精品解析：黑龙江大庆市外国语学校2026-2027学年九年级上学期第一次阶段学情自测数学试卷

大庆外国语学校 初四年级数学学科第一次月考试卷 考试时间：2026年9月30日 答卷时间：120分钟 卷面分值：120分 一．选择题（共30分）： 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 3. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图是自动扶梯的截面．的长为k米，与的夹角为，则高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共24分） 11. 在中，均为锐角，且满足，则___________． 12. 抛物线与轴交于两点，分别是是，则的值为__________． 13. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 15. 如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为________海里．（结果保留根号） 16. 已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 17. 如图，分别过点作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点，则_______． 18. 定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 下列说法正确的序号是_______． ①函数的“不动点”为和； ②二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； ③若二次函数的图象上存在两个“不动点”、，若，则； ④已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象，若新的函数图象上恰有3个“不动点”，则的值为或． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求： （1）线段的长； （2）的正切值． 22. “绿水青山就是金山银山！”，大庆碳中和生态园大力发展生态农业、碳汇林种植、生态养殖、科普研学，打造集生态保护、绿色种植、休闲观光于一体的低碳示范基地．如图，该生态园拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 23. 已知抛物线与交于、两点（在点左侧）． （1）直接写出时的取值范围是_______． （2）求抛物线顶点的坐标，并求面积； （3）当时，的取值范围是_______． 24. 某校为了解本校九年级学生体育训练的结果，对全校九年级学生进行了体育模拟测试（满分：分，测试成绩用表示），并将测试成绩分为五组，即；；；；．从测试的所有学生中随机抽取名学生的测试成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）图2中___________，并补全条形统计图； （2）这名学生的成绩的中位数落在___________组； （3）若测试成绩低于分的同学需要在课后增加一节体育训练课，该校九年级有学生人，估计该校九年级学生需要增加一节体育训练课的人数． 25. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 26. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． （1）求，的值； （2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于和点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，点P为抛物线上一点，连接交y轴于点E，若，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆外国语学校 初四年级数学学科第一次月考试卷 考试时间：2026年9月30日 答卷时间：120分钟 卷面分值：120分 一．选择题（共30分）： 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值． 先计算的值，再求其相反数即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 故选：C． 2. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 3. 二次函数的图象如图所示，与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与不等式的关系，熟练掌握关系是解题的关键．利用数形结合思想，二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意，二次函数的图象与轴交于和两点，则函数值时，的取值范围是或， 故选：D． 4. 如图是自动扶梯的截面．的长为k米，与的夹角为，则高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用正弦的定义求解即可． 【详解】解：在直角三角形中，米，， ∴， ∴米， 故选：A． 5. 将抛物线向左平移个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再根据“左加右减”的平移规则得到新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为 ∵抛物线向左平移个单位，顶点横坐标减，纵坐标不变 ∴新抛物线顶点横坐标为，纵坐标仍为 即新抛物线的顶点坐标为． 6. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 7. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C均在格点上，连接、，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，连接，证明，再进一步求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 根据网格得到，， ∴， ∴， ∴ ． 8. 在同一坐标系中，二次函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴位置确定、的符号，进而判断的符号，结合反比例函数的图象性质进行排除． 【详解】解：对于二次函数，当时，故图象必过原点． A选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数的图象位于第一、三象限，符合题意； B选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； C选项：抛物线开口向上，则；对称轴在轴左侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第二、四象限，不符题意； D选项：抛物线开口向下，则；对称轴在轴右侧，即， ∵， ∴， 此时，反比例函数图象应位于第一、三象限，不符题意． 9. 若二次函数，当时，有最大值4，最小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据对称轴求出顶点坐标． 根据抛物线的图象及性质可知当时，有最大值4，当时，，关于直线的对称点为，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，开口向下， 当时，有最大值4， 当时，， 关于直线的对称点为， ∵当时，有最大值4，最小值， ∴， 故选：B． 10. 二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．以下结论：；若，，在该函数图象上，且；对于任意实数，都有成立；方程（，为常数）的所有根的和为．其中正确结论的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出，，然后通过函数图象可得当时，，即可判断；通过二次函数的性质即可判断；当时，有最小值，可得时，，从而判断；先画出图象，再结合图象即可判断． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵与轴交于， ∴， 根据图象可知：当时，， ∴， ∴，故正确； ∵关于对称轴的对称点为，时，随的增大而减小，， ∴，故错误； 根据图象可知：当时，有最小值， 则当时，， ∴，故错误； 由方程（，为常数）的根是抛物线与直线的交点，如图， ∵对称轴为直线， ∴当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为， 当有个交点时，方程（，为常数）的所有根的和为，故错误， 综上可得：正确，共个． 二．填空题（共24分） 11. 在中，均为锐角，且满足，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的计算，偶次幂、绝对值的非负性，利用非负数的性质，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求． 【详解】解：∵ ，，且它们的和为0， ∴ ，， 即 ，， ∵ 均为锐角， ∴ ， ∴ ． 12. 抛物线与轴交于两点，分别是是，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系解答即可，解题时，利用了抛物线解析式与一元二次方程之间的转化关系以及一元二次方程根与系数的关系求得答案． 【详解】解：抛物线与轴交于两点，分别是是， 令，则，为方程的两个根， ， ， 故答案为：3． 13. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 【答案】 8 【解析】 【分析】根据坡比的定义，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，， ∵米 ∴米， 由勾股定理，得（米）. 14. 如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 15. 如图，一艘货轮以36海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到处时，发现它的东北方向有一灯塔．货轮继续向北航行后到达处，发现灯塔在它北偏东方向上，则此时货轮与灯塔的距离为________海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点；根据题意求出的长，由锐角三角函数定义求出的长，再由三角形的外角的性质求出的度数，进而求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∵货轮以海里/小时的速度在海面上航行，向北航行分钟后到达点， ∴（海里）， ∵， ∴（海里）， ∵， ∴， ∴（海里）， 即此时货轮与灯塔的距离为海里， 故答案为：． 16. 已知抛物线，若这两条抛物线与轴共有3个交点，则的值为___________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，先求抛物线与轴的交点，再分情况讨论与轴的交点情况，使得总交点为个. 【详解】解：， 抛物线与轴交于点和， 情况1：与轴只有一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 可得方程为， 解得：， 交点坐标为，不与交点重合，成立； 情况2：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得或， 与轴交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点，成立； 情况3：经过点， 代入得， 即， ， 解方程， 可得：或， 与轴的交点坐标为和， 两条抛物线与轴共有个交点． 故答案为：或或． 17. 如图，分别过点作x轴的垂线，交二次函数的图象于点，交直线于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴ ． 故答案为：． 18. 定义：我们把函数与正比例函数的交点称为该函数的“不动点”．例如，求一次函数的“不动点”，联立方程，解得，则该一次函数的“不动点”为． 下列说法正确的序号是_______． ①函数的“不动点”为和； ②二次函数的一个“不动点”和一次函数的“不动点”相同，则； ③若二次函数的图象上存在两个“不动点”、，若，则； ④已知二次函数，直线：，将该二次函数在直线下方的图象沿直线翻折到直线上方，其余部分图象不变得到一个新的函数图象，若新的函数图象上恰有3个“不动点”，则的值为或． 【答案】 ② 【解析】 【分析】通过联立方程求解不动点，判断错误；通过一次函数的不动点代入二次函数求参数，判断正确；通过联立方程和距离公式求参数，判断错误；通过翻折后新函数与的交点个数求参数，判断错误即可. 【详解】解：∵“不动点”是函数与的交点， 联立和，得，即， 解得或， ∴不动点为和，故原说法错误，不符合题意； 一次函数与联立，得， 解得， ∴不动点为， 代入二次函数，得， 解得，故原说法正确，符合题意； 联立和，得，即， 设不动点，，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得，故原说法错误，不符合题意； 当直线经过点时，如图， 令时，则， 则， 把代入得，， 解得：或（舍去）， 当直线与翻折部分只有一个交点时，如图， 的顶点坐标为， 点沿直线：翻折后对应点的坐标为， ∵直线：翻折后对称轴不变， ∴翻折后的抛物线解析式为， 与联立得， 整理得， 则， 解得：； ∴翻折后新函数与有个交点时，或， ∴说法错误，不符合题意； 综上，仅说法正确. 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，已知在中，是边上的高，是边的中点，，．求： （1）线段的长； （2）的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质；熟练利用三角函数及勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由三角函数得，设，，由勾股定理得，即可求解； （2）由直角三角形的特征得，由等腰三角形的性质得，由正切函数即可求解． 【小问1详解】 解：是边上的高，， ， 设，， ， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：是边的中点，是边上的高， ， ， ， ， ． 22. “绿水青山就是金山银山！”，大庆碳中和生态园大力发展生态农业、碳汇林种植、生态养殖、科普研学，打造集生态保护、绿色种植、休闲观光于一体的低碳示范基地．如图，该生态园拟用总长为的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）．设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，三间饲养室的总占地面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？ 【答案】当时，取得最大值；最大值为 【解析】 【分析】根据该生态园拟用总长为以及三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料，将三间饲养室的长表示出来，从而得到三间饲养室的总占地面积为关于的二次函数解析式，再将解析式化为顶点式得到答案． 【详解】解：根据题意可知，三间矩形饲养室的长为， 则三间矩形饲养室的总占地面积为， 当时，取得最大值， 最大值为． 23. 已知抛物线与交于、两点（在点左侧）． （1）直接写出时的取值范围是_______． （2）求抛物线顶点的坐标，并求面积； （3）当时，的取值范围是_______． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）先求出二次函数与一次函数交点的坐标，再根据图像判断出的取值范围； （2）先求出点的坐标，再利用分割法求出的面积； （3）根据图像，将在的范围内，求的最大值与最小值，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：根据题意，联立，， 得， 解得， 由图像可知，在点与点之间， ∴当时，的取值范围为． 【小问2详解】 解：由（1）知，， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 二次函数的顶点横坐标为， 将代入二次函数中，解得， ∴点的坐标为， 如图所示，过点作轴的垂线，交于点，过点作直线的垂线交于点，过点作直线的垂线交于点， 由题可知，点的坐标为，点的坐标为， 将代入一次函数中，解得， ∴点的坐标为， 则， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）可知，点的坐标为， 由图可知，在时， 在点处取得最小值， 在处取得最大值，， ∴当时，． 24. 某校为了解本校九年级学生体育训练的结果，对全校九年级学生进行了体育模拟测试（满分：分，测试成绩用表示），并将测试成绩分为五组，即；；；；．从测试的所有学生中随机抽取名学生的测试成绩进行统计，绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）图2中___________，并补全条形统计图； （2）这名学生的成绩的中位数落在___________组； （3）若测试成绩低于分的同学需要在课后增加一节体育训练课，该校九年级有学生人，估计该校九年级学生需要增加一节体育训练课的人数． 【答案】（1）， （2） （3）该校九年级学生在课后需要增加一节体育训练课的人数为140人 【解析】 【分析】（1）抽查的名学生成绩在组的有人，占抽查总人数的百分比求出的度数；抽查的名学生成绩在组的人数为，补全条形统计图； （2）根据中位数的定义可知把名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，第、名成绩的平均数是名学生成绩的中位数，由条形统计图可知第、名都在组，这名学生的成绩的中位数落在组； （3）利用抽查的名学生成绩在分以下的百分比代表总体学生成绩在分以下的百分比，求出该校九年级学生需要增加一节体育训练课的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知，抽查的名学生成绩在组的有人，占抽查总人数的， 扇形统计图中组所对应的扇形的圆心角为； 抽查的名学生成绩在组的人数为， 补全条形统计图见答案； 【小问2详解】 解：把名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，第、名成绩的平均数是名学生成绩的中位数， 其中、、组共有人， 组有人， 第、名都在组， 这名学生的成绩的中位数落在组； 【小问3详解】 解：测试成绩低于分的同学为组和组的同学， 由条形统计图可知，成绩在组和组的同学共有人， 占抽查学生的, 九年级学生中测试成绩低于分的人数为（人）， 答：该校九年级学生在课后需要增加一节体育训练课的人数为人． 25. 今年马年春晚上机器人表演《武》（如图1），完成马步、空翻、队列变换等高难度动作，体现了科技与文化的深度融合．如图2，是该款机器人侧面示意图，已知上半身，小腿与大腿长均为，机器人上半身垂直地面． （1）若忽视机器人手臂，，，求的度数； （2）如图3，为该机器人某次训练动作示意图，手臂伸直后长为，，若此时D、A、C三点正好在同一直线上，，求点到地面的距离． （参考数据：，，，，结果精确到） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）延长交于点P，延长交于点Q，根据垂线的定义和三角形外角的性质求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数； （2）过点E作于点G，连接，过点B作于点H，解可得，则；求出，得到，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，延长交于点P，延长交于点Q， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点E作于点G，连接，过点B作于点H， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴点E到的距离约为 答：点到地面的距离约为． 26. 某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为万元/件．设第个生产周期设备的售价为万元/件，售价与之间的函数解析式是，其中是正整数．当时，；当时，． （1）求，的值； （2）设第个生产周期生产并销售完设备的数量为件，且y与x满足关系式． 当时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元? 当时，若有且只有个生产周期的利润不小于万元，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2），；． 【解析】 【分析】（）用待定系数法求出，的值即可； （）当，根据利润(售价成本)设备的数量，可得出关于的二次函数，由函数的性质求出最值； 当时，关于的函数解析式，再画出关于的函数图象的简图，由题意可得结论． 【小问1详解】 把时，；时，代入得： ，解得：，； 【小问2详解】 设第个生产周期创造的利润为万元，由（）知，当时，， ∴， ， ， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴工厂第个生产周期获得的利润最大，最大的利润是万元； 当时，， ∴， ∴， 则与的函数图象如图所示： 由图象可知，若有且只有个生产周期的利润不小于万元， ∴当，时，， 当，时，， ∴的取值范围． 【点睛】此题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，明确一次函数与二次函数的性质并分类讨论是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于和点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线于点D， ①如图1，点E为抛物线对称轴上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，点P为抛物线上一点，连接交y轴于点E，若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求解； （2）①先求出点的坐标，抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，设，由勾股定理来求解； ②设交轴于，延长到，根据题意得到，即可得，设，利用勾股定理求出点的坐标，进而求出直线的解析式，再与抛物线联立组成方程组求出交点坐标． 【小问1详解】 解：把点和点代入中得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①在中，令得， ∴． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵过点作轴的平行线交抛物线于点， ∴与关于直线对称， ∴． 设， ∵， ∴． ， ，， ， ∴， 解得或， ∴的坐标为或； ②设交轴于，延长到． ∵，， ∴， ∵ ∴． ∵， ∴， ∴． 设， ，，， ， 解得， 点． 设直线的解析式为， 将点和代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，勾股定理及应用，等腰三角形判定与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $