精品解析：北京市中央民族大学附属中学2026-2027学年上学期八年级第一次数学综合练习

八年级（上）综合练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写班级名称、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 在平面直角坐标系中，若点C的坐标为，则点C关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴点C关于x轴的对称点的坐标为． 故选：B 3. 已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　） A. 95° B. 90° C. 85° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据SAS证△ABE≌△ACD，推出∠C＝∠B，求出∠C的度数，根据三角形的外角性质得出∠BDC＝∠A+∠C，代入求出即可． 【详解】解：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠C＝∠B， ∵∠B＝25°， ∴∠C＝25°， ∵∠A＝60°， ∴∠BDC＝∠A+∠C＝85°， 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 4. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知是的平分线， 即， ∵，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 不能判定是等腰三角形，故选项C符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 6. 若等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ） A. 27 B. 21或27 C. 25 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论：当腰取5，则底边为11，但5+5＜11，不符合三角形三边的关系；当腰取11，则底边为5，根据等腰三角形的性质得到另外一边为11，然后计算周长． 【详解】解：当腰取5，则底边为11，但5+5＜11，不符合三角形三边的关系，所以这种情况不存在； 当腰取11，则底边为5，则三角形的周长=11+11+5=27． 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等．也考查了三角形的三边的关系以及分类讨论思想的运用． 7. 过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等；理解作法是解题的关键．由作图得，，，由等边三角形的判定得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由作图得，，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 故选：D． 8. 如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，即． ∵， ∴， ∴，故②错误； 如图，过点C作于点G， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，即， ∴，故④错误． 综上可知正确结论是①③ 故选B． 【点睛】本题考查平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握上述知识是解题关键． 9. 如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，则正方形网格中与成轴对称的格点三角形的个数是（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解． 【详解】解：如图所示， ，，，与成轴对称 ∴共5个． 故选：B． 10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接， ，过A作AE⊥CD于E，依据∠BAC＝，∠DAE＝，即可得出∠CAE＝，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到∠ACB＝＝90°−． 【详解】解：如图，连接，，过A作AE⊥CD于E， ∵点B关于AC的对称点恰好落在CD上， ∴AC垂直平分， ∴AB＝， ∴∠BAC＝∠， ∵AB＝AD， ∴AD＝， 又∵AE⊥CD， ∴∠DAE＝∠， ∴∠CAE＝∠BAD＝α， 又∵＝＝90°， ∴四边形中， ＝180°−α， ∴＝−＝180°−α−90°＝90°−α， ∴∠ACB＝＝90°−α， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是________．（填“甲”“乙”“丙”） 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：甲图形中只有一个内角和一条对边对应相等，无法证明全等； 乙图形可以根据三条边分别对应相等的两个三角形全等，证明乙图形和全等； 丙图形中只有两个内角对应相等，无法证明全等． 故答案为：乙． 12. 如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．首先根据平行线的性质得出，再根据三角形的外角性质即可求出． 【详解】解：∵，， ， ，， ， 故答案为：70． 13. 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是________，S的最大值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据三角形两边之和等于第三边可得，当A，B，C在同一直线上时，，此时S最大；，此时S最小． 【详解】解：连接, 当A，B，C不在同一直线上时，， 当A，B，C在同一直线上时， ，此时S最大；如图： ，此时S最小．如图： 故S最小值为：；最大值为：． 14. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键．过点作于，根据三角形内角和定理可得，然后根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作于， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 15. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm． 【答案】65 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F， ∵，， ∴， 由对称性可知：， ∴通过闸机的物体最大宽度为cm， 故答案为：65 cm． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型． 16. 平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．当时，点的坐标为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】作，根据平移定义和等腰三角形性质可得有两种情况：当时， 当与不平行时. 【详解】解：如图： ∵点，点，点， ∴， 如图，当时， 由平移性质可得：即，， 当与不平行时，作， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， 根据等腰三角形性质得，； ∴， 故的坐标是或. 17. 如图，中，平分，，若与互补，，则的长为________． 【答案】 10 【解析】 【分析】延长交的延长线于点E，通过证明得出及，结合互补条件推导出，从而得到． 【详解】解：延长交的延长线于点E， ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵与互补， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是________ ①；②是等边三角形；③；④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，再根据解答④即可． 【详解】解：， ． ，的角平分线交于点， ，， ， ．则①正确； ，的角平分线交于点，， 平分， ． ，都是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形．则②正确； ，， ． 在中，．则③正确； 由上述可知， 平分， ， ． 则④不正确． 所以正确的有①②③． 三、解答题（本大题共46分，第19，20题，每小题4分，第21题5分，第22题7分，第23题4分，第24，25题5分，第26题7分，第27题5分） 19. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地．C，D两地到路段的距离相等吗？为什么？ 【答案】C，D两地到路段的距离相等， 理由：由题意可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴C，D两地到路段的距离相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，根据题意可得，，再根据平行线的性质可得，然后再利用判定，进而可得． 【详解】略 20. 在平面直角坐标系中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，点，，的坐标分别为，，，． （1）________； （2）若点为整点，且满足，直接写出点的坐标________（写出三个即可）． 【答案】（1） （2），，（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）连接，分别求出，，由勾股定理逆定理可判断是直角三角形，故可得； （2）确定的垂直平分线即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：连接，如图： ∵点，，的坐标分别为，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，且； 【小问2详解】 解：如图， 点的坐标有四处：，，，（选3个即可） 21. 如图，，是边上的中线，于点．求证：． 【答案】 ∵   ，是边上的中线， ∴，． ∴． ， ． ∴． ∵， ． 【解析】 【分析】先利用等腰三角形“三线合一”的性质，得出且；再结合 CE⊥AB 的条件，通过同角的余角相等来推导角的关系． 【详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质（同角的余角相等）．解题关键是利用等腰三角形“三线合一”得到垂直关系，再通过直角三角形中角的互余关系完成角的等量代换． 22. 已知：如图1，角α和线段m． （1）求作：等腰三角形，使得它的底角为α，底边． 作法：①作； ②在上取点C，使； ③作线段的垂直平分线，交射线于点A； ④连接． 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； 其中的依据是________； （2）求作：等腰三角形，使得它的顶角，，底边上的高为m． 作法：①作； ②作的角平分线； ③在上取点H，使； ④过点H作的垂线，分别交，于点P，点Q； 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明． 证明：平分． ． ， ． ， ．（________）（填推理的依据） 为等腰三角形． 【答案】（1） 补全图形如下： 线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等 （2） 补全图形如下： AI 证明：平分， ∴． ， ． ， ．(等角对等边) 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键， （1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可； （2）根据所给的作法和作垂线的方法画出图形即可，再根据等腰三角形的判定，等角对等边即可证得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点和（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l． （1）将向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形； （2）画出关于直线l对称的三角形； （3）观察画图结果，根据理解直接填空：___________． 【答案】（1） 解：如图所示： （2）解：如图所示； （3）45 【解析】 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可． （2）利用轴对称的性质分别作出D，E，F的对应点即可． （3）根据勾股定理的逆定理求得是等腰直角三角形，可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 故答案为：45． 【点睛】本题考查作图−轴对称变换，平移变换，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换的性质正确作出图形． 24. 已知：如图，中，，延长到点D，使，延长到点E，使；连接，．求证：． 【答案】 证明：如图，取的中点F，连接， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， 在和中， ， ∴， 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形、全等三角形的判定和性质，取的中点F，连接，由线段垂直平分线的性质可求得，进一步可证明，可证明． 【详解】略 25. 阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点，分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： 画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； 根据阅读材料解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是____________，取最小值时点的位置是（在图中标出来）； （2）如图3，点，分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点位置的简要步骤：________________________． 【答案】（1）4，如图所示，线段与直线的交点 （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P， 如图所示； 【解析】 【分析】（1）根据题意知点B关于直线的对称点为点C，记，的交点为，连接，此时的值最小即的长． （2）先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 【小问1详解】 解：∵在中，，，，， 如图，记，的交点为，连接， ∵垂直平分， ∴B、C关于对称， ∴， ∴，此时的值最小，最小值为4． 画图略 【小问2详解】 解：先画点M关于直线的对称点，射线与直线的交点即为点P． 理由如下： ∵由作图可得：是的垂直平分线， ∴，， ∴． 26. 直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． （1）当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． （2）若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）①如图，②③证明：证明：在上截取，连接，如图， 由②得， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，． 【解析】 【分析】（1）①按照“作点B关于l的对称点，连接与l交于P”的步骤补全图形； ②利用对称性质和等边三角形性质，结合角的运算推导与的数量关系； ③采用截长补短法，在上截取一段等于，构造等边三角形，再利用全等三角形证明线段关系； （2）类似（1）的思路，结合对称和等边三角形性质，分析转动时角和线段的关系即可． 【小问1详解】 解：①略 ②，理由如下： 连接，连接并延长交于点H，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 在和中， ， ∴　， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且， ∴； ③略 【小问2详解】 解：当直线l能与线段的延长线相交时，，；当直线l能与线段的延长线相交时，，．理由如下： 当直线l与线段平行时，由（1）可得点A，P重合，及不存在，不符合题意； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图， 由（1）得； 当直线l能与线段的延长线相交时，如图，连接，交于O， ∵点B与关于直线l对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 在上截取，连接，如图， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 27. 在平面直角坐标系xOy中，直线为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为________，二次反射点为__________； （2）当点A在第一象限时，点，，中可以是点A的二次反射点的是_________； （3）若点A在第二象限，点，分别是点A的一次、二次反射点，△为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数． 【答案】（1），； （2）N点； （3）射线OA与x轴所夹锐角为或． 【解析】 【分析】（1）根据反射的定义求解；（2）根据反射定义可知点A的二次反射点在第四限项；（3）根据反射定义得点均在第一象限． △为等边三角形，关于OB对称，故；①若点位于直线l的上方，如图1所示，此时②若点位于直线l的上下方，如图2所示，此时 【详解】解：（1），； （2）N点； （3）∵点A在第二象限， ∴点均在第一象限． ∵△为等边三角形，关于OB对称， ∴ 分类讨论： ①若点位于直线l的上方，如图1所示， 此时 因此射线OA与x轴所夹锐角为； ②若点位于直线l的上下方，如图2所示， 此时 因此射线OA与x轴所夹锐角为； 综上所述，射线OA与x轴所夹锐角为或． 【点睛】考核知识点：点的坐标与轴对称.理解反射的定义是关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）综合练习 数学 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题，满分100分，考试时间90分钟． 2．在试卷上准确填写班级名称、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点C的坐标为，则点C关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知：如图，D、E分别在AB、AC上，若AB＝AC，AD＝AE，∠A＝60°，∠B＝25°，则∠BDC的度数是（　　） A. 95° B. 90° C. 85° D. 80° 4. 如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 若等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为（ ） A. 27 B. 21或27 C. 25 D. 21 7. 过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 9. 如图是的正方形网格，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的为格点三角形，则正方形网格中与成轴对称的格点三角形的个数是（ ） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 10. 如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共24分，每小题3分） 11. 如图，已知的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和全等的是________．（填“甲”“乙”“丙”） 12. 如图是一款儿童小推车的示意图．若，，，则______°． 13. 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最小值是________，S的最大值是________． 14. 如图，在中，，平分，交于点，且，若，则_____． 15. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm． 16. 平面直角坐标系中，点，点，点，点在轴上．当时，点的坐标为________． 17. 如图，中，平分，，若与互补，，则的长为________． 18. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是________ ①；②是等边三角形；③；④ 三、解答题（本大题共46分，第19，20题，每小题4分，第21题5分，第22题7分，第23题4分，第24，25题5分，第26题7分，第27题5分） 19. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间后分别到达C，D两地．C，D两地到路段的距离相等吗？为什么？ 20. 在平面直角坐标系中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点，如图，点，，的坐标分别为，，，． （1）________； （2）若点为整点，且满足，直接写出点的坐标________（写出三个即可）． 21. 如图，，是边上的中线，于点．求证：． 22. 已知：如图1，角α和线段m． （1）求作：等腰三角形，使得它的底角为α，底边． 作法：①作； ②在上取点C，使； ③作线段的垂直平分线，交射线于点A； ④连接． 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）； 其中的依据是________； （2）求作：等腰三角形，使得它的顶角，，底边上的高为m． 作法：①作； ②作的角平分线； ③在上取点H，使； ④过点H作的垂线，分别交，于点P，点Q； 则为所求作的等腰三角形． 用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明． 证明：平分． ． ， ． ， ．（________）（填推理的依据） 为等腰三角形． 23. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点和（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l． （1）将向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形； （2）画出关于直线l对称的三角形； （3）观察画图结果，根据理解直接填空：___________． 24. 已知：如图，中，，延长到点D，使，延长到点E，使；连接，．求证：． 25. 阅读材料： 我们曾经解决过如下问题：“如图1，点，分别在直线同侧，在直线上，使得最小？” 我们可以经过如下步骤解决这个问题： 画草图（或目标图）分析思路：在直线上任取一点，连接，根据题目需要，作点关于直线的对称点，“化曲为直”寻找的最小值； 根据阅读材料解决下列两个问题： （1）如图2，在中，，，，，垂直且平分，在直线上，直接写出的最小值，回答：的最小值是____________，取最小值时点的位置是（在图中标出来）； （2）如图3，点，分别在直线两侧，在直线上，使得．要求画图，并简要叙述确定点位置的步骤．（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明） 解：确定点位置的简要步骤：________________________． 26. 直线经过等边的顶点．作点关于的对称点，直线与直线交于点． （1）当直线在如图1的位置时， ①根据题意，补全图形； ②写出与的数量关系______________； ③连接，求证：． （2）若直线绕着点转动，转动过程中与线段始终没有公共点，借助备用图探究并直接写出与的数量关系，以及线段，，之间的数量关系． 27. 在平面直角坐标系xOy中，直线为一、三象限角平分线．点P关于y轴的对称点称为P的一次反射点，记作；关于直线的对称点称为点P的二次反射点，记作．例如，点的一次反射点为，二次反射点为．根据定义，回答下列问题： （1）点的一次反射点为________，二次反射点为__________； （2）当点A在第一象限时，点，，中可以是点A的二次反射点的是_________； （3）若点A在第二象限，点，分别是点A的一次、二次反射点，△为等边三角形，求射线OA与x轴所夹锐角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $