26.3第1课时 二次函数与一元二次方程的联系教学课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的联系，通过复习一次函数与一元一次方程的“形”（图像与x轴交点横坐标）和“数”（函数值为0时自变量的值）关系搭建支架，引导学生迁移探究二次函数与一元二次方程的关联。 其亮点是以“形数结合”为主线，通过函数图像分析、表格归纳交点与根的关系，结合小球飞行高度实例，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。助力学生建立数形联系，教师可高效实现知识衔接与应用教学。

二次函数与一元二次方程的联系 R·九年级上册 1 复习回顾 思考：你如何看待等式2x-1=0? 你能求出x的值吗? 等式 2x-1=0 方程角度 一元一次方程2x-1=0的解 函数观点 一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值 数 2x=1 一次函数y=2x与常数函数y=1，当函数值相等时，对应的自变量x的值 直线y=2x与直线y=1交点的横坐标 直线y=2x-1与x轴交点的横坐标 形 方程角度 一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解 直线y=ax+b (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 一次函数y=ax+b (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？ 思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1. 探索新知 由此 ， 你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？ 先画出函数图象： （1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1. 无公共点 公共点的函数值为 . 0 0=x2-x+1. 0=x2+x-2 0=x2-8x+16 x1=-2，x2=1. 二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？ x1=x2=4. 对应一元二次方程的根是多少？ 有两个不等的实根 有两个相等的实根 方程无实数根 由上述问题，你可以得到什么结论呢？ 方程角度 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解 抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标 形 函数观点 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值 数 一般地，从二次函数y=ax²+bx+c的图象，可得如下结论： (1)如果抛物线y=ax²+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根. (2)二次函数у=ax²+bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax²+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 归纳： 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：当h=20时， 则 20=20t-5t2. 解方程，得t1=t2=2. 当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m. 20 2 即 t2-4t+4=0. 你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？ （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=15，则 15=20t-5t2. 解得t1=1，t2=3. 当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m. 你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？ 15 1 3 练习 关于例1，回答下列问题： 【教材P48 练习】 （2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=20.5，则 20.5=20t-5t2. 即t2-4t+4.1=0. ∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根. 即小球的飞行高度不能达到20.5m. 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？ 20.5 （3）小球从飞出到落地，需要多长时间？ O h t h=20t-5t2 解：令h=0，则 0=20t-5t2. 解得t1=0，t2=4. 当球飞行0s和4s时，它的高度为0m. 所以小球从飞出到落地要4 s. 二次函数与一元二次方程的关系： y=ax2+bx+c 一元二次方程 y取定值 且a≠0 已知二次函数中因变量的值，求自变量的值 求相应的一元二次方程的根 例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）． 反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值． 练一练 (1)证明：∵m≠0， ∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2. ∵(m-2)2≥0， ∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点. 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． 练一练 已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)． (1)求证：此抛物线与x轴总有交点； (2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值． (2)解：令y=0，则(x-1)(mx-2)=0，即x-1=0或mx-2=0， 解得x1=1，x2= . 当m为正整数1或2时，x2的值为整数. 又∵当m为2时， Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点， ∴正整数m的值为1. 随堂练习 1.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ). A.x1=1, x2=-1 B.x1=1, x2=2 C.x1=1, x2=0 D.x1=1, x2=3 2.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ). A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0 B D 3.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围． 解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数． ∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3. 当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数． ∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点， ∴Δ=b2-4ac≥0. ∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16， ∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3. 综上所述，k的取值范围是k≤4. 课堂小结 解二元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 确定二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0) 的图象与x轴公共点的横坐标 数 形 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. Lavf59.6.100 Bilibili VXCode Swarm Transcoder v0.2.30(gap_fixed:False) $