离公式求解面积 【详解】(1)由题意得， 兽等号p (2)()设直线AB为x=my+1,A(x,),B(x2,2), 联立椭圆方程可知，（m2+2)y2+2my-1=0, -2m 由韦达定理可知，+y2= m2+2’5= -1 m2+2 则4-2=V出+-4yy2= 4m2 42W2Vm2+1 (m2+2m2+2= m2+2 4 x+x32=m(y+2)+2= m2+2 因为D为点，所以D(兰，生)即成3m平) 21 一m-m 直线0D为y=受，x=2时，y=m,即E(2,m),所以直线F斜率为k=2 又直线4B斜率长-，kk=m-1,所以∠BFE恒为受所以当aBEF为等腰直角三角时，满足到B时=EF m m BF=V(x-}+号=Vm+=y小N1+m,EF列=V1-2}+m2=V1+m2, 若BF=EF,解得y2=1,即y2=±1. 当与=1时，兰+1P=1,解得，=0，所以0=m1+1,解得m=-1,直线1为x=-y+1. 2 当乃=-1时，立+1=1，解得x=0,所以0=m-1+1,解得m=1,直线1为x=y+1, 2 (i)可将四边形OAEB面积分为△OAB和△EAB 1 点O到B的距离4=+点B到B的距离4- m-1-mti, Vm2+1 lA=vm+1以-为=Vm+122m+1_22(m2+刊 m2+2m2+2） rwa4a气应a可寸ae 所以s最小值为√2，此时m=0. 19.(1)由三角不等式x-zx-y+|y-z可知在4,4，，4中插入缺失的极值点后邻差和不会减小， 若4,4x41,,4x+1在同一个单调区间，则 If(ax)-f(ax)+f(ax)-f(ax2)++f(ax-)-f(ax)Hf(ax)-f(axi), ∴Sm≤0-1+1-(-1)川+|-1-0卡4. 月≥4时凤a=0a,=号a1-3a=2x易知S=4, n-2时.s-万=-=受-f⑨-2. n=3时， 若a≥号$-1+1-0=3.取a-54- 3π 24=2π即可： 若asS0-1+1-(F3: 若a号4子则a)c0.a)(10. 令g(a)f(a)-fa)川+|fa)-f(a)川，则 ga)≤mx(ga）,g9,g(3》 =maxf(a)-f(a),1-f(a)+1-f(a),f(a)-(-)+f(a)-(-1)}<3. .S3=3. 综上所述，S= nn=2,3 4,n≥4 (2①)S26f(0)-f)+|f)-f(2)]+|f(9)-f10)=2, 设满足f(0)=m且S026=2的函数f()共有Tm种， 由10-f(x)也满足S2026=2知Tm=T10-m· T=C+2.C0=100,I=C10+3.C0=145,T3=T3=T4=T=2C10+4.C=200, 2=2-+7+3+7+2)+万=-1890 10 满足S2026=2的函数f()个数为1890. ()易知|f(a)-f(a)曰f(a)-f(a)=10,∴.f(a)=10-f(a)=f(a3)=0或10 函数f(x)共有111种，其中函数值不取0的有10种，不取10的有101种，0,10都不取的有91种. ∴.函数值0,10都取的共111-2101+91种， 在其中考虑反面，即所有的0在一侧，所有的10在另一侧. 设K,K1,,K1中共取了i个0或10,2≤i≤11，则不满足题意的取法有 22cCa09-2②cgC9） -2uCg2Cg =2×11-1+9y°-9）-1+91-9-11.910)》 =21010+2.911 111-2×101+91）-(2.1010+2-91）=111-2.1010-91. 满足S3=20的函数f(x)个数为111-22.100-91」