26.4实际问题与二次函数(第1课时) 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4　实际问题与二次函数（第1课时） 九年级　上册 教学目标 重点：根据实际问题的建立二次函数模型，求实际情境下的函数最值． 难点:能根据跳水运动、矩形面积等实际情境建立二次函数模型. 1.能根据跳水运动、矩形面积等实际情境建立二次函数模型. 2.根据实际问题中的自变量取值范围，熟练运用二次函数性质求解最值. 回顾旧知 1.二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条______，它的对称轴是__ ____，顶点坐标是_______. 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条_______，它的对称轴是____________，顶点坐标是_____________.当a＞0时，抛物线开口向_____，有最_____点，即当x＝_____时，y最小值＝___ ___；当a＜0时，抛物线开口向_____，有最_____点，即当x＝___ ___时，y最大值＝___ ___. 直线x=h 抛物线 （h，k） 抛物线 直线x= （） 上 低 下 高 二次函数y＝ax2＋bx＋c的最值由什么决定？ a的符号及自变量的取值范围. 探索新知 问题：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h （单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？ 运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 思考：由关系式h=−4.9t2+2.8t+11知离水面的高度是时间的二次函数，如何求二次函数的最大（最小）值？ 当a<0时，自变量x=，函数有最大值； 当a>0时，自变量x=，函数有最小值； 探索新知 故运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m． ∵ ∴当t时，h有最大值 问题：在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h （单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=−4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？ 运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.） 解：对于二次函数h=−4.9t2+2.8t+11， 例题精讲 例1如图，利用一面墙（墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 思路：题中知道哪些量？如何求矩形面积？ 2条垂直于墙的边+1条平行于墙的边=20m 垂直于墙的边×平行于墙的边=矩形面积 若设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为： ；矩形的面积为S m2，你写出S与x的关系式： ; 自变量x的取值范围： . (20-2x) m S=x(20-2x) (0<x<10) 例题精讲 例1如图，利用一面墙（墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设垂直于墙的边长为xm,则平行于墙的边长为（20－2x）m，矩形菜园的面积S ∴S=x(20－2x) 即S=－2x2+20x (0<x<10) 因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m². 当时，S有最大值： S最大=5×（20－2×5）=50 例题精讲 例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P以2 cm/s的速度从点A向点B移动(不与点B重合)，动点Q以4 cm/s的速度从点B向点C移动(不与点C重合)．若点P，Q同时出发，试问经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值． 问题：题中哪些量已知，哪些量未知，应如何表示？如何求四边形APQC的面积？ 直角三角形的直角边AB=12，BC=24；BP和BQ未知 S△ABC-S△PBQ=S四边形APQC 例题精讲 例2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P以2 cm/s的速度从点A向点B移动(不与点B重合)，动点Q以4 cm/s的速度从点B向点C移动(不与点C重合)．若点P，Q同时出发，试问经过几秒后，四边形APQC的面积最小？并求出最小值． 解：设点P，Q运动的时间为t s，四边形APQC的面积为S cm2. 由题可知，AP＝2t cm，BQ＝4t cm，0<t<6. ∵AB＝12 cm，BC＝24 cm，∴BP＝(12－2t)cm. ∴S＝S△ABC－S△PBQ＝×12×24-×4t·(12-2t) ＝108. ∴当t＝3时，S最小＝108. 答：经过3 s后，四边形APQC的面积最小，最小值为. 巩固练习 1.用12 cm长的绳子围成一个矩形，设其一边长为x cm，面积为y cm2，则y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围均正确的是 （　B　） A． y＝－x2＋6x(3＜x＜6) B． y＝－x2＋6x(0＜x＜6) C． y＝－x2＋12x(6＜x＜12) D． y＝－x2＋12x(0＜x＜12) B 10 巩固练习 2.用总长为60 m的篱笆围成一矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化． (1)矩形另一边长为 m(用含l的代数式表示，下同)，S与l的函数关系式为 ，其中自变量l的取值范围是 ⁠． (30－l) S＝－l2＋30l 0＜l＜30 (2)场地面积S有无最大值？若有最大值，请求出S的最大值；若没有最大值，请说明理由． 11 巩固练习 2.用总长为60 m的篱笆围成一矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化． (2)场地面积S有无最大值？若有最大值，请求出S的最大值；若没有最大值，请说明理由． (2)有最大值．∵S＝－l2＋30l，且0＜l＜30， ∴当l＝－＝-＝15时，S有最大值， S最大＝-152+30×15＝225. ∴当l为15 m时，场地面积有最大值，为225 m2. 12 巩固练习 3.一根铝合金型材长为6 m，用它制作一个“日”字形窗户的框 架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ 解：设AD为x m，面积为y m2，则宽AB为 m. ∴y＝·x＝-x2＋2x＝－ +(0＜x＜3)． ∵0＜x＜3，－＜0， ∴当x＝时，y有最大值． ∴＝1. 13 巩固练习 4.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD ＝12，当AC＝ ，BD＝ 时，四边形ABCD的面积最大，面积为 ⁠． 6 6 18 14 运用拓展 5. (人教九上P55习题T6)一块三角形材料如图所示，∠A＝30°， ∠C＝90°，AB＝12 cm.用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D，E，F分别在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面积最大，点E应选在何处？ 解：设AE＝x cm.∵四边形CDEF是矩形， ∴∠AFE＝90° 又∠A＝30°， ∴EF＝AE＝x cm，AF＝＝x cm. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12 cm， ∴BC＝AB＝6 cm. 由勾股定理，得AC＝＝6(cm)． ∴CF＝AC－AF＝(6-x)cm. 15 运用拓展 ∴S矩形CDEF＝CF·EF＝(6-x)·x＝-(x-6)2＋9. ∵0＜x＜12，－＜0， ∴当x＝6时，矩形CDEF的面积最大，即当 点E为AB的中点时，矩形CDEF的面积最大． 16 课堂小结 几何面积最值问题 一个关键 一个注意 建立函数解析式 常见几何图形的面积公式 依 据 最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定 17 布置作业 必做题:教材P52页练习题. 选做题：教材P55页第5题. 18 $