浙江省杭州高级中学2027届高三上学期9月阶段性检测数学试题

机密★考试前 2027届高三阶段性学习检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.若z=i(2-i),则z=() A.√5 B.2 C.5 D.4 2.命题“x∈R,x2+x-1>0”的否定是() A.Vx∈R,x2+x-1>0 B.x∈R,x2+x-1≤0 C.3x∈R,x2+x-1<0 D.3x∈R,x2+x-1≤0 A月 B.3 c.-22 D. 2W2 3 3 4.已知向量a,b满足a-b=2,2a+b=4,且(a-2b)1a,则同=() B. C.2 D.2 2 5.设△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,如果 (a+b+c)(a+c-b)=ac,且b=√3，那么△ABC外接圆的半径为() A.1 B.2 C.25 D.4 6,设)是定义在R上的偶离数且满足()=-，当x0引时， f)=2x+1,则/3 =() D. 3 7日斑A,》B(e,)两点均在双直线C:若茶=1a>06>0)的右支上，若 2027届高三阶段性学习检测（第1页共4页) xx2>yy2恒成立，则双曲线C的离心率的取值范围为() A.(（1,2) B.(1,2 c.(N2,+∞) D.[V2,+∞) 8.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点 R(x,),B(x,y2),,Pn(xn,yn),n∈N，每个点Dn均 P 在函数y=x2(x>0)的图象上.已知以点Pn为圆心的⊙P均 与x轴相切，⊙Pn与⊙P41外切，且x1<xn,则() A}是等北数列，且公比为 (化}是等比数列，且公比为号 B. 是等差数列，且公差为2 D 是等差数列，且公差为4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.已知正项等比数列{an}中41=2，a4=2a2+43,设其公比为9，前n项和为Sn,则 () A.9=2 B.an=2” C.S0<2025 D.an+an<an+2 10.已知双曲线C:X-上=1的左、右焦点分别为乃，5，P为双曲线C上一点，则下 列说法正确的是() A.双曲线C的离心率e=√5 B.PE·P瓦的最小值为-√ C.若PR⊥PE,则△PFE的周长为2(V3+V5) D.双曲线C上存在不同两点M,N关于点2(1,1)对称 11.已知定义在R上的函数f(x)不是常数函数，且f(2x)+f(x+y)f(x-y)=0,则 () A.f(0)=-1 B.f(x)f(-x)=2 c.f(3)=[f] D.f(x)+f(-x)≤-2 2027届高三阶段性学习检测（第2页共4页) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 展开式中x2项的系数为 13. 在三棱锥ABCD中，对棱AB=CD=22,AD=BC=V5,AC=BD=√5，则该 三棱锥的外接球体积为 ,内切球表面积为 14已知双钱C号-茶-e>06>0叭，其左充怎点分为5(50叭，B(0）, 点P是双曲线右支上的一点，点I为△PFF2的内心（内切圆的圆心），P7=xP瓦+yPE, 若∠FPF=60°，y=3x,则△PFE的内切圆的半径为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. l5.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知b2-a2=ac (1)求证：B=2A; (2)若△ABC是锐角三角形，求口的取值范围. 16.将函数f)=0s(3x-)0<p≤买的图象向左平移”个单位长度后得到函数g)的 2 P 图象，且8) (1)求p; π23元 (2)求函数g(x)与f(x)的图象在区间 内的交点横坐标. 2472 17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，PA⊥底面 ABCD且PA=2,∠ABC=90°，AB/1CD,AB=2CD=2,E,F分 别是线段PD,AC的中点. (1)证明：EF//平面PAB; (2)若平面PEF与平面CEF夹角的余弦值为√1 21 ,求BC; (3)在(2)的条件下，求点A到平面PEF的距离. 2027届高三阶段性学习检测（第3页共4页) 圆C:+红a>b>0)的离心率为，FL,0是C (1)求椭圆C的标准方程： (2)已知点A,B是C上的两点，且∠AFB=90°. (①)设直线AB的斜率为-，求直线4AB的方程 (ii)求△ABF面积的最大值与最小值. 19.已知函数f(x)=x+sinx-axcosx. (1)若x=2π是f(x)的一个极值点. (i)求a的值： (i)判断∫(x)在x=2π处取得极大值还是极小值，并说明理由； (②)若对任意x0引f()20恒成立，术a的取值范国。 2027届高三阶段性学习检测（第4页共4页)2027届高三阶段性学习检测数学 参考答案及评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.C 4.C 7.B 2.B 5.A 8.C 3.B 6.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9.A,B,D 10.A,C 11.A,C,D 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.-40 13.3:π 14.4W3-2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15.（1)证明：由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accosB, 代入b2-a2=c,得ac=c2-2 accosB, 则a=c-2 acosB, 由正弦定理，得sinA=sinC-2 sinAcosB 所以sinA=sin(A+B)-2 sinAcosB, sinA sinAcosB cosAsinB-2sinAcosB cosAsinB-sinAcosB, 得sinA=sin(B-A) 由b2-a2=ac>0,知b>a, 则B>A, 所以A=B-A或A+(B-A)=π（舍去）， 则B=2A. (2)解：解法1：因为C=π-3A, 由0<A<,0<2A<7,0<π-3A<2 得船<A<军 1/7 所以好<snA<竖呢===器=m而 sinA sinA sinA sinAcos2A+cosAsin2A sinA sinA sinA(2cos2A-1)+2cosAsinAcosA -sinA+4cos2AsinA sinA sinA 1 sinA+4(1-sin A)sinA3sinA-4sin3-4sin"A' 好<sinA<号。 得号<sin2A<21<4sim2A<2, 所以1<3-4sin2A<2, 则3e位.小 所以∈(G,1) 解法2：由b2-a2=ac, 得=食-1-( ）-1=4c0s2A-1, 因为躬<A<军， 所以竖<eosA< 得2<4cos2A<3, 所以1<4c0s2A-1<2, 则1<<2， 所以e(,) 16.(1)解：由题意，则函数g(x)的图象经过点（保，-》 所以函数f的图象经过点（保+召，-》， 则(g,-)代入fx)=cos(3x-p)中， 得cos(3xg-p)=-2》 所以0s(贤-p)=-2 2/7 0<p≤受得受≤晋-p<资 所以罗-p=要， 解得印=兴 (2)解：由(1)得，f四=c0s(3x-) mg(x)=f(x+)=cos[3(x+=cos(3x-2) 令f(x)=g(x), cos(3x-)=co5(3x-). 则3x-署+3x-=2kmke2)或3x--(（3x-)=2kmke2) 解得x=+g(k∈2)或-暂-2km(k∈)（舍去）， 当k=-1时，x=3年贤2 当k=0时，x-1∈贤 当k=1时，x-紧贤别 所以函数gx)与f)的图象在区间贤内的交点横坐标为}器 144 17.(1)证明：如图，取AB的中点G,连接CG,DG,PG, 因为AB/CD,AB=2CD, 所以AG/CD,AG=CD, 则四边形AGCD是平行四边形， 所以对角线AC与DG相交于点F, 则F是DG的中点， 所以EF是△PDG的中位线， 则EF/PG, 又因为EF2平面PAB,PGc平面PAB, 所以EF/平面PAB. (2)解：以G为坐标原点，GD,GB,AP的方向分别为x,y,z轴的正方向建立如下图所 3/7 示的空间直角坐标系， B 设BC=b, 则点P0,-1,2),D6,0,0),E(位，-2,1，F3,0,0),c61,0), 所以E乎=(0,2，-1)，PF=(1,-2),F元=(，1,0) 设平面PEF的一个法向量为m=(x,y,z), m,F=》-z=0 则 品pr=x+y-2z=0 令z=1,得平面PEF的一个法向量为m=(0,2,1). 设平面CEF的一个法向量为元=（x,y,z), 由 元：EP=y-z=0 元：FC=2x+y=0 令z'=b,得平面CEF的一个法向量为元=(-4,2b,b). 因为平面PEF与平面CEF夹角的余弦值为1O5, 21 所以o成1=周器=、 15b V105 21, 516+5b2 解得b=1（负值舍去)， 则BC=1. (3)解：由(2)得，点A(0,-1,0),F(,0,0) 则F=(,1,0), 4/7 所以，点A到平面PEF的距离为厘m_x0+1X2+0X1_25, m √5 5 c 1 18.(1)解：由题意可得 2' 解得a=2,c=1,b=Va2-c2=V3, c=1, 故椭圆C的方程为2+y2 4+3=1: (2)解：(i)设A(x1y1),B(x2,y2),直线AB的方程为：y=-x+m, 3 3 y=-2x+m 联立 +号=1 ,消去y整理得：3x2-3mx+m2-3=0, 由=9m2-12(m2-3)>0,可得-23<m<2V3, 由韦达定理，+红=mx2=m, 则y2=(-x1+m(-2+m）=12-2m+2+m2=m29(*), A 因为AFB=90°，所以AFB=(1-1)(x2-1)+yy2=0, 即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0, 将()，(*)代入整理得：7m2-12m-27=0,解得m=3或-号 经检验m=3或-号都满足-2W3<m<2V3, 故直线AB的方程为：y=-多x+3或y=-多x-号 9 (ii)不妨设1FA=r1,IFB|=T2,∠AFx=,则∠BFx=270°-， A(1+rcosa,rsina),B(1+rzcos(2700-a),rzsin(270-a)), 因为点A在椭圆上，所以1+打c0sa+C1sne-1y 4 3 3 3 整理得(4-cos2a7+6c0sa1-9=0,解得n1=2+0sa或r1=-2-c0s (负值 舍去)， 同理可得：T2=2-stna 3 1 3 3 9 故SAABF=2r1r2=互×2+cosa×2-Stma=8-4 sina--cosa)网-2 sinacosa' 令sina-cosa=t,则2 sinacosa=1-t2,且t=V2sin(a-∈[-V2,V2], 9 9 9 则5Aa8F=8-4t-(1-巧-2-4t+7(t-2)2+3 5/7 因y=(t-2)2+3在[-V2,2]上单调递减，故9-4W2≤(t-2)2+3≤9+4W2, 故g7≤5aMr≤g即81-62 SAAWF≤16- 9 49 49 当t=-V2时，即a=7时，SABr=81+362, 49 当t=V2时，即a=时.SAAe-8162, 4 49 △ABF面积的最大值为81+36Z,最小值为81-362 49 49 19.(1)解：(i)函数f(x)=x+sinx-axcosx,求导可得f(x)=1+cosx-acosx+ axsinx, 所以f(2m)=2-a=0,解得a=2; (ii)a=2,f(x)=x+sinx-2xcosx,f'(x)=1-cosx +2xsinx, g(x)=f'(x)=1-cosx+2xsinx,:g'(x)=3sinx +2xcosx, 当x∈（告，1）时，g(=c0sx(3anx+2,cosx>0,函数y=3anx+2x在 (名，）上单调递增， 则3tanx+2x>-V3+号">0，g)>0, 所以g()在区间（名，1四）上单调递增，即f)在区间(（名，1）上单调递增， 所以xe(g,2mf<f2m=0, 当x∈(2π，182）时，f)>f(2m=0, 所以f(x)在x=2π处取得极小值，其极小值为-2π， 同时也说明了(i)中a=2符合题意； 6/7 (2)解：当a≤0时，显然对任意xe[0,,f(x)=x+sinx-axcosx≥0， 当0<a≤2时，xe[0,,f'(x)=1+(1-a)cosx+axsinx≥1-cosx+axsinx≥0， 所以f(x)在0，上单调递增，f(x)≥f(0)=0, 当a>2时，令h(x)=f'(x)=1+(1-a)cosx+axsinx,,xe[0,引， 则h'(x)=(2a-1)sinx+axcosx≥0， 所以f(x)在[0，上单调递增，而f(0)=2-a<0,f(份=1+a>0, 所以存在xo∈(0，罗)，使得当x∈(0，xo)时，有f()<0, 此时f(x)在(0，xo)上为单调减函数，从而f(x)<f(0)=0, 故f(x)恒大于等于0不成立， 综上所述，实数a的取值范围为a≤2. 7/7