精品解析：黑龙江哈尔滨市德强中学校2026-2027学年九年级上学期9月15日学情自测数学试题

德强中学2026—2027学年上学期九年级数学9月15日周考 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 10 3. 在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 4. 在圆内接四边形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数与轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线y＝3x2向右平移2个单位，然后向下平移6个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y＝3（x+2）2+6 B. y＝3（x﹣2）2+6 C. y＝3（x+2）2﹣6 D. y＝3（x﹣2）2﹣6 7. 如图所示，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的内接三角形，是的直径，且半径是，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④当时，等于；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若函数是关于的二次函数，则______． 12. 如图，AB⊥BC于B，CE⊥BC于C，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为_____m． 13. 如图，为的直径，弦于点，若，则的长为______． 14. 二次函数y＝-3x2-2的最大值为 _____． 15. 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为________． 16. 如图，是的直径，弦于，是弧上一点，连接、，若，则的值为________． 17. 如图，小明掷实心球的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，则小明此次掷实心球的成绩是______m． 18. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点．以点为圆心，的长为半径画弧恰好也经过点，交边于点，若，则图中阴影部分的面积为____________ 19. 在中，，，，则的长度为_________． 20. 如图，在中，，平分，于点，，点在上，连接，，延长交于，，下列结论中：①；②；③；④若，则．以上结论正确的序号有_________． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上； （2）在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，．连接，请直接写出的正弦值． 23. 如图，小明在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，求旗杆的高度． 24. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）． 25. 据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 26. 如图1，已知：四边形是的内接四边形，连接、交于点，． （1）求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，连接、，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过作于点，，，求的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，． （1）求的值； （2）点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿轴向点运动，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿轴向点运动，、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作交于点，过点作轴交于点（点在点点的上方），过点作，垂足为，在上取点，使得，连接，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德强中学2026—2027学年上学期九年级数学9月15日周考 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 抛物线，，的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答． 【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1）， ∵||＜|1|＜|-3|， ∴抛物线开口最大． 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大． 2. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 3. 在下列二次函数中，其图象对称轴为直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数顶点式可直接确定对称轴的规律，快速排查顶点式选项，再验证一般式选项. 【详解】解：二次函数顶点式的对称轴为直线；一般式的对称轴为直线； A选项：的对称轴为直线，不符合题意； B选项：中，，对称轴为直线，不符合题意； C选项：中，，对称轴为直线，不符合题意； D选项：可化为，对称轴为直线，符合题意. 4. 在圆内接四边形中，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵四边形是圆内接四边形， ∴，， ∵， ∴设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴． 5. 二次函数与轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出时对应的y值即可 【详解】解：当时，， ∴该二次函数与轴的交点坐标是． 6. 把抛物线y＝3x2向右平移2个单位，然后向下平移6个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. y＝3（x+2）2+6 B. y＝3（x﹣2）2+6 C. y＝3（x+2）2﹣6 D. y＝3（x﹣2）2﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律即可求解． 【详解】抛物线y=3x2向右平移2个单位，得：y=3（x﹣2）2； 再向下平移6个单位，得：y=3（x﹣2）2﹣6． 故选D． 【点睛】本题主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 7. 如图所示，在中，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再证明，由相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，是的内接三角形，是的直径，且半径是，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，圆周角定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由是的直径，得到，在中利用正弦的定义得出，再根据，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，且半径是， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴． 故选：A． 9. 当时，与的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．根据题意，，即a、b同号，分与两种情况讨论，分析选项可得答案． 【详解】解：根据题意，、则a、b同号， 当时，则，抛物线开口向上，过原点、一次函数过一、二、三象限； 此时，没有选项符合， 当时，则，抛物线开口向下，过原点、一次函数过二、三、四象限； 此时，D选项符合， 故选：D． 10. 二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④当时，等于；⑤有两个不相等的实数根．其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，结合特殊点坐标逐一判断. 【详解】解：由图象可知，，，对称轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②错误； 由图象可知，抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴，故③正确； 由图象可知，当时，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，等于或，故④错误； ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴的最大值为， ∴方程即无实数根，故⑤错误； 综上，正确的结论只有③. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若函数是关于的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的基本形式列出方程与不等式求解即可． 【详解】解：根据二次函数的定义，得： ， 解得m=2或m=-2， 又∵m-2≠0， ∴m≠2， ∴当m=-2时，这个函数是二次函数， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查二次函数的基本形式，解题的关键是熟知二次函数的特点． 12. 如图，AB⊥BC于B，CE⊥BC于C，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，则河宽AB为_____m． 【答案】100 【解析】 【分析】先证明△ABD∽△ECD，然后利用相似比计算AB的长即可． 【详解】∵AB⊥BC，CE⊥BC， ∴AB∥CE， ∴△ABD∽△ECD， ∴，即， ∴AB=100（m）． 故答案为100． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离）；借助标杆或直尺测量物体的高度． 13. 如图，为的直径，弦于点，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是圆的基本性质、垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先求出圆的直径、半径，再根据垂径定理得到，结合勾股定理得到即可求解． 【详解】解：连接， ，， 直径， 半径， ， ，是直径， ， 中，有， ， ． 故答案为：． 14. 二次函数y＝-3x2-2的最大值为 _____． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可求得最值 【详解】解：由于二次函数y=-3x2-2的图象是抛物线，开口向下，对称轴为y轴， 所以当x=0时，函数取得最大值为-2， 故答案为-2. 【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+k的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解题的关键． 15. 如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点．AC是⊙O 的直径，若∠P=80°，则∠BAC的度数为________． 【答案】40° 【解析】 【详解】解：∵PA、PB是⊙O的两条切线， ∴PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA． ∵∠P=80°， ∴∠PAB=（180°-80°）÷2=50°． ∵AC是⊙O 的直径，A为切点， ∴∠PAC=90°， ∴∠BAC=90°－50°=40°． 故答案为40°． 16. 如图，是的直径，弦于，是弧上一点，连接、，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，BO，根据同弧所对的圆周角相等可得∠ABD=∠F，从而可得sin∠ABD =sin∠F，设的半径为r，用r分别表示出OB、OE、OD和DE，根据勾股定理求出BE和BD，最后根据正弦的定义即可求出sin∠ABD，从而求出结论． 【详解】解：连接BD，BO ∵ ∴∠ABD=∠F ∴sin∠ABD =sin∠F 设的半径为r，则OC=OB=OD=r ∵ ∴OE=OC=r ∴BE=，DE=OE＋OD=r ∴BD= ∴sin∠ABD = ∴sin∠F= 故答案为：． 【点睛】此题考查的是圆周角定理的推论、求一个角的正弦值和勾股定理，掌握同弧所对的圆周角相等、正弦的定义和勾股定理是解决此题的关键． 17. 如图，小明掷实心球的高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的函数关系式是，则小明此次掷实心球的成绩是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，令，求出x的值即可求出小明此次掷实心球的成绩． 【详解】解：当时，， 解得或（不合题意，舍去）， 即小明此次掷实心球的成绩是10米． 故答案为：10． 18. 如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧交边于点．以点为圆心，的长为半径画弧恰好也经过点，交边于点，若，则图中阴影部分的面积为____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积公式和扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，易证是等边三角形，即可得到，根据三角形面积公式和扇形面积公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为： ， 故答案为：． 19. 在中，，，，则的长度为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】过点作，交所在直线于点，根据设出和的长度，用勾股定理求出的长度，分两种情况计算的长度即可． 【详解】解：过点作，交所在直线于点， ①当点D在线段上时，如图所示： ， 设，， 在中，由勾股定理得：， 代入得：， 化简得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ，， 在中，由勾股定理得： ， ∴． ②当点在线段的延长线上时，如图所示： 同理可得：，， ∴； 综上，的长度为12或6． 20. 如图，在中，，平分，于点，，点在上，连接，，延长交于，，下列结论中：①；②；③；④若，则．以上结论正确的序号有_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】设，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出 ，，，可判断①正确；根据线段的和差关系，结合，得出，可判断②正确；过点作，交于，于，可证明，得出，可得，利用外角性质得出，可得，进而得出，利用面积法得出，即可求出，利用等腰三角形的性质求出，得出，根据正切函数的定义可判断③错误；，则，可得，，，利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用勾股定理求出的值，可判断④正确，综上即可得出答案． 【详解】解：设， ∵平分， ∴，， ∵于点， ∴在中，，在中，， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确， 如图，过点作，交于，于， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故③错误， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得，（舍去）， ∴，， ∴，故④正确， 综上所述，正确的序号有①②④． 三、解答题（其中21～22题各7分，23～24题各8分，25～27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式 ． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）在图中画出以为底、面积为12的等腰，且点在小正方形的顶点上； （2）在图中画出平行四边形，且点和点均在小正方形的顶点上，．连接，请直接写出的正弦值． 【答案】（1）如图，点即为所求， （2）如图，平行四边形即为所求， 【解析】 【分析】（1）由题意可得点在线段的垂直平分线上，求出点到边的高为，再结合网格画出图形即可； （2）根据得出在以为锐角的直角三角形中，对边长度为、邻边长度为，结合网格特征以及平行四边形的性质作出平行四边形，先求出的长，再结合正弦的定义计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：由图可得， ∵为等腰三角形， ∴点在线段的垂直平分线上， 设点到边的高为， ∵等腰的面积为， ∴， ∴， 图略； 【小问2详解】 解：∵， ∴在以为锐角的直角三角形中，对边长度为、邻边长度为， 图略， 由勾股定理可得， ∴． 23. 如图，小明在某一时刻测得米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的应用；根据三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形为矩形，利用矩形的对边相等，可得米，米，利用在同一时刻物高与影长的比相等，可得，从而求出的长，继而求出的长． 【详解】解：如图， 过点作于点，可得四边形为矩形， 米，米， 由题意可得：， 米， 米 ． 答：旗杆的高度为米． 24. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD． （1）求证：四边形BCFE是菱形； （2）在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）． 【答案】 （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC＝2DE． ∵CF∥BE， ∴四边形BCFE是平行四边形． ∵BE＝2DE，BC＝2DE， ∴BE＝BC． ∴四边形BCFE是菱形； （2）△FEC、△AEB、△ADC、△BDC． 【解析】 【分析】（1）结合三角形中位线的性质先证明四边形BCFE是平行四边形，再得出邻边BC=BE，则四边形BCFE是菱形； （2）根据平行线的性质、三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵由（1）知，四边形BCFE是菱形， ∴BC＝FE，BC∥EF， ∴△FEC与△BEC是等底等高的两个三角形， ∴S△FEC＝S△BEC． ②∵E为AC的中点，∴△AEB与△BEC是等底同高的两个三角形，则S△AEB＝S△BEC． ③∵D为AB的中点，∴S△ADC＝S△BDC＝S△ABC，又S△BEC＝S△ABC，则S△ADC＝S△BDC＝S△BEC． 综上所述，与△BEC面积相等的三角形有：△FEC、△AEB、△ADC、△BDC． 【点睛】此题主要考查菱形的性质和判定，三角形中位线的性质以及三角形面积的计算，掌握基本性质和判定定理是解题的关键． 25. 据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元． （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少； （2）市场调查发现，某水果在该平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）3元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元，列出方程进行求解即可； （2）设售价应降低元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为，由题意，得：， 解得：（舍去）； 答：月平均增长率是； 【小问2详解】 设售价应降低元，由题意，得：， 解得：， ∵尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低3元． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键． 26. 如图1，已知：四边形是的内接四边形，连接、交于点，． （1）求证：； （2）如图2，连接并延长交于点，连接、，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，过作于点，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆内接四边形的对角互补得到，再根据圆周角定理，结合补角性质得到，然后根据等角对等边可得结论； （2）设，，根据圆周角定理可得，，然后利用等腰三角形的性质和已知得到，，进而由列方程求解即可； （3）过E作于P，交于Q，过作于H，先根据等角对等边得到，然后证明得到，利用正切定义求得，进而求得；再证明，设，进而求得n值，则，最后利用锐角三角函数求得即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴，则， 解得，即； 【小问3详解】 解：过E作于P，交于Q，过作于H，如图3， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 由（1）、（2）知，， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，． （1）求的值； （2）点以每秒1个单位长度的速度从点出发沿轴向点运动，点以每秒2个单位长度的速度从点出发沿轴向点运动，、两点同时出发，当点运动到点时，、两点同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，过点作交于点，过点作轴交于点（点在点点的上方），过点作，垂足为，在上取点，使得，连接，若，求的值． 【答案】（1）9； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）：令，则，则，令，则，则，根据，求出满足要求的值即可； （2）由题意知，，，则，根据，表示S与t的函数关系式即可； （3）由，令，则，如图3，在上截取，连接，则，可知，，由，设，则，由外角的性质得，在上取一点，连接，使，则，根据外角的性质可得，则，作于，设，则，根据，得，求得，可知，勾股定理得，则，过点作于交的延长线于，可证四边形是矩形，则，，作交于，交于，连接，则四边形为矩形，为等腰直角三角形，则，，，其中为等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，证明，则，是等腰直角三角形，证明，则，，，，根据可得，求出的值，进而可得的值． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 令，则， ∴， ∵， ∴， 解得，（不合题意，舍去） ∴的值为9． 【小问2详解】 解：由题意知，，，则， ∴， ∴S与t的函数关系式为． 【小问3详解】 解：∵，令，则， 如图3，在上截取，连接，则， ∵于， ∴，， ∵，设，则， ∴， 在上取一点，连接，使， 则， ∵， ∴， ∴， 作于，设， ∴， ∵，即， 解得， ∴， 由勾股定理得， ∴， 过点作于交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 作交于，交于，连接，则四边形为矩形，为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为的中点，为的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为1． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何应用、二次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形外角的性质、锐角三角函数等知识．熟练掌握和灵活运用各知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $