精品解析：北京市东直门中学2025-2026学年上学期八年级数学第一次学情自测

2025-2026学年（上）第一次月考八年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：100分 ） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断，关键是掌握三角形的三边关系定理． 【详解】A、，长度是的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长度是的线段不能组成三角形，故B不符合题意． C、，长度是的线段能组成三角形，故C符合题意； D、，长度是的线段不能组成三角形，故D不符合题意； 故选：C． 2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质分两种情况讨论可得. 【详解】①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5， ∵3＋3＝6＞5， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：3＋3＋5＝11； ②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3， ∵5＋3＝8＞5， ∴能组成三角形， ∴它的周长是：5＋5＋3＝13， 综上所述，它的周长是：11或13． 故选D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解． 3. 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：根据三角形的稳定性可固定窗户． 故选：A． 4. 三角形的角平分线、中线和高：(　　) A. 都是线段 B. 不都是线段 C. 都是直线 D. 都是射线 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：三角形的角平分线、中线和高都是线段. 故选A. 5. 对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对选择项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②如果面积相同而形状不同也不全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故选A． 【点睛】本题考查了全等形的概念，做题时要根据定义进行验证． 6. 如图2，、、分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角． 【详解】解：A、与三角形ABC有两边相等，而夹角不一定相等，二者不一定全等，不符合题意； B、选项B与三角形ABC有两边及其夹边相等，二者全等，符合题意； C、与三角形ABC有两边相等，但角不是夹角，二者不全等，不符合题意； D、与三角形ABC有两角相等，但边不对应相等，二者不全等，不符合题意． 故答案选B． 7. 使两个直角三角形全等的条件是 A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误，不符合题意； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故选项错误，不符合题意； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故选项错误，不符合题意； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故选项正确，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握三角形全等的判定有、、、、，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等． 8. 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 【答案】D 【解析】 【详解】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD； 以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP； 再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP． 故选D． 9. 如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 【答案】A 【解析】 【详解】运用SAS证明△ABD≌△ACE，得∠B=∠C．根据三角形内角和定理可求∠C和∠CAE的度数． 解：∵BE=CD，∴BD=CE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE（SAS） ∴∠B=∠C． ∵∠BAC=80°， ∴∠C=（180°-80°）÷2=50°． ∴∠CAE=180°-110°-50°=20°． 故答案为A． 10. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　） A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：△ABC和△CDE是等边三角形 BC=AC，CE=CD， 即 在△BCD和△ACE中 △BCD≌△ACE 故A项成立； 在△BGC和△AFC中 △BGC≌△AFC B项成立； △BCD≌△ACE ， 在△DCG和△ECF中 △DCG≌△ECF C项成立 D项不成立. 考点：全等三角形的判定定理. 二．填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，则边上的中线的取值范围是__． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得到，在中，根据三角形三边的关系得到，代入求解即可． 【详解】解：如图所示，延长到点E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 12. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 【答案】(答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法“边边边 ，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”，结合题意，选择合适的方法进行判定即可求解． 【详解】解：已知， ∵， ∴，且， ∴添加，可运用“角边角”证明； 添加，可运用“边角边”证明； 添加，可运用“角角边”证明； 故答案为：(答案不唯一）． 13. 已知、、是三角形的三边长，化简：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系（两边之和大于第三边、两边之差小于第三边 ）以及绝对值的性质（正数的绝对值是本身，负数的绝对值是其相反数）是解题的关键．利用三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简． 【详解】解：∵ 、、是三角形的三边长 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 ∴ ，即；，即 ∵ 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数 ∴ ， 则 故答案为： ． 14. 如图，∠1+∠2+∠3+∠4=________度． 【答案】360 【解析】 【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：如图：连接AC ∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°， ∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°， 即∠1+∠2+∠3+∠4=360°． 故答案为：360． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，添加辅助线是解题的关键． 15. 如图，， 则___________ 【答案】5 【解析】 【分析】首先结合已知，根据全等三角形的对应角相等可得； 然后依据三角形的外角性质有，接下来再结合已知条件和已求的的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， 又∵是的外角， ∴． 16. 如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=____°，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角的平分线，则∠M=____°． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】首先根据三角形内角和求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得到，求出的度数，再次根据三角形内角和求出∠I的度数即可；根据∠ABC+∠ACB的度数，算出∠DBC+∠ECB的度数，然后再利用角平分线的性质得到∠1=∠DBC，∠2=，可得到∠1+∠2的度数，最后再利用三角形内角和定理计算出∠M的度数． 【详解】解：∵∠A=100°， ∵∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°， ∵BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB， ∴， ， ∴； ∵∠ABC+∠ACB=80°， ∴ ， ∵BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角平分线， ∴ ∴， ∴． 故答案为：140°；40°． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角平分线的性质，关键是根据三角形内角和定理计算出∠ABC+∠ACB的度数． 三．解答题（6小题，共52分） 17. 若等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的，求这个三角形的周长． 【答案】30cm或40cm． 【解析】 【分析】分12cm为等腰三角形的腰长和底边长两种情况计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的， ①如果腰长为12cm，则底边为16cm，等腰三角形的三边为12、12、16，能构成三角形， ∴C△=12+12+16=40cm； ②如果底长为12cm，则腰长为9cm， 等腰三角形的三边为12、9、9，能构成三角形， ∴C△=9+9+12=30cm． 18. 如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD和CE的交点，求∠BHC的度数. 【答案】120°． 【解析】 【分析】根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数． 【详解】∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，∴∠ADB=∠AEC=90°， 而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，∴∠EHD=180°﹣60°=120°，∴∠BHC=120°． 【点睛】本题考查了四边形的内角和以及三角形高的意义，解答此类题的关键是利用四边形的内角和为360°． 19. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由. 【答案】（1）详见解析；（2）AB∥DE，AC∥DF，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用SSS即可判定△ABC≌△DEF； （2）AB∥DE，AC∥DF，由全等三角形的性质可得∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,根据平行线的判定即可得结论. 【详解】（1）证明：∵BF=EC， ∴BF+CF=CF+CE， ∴BC=EF ∵AB=DE，AC=DF ∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）AB∥DE，AC∥DF，理由如下， ∵△ABC≌△DEF， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， ∴AB∥DE，AC∥DF. 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定及性质，平行线的判定，熟练掌握运用全等三角形的判定和性质是解题关键 20. 如图，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据三条边都对应相等的两个三角形是等边三角形即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定——边边边，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 21. 如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，，求： （1）的长； （2）作出的边上的中线，并求出的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求得，再由即可求得的长； （2）已知为的边上的中线，根据即可得的面积． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图 ∵E为的中点， ∴． 22. 如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． （1）若，的面积为20，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中线和高、角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握三角形相关线段的性质是解题的关键． （1）根据三角形的面积求出，再根据三角形中线得到的长； （2）求出，由和三角形内角和定理即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵为边上的高，的面积为20， ∴， ∵， ∴， ∵点为边上的中点， ∴． 【小问2详解】 ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（上）第一次月考八年级数学试卷 （时间：100分钟 满分：100分 ） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 以下列各组线段为边能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 11或13 3. 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，所运用的几何原理是（ ） A. 三角形的稳定性 B. 两点之间线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短 4. 三角形的角平分线、中线和高：(　　) A. 都是线段 B. 不都是线段 C. 都是直线 D. 都是射线 5. 对于两个图形，给出下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相等．其中能获得这两个图形全等的结论共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图2，、、分别表示△ABC的三边长，则下面与△ABC一定全等的三角形是 A. B. C. D. 7. 使两个直角三角形全等的条件是 A. 一锐角对应相等 B. 两锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 两条边对应相等 8. 尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ） A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 9. 如图，已知AD=AE，BE=CD，∠1=∠2=110°，∠BAC=80°，则∠CAE的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 40° D. 50° 10. 如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　） A. △ACE≌△BCD B. △BGC≌△AFC C. △DCG≌△ECF D. △ADB≌△CEA 二．填空题（6小题，每小题3分，共18分） 11. 在中，，则边上的中线的取值范围是__． 12. 如图，，要使，需添加的一个条件是__（只添一个）． 13. 已知、、是三角形的三边长，化简：______． 14. 如图，∠1+∠2+∠3+∠4=________度． 15. 如图，， 则___________ 16. 如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC，∠ACB，则∠BIC=____°，若BM、CM分别是∠ABC，∠ACB的外角的平分线，则∠M=____°． 三．解答题（6小题，共52分） 17. 若等腰三角形一边长为12cm，且腰长是底边长的，求这个三角形的周长． 18. 如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H是BD和CE的交点，求∠BHC的度数. 19. 如图，点B，F，C，E在直线l上（F，C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB=DE，AC=DF，BF=EC. （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由. 20. 如图，，，求证：． 21. 如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，，求： （1）的长； （2）作出的边上的中线，并求出的面积． 22. 如图，在中，为边上的高，为边上的中线，平分，交于点． （1）若，的面积为20，求的长； （2）若，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $