精品解析：云南曲靖一中麒麟学校2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷

曲靖一中麒麟学校2028届高二上学期9月月考 数学试卷 【时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈兵 审题人：余志能】 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得到倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角，则，又，所以， 所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2. 直线在x轴上的截距是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令得，所以直线在轴上的截距为. 3. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把圆的方程化为标准方程，可求得圆的半径. 【详解】将圆的一般方程转换为标准方程，得， 故圆的半径为2. 故选：B. 4. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用椭圆定义和焦距性质可解. 【详解】根据题意，焦距，.根据椭圆定义，周长为，解得. 则离心率为. 故选：C 5. 设直线，圆，则与圆C（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都有可能 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离， 故直线与圆C相离． 故选：C. 6. 已知直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求圆心到直线的距离，再由垂径定理计算弦长，最终代入三角形面积公式求解． 【详解】圆  的圆心为 ，半径 ， 直线  可化为 ， 圆心 到直线的距离为，设直线与圆交于两点， 则弦长 因此 的面积为． 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题. 【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意； 所以直线斜率存在设为， 则直线方程为， 联立直线得： ， 联立直线得：，， 所以直线与直线，直线的交点为： ， 又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分， 所以， 解得：， 所以直线的方程为：， 故选：B. 8. 已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取线段的中点，连接，将的取值范围问题转化为的范围问题，通过将圆的方程做差得到公共弦的方程，求出，结合圆的性质可得的范围. 【详解】圆，即，其圆心，半径， 圆，即，其圆心，半径， 取线段的中点，连接， 则， 将圆与圆的方程做差可得公共弦的方程为， 则， 则， 所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积有最大值但无最小值 B. 的周长为5 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：由椭圆方程，可得左右焦点坐标为，，焦距. 的面积公式，其中为点的纵坐标， 由，得该三角形面积有最大值但无最小值，选项A正确. 选项B：根据椭圆的定义，，，所以的周长为，因此B错误. 选项C：当位于椭圆短轴端点时，取得最大值，此时，， 由余弦定理，因此最大，因此C选项正确. 选项D：由椭圆方程，可知，，椭圆上任意一点到焦点的距离满足，代入，，得，选项D正确. 10. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐一判断即可. 【详解】对于A，直线，即， 令，得，即直线过定点，故A正确； 对于B，圆，即，圆心坐标为，故B错误； 对于C，因为，所以直线所过定点在圆的内部，不妨设直线过定点为， 当直线与圆的相交弦的最小时，与相交弦垂直， 又因为，所以相交弦的最小为，故C正确； 对于D，直线与圆的相交弦的最大值为圆直径4，故D正确. 故选：ACD 11. 已知：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 的必要不充分条件是或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据两直线平行的判定求出的值，进而代入验证两直线是否重合即可判断；对于B，根据两直线垂直的判定求出的值，进而即可判断；对于C，先将化为斜截式，再根据直线不经过第四象限即可得到关于的不等式组，进而求解即可判断；对于D，先得到直线关于原点对称后得到的直线方程，再根据纵截距的定义求出的值，进而即可判断． 【详解】对于A，若，则，即，解得，或， 当时，，，则，符合题意； 当时，，，则，符合题意， 所以或时的充要条件，不是必要不充分条件，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，将化为斜截式，得， 又不经过第四象限，则，解得，故C错误； 对于D，由直线：关于原点对称后得到的直线为， 则纵截距为，解得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的两顶点A，B在直线：上，点C在直线：上．若的面积为2，则AB边的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】易知两直线平行，根据两平行线间的距离公式，求得△ABC的高，进而根据三角形面积公式，求得边AB的长. 【详解】已知直线：，直线：，可知 ， 两平行线间的距离d= ， 根据三角形的面积公式得 ，解得= . 故填：. 【点睛】本题考查了两直线的平行，考查了两平行直线的距离公式的应用；两条平行直线间的距离d=. 13. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值是____________． 【答案】20 【解析】 【分析】由题意，圆C的圆心在直线L上，从而可得，又表示点到直线上的点的距离的平方，从而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】解：因为直线始终平分圆的周长， 所以直线必过圆的圆心，即圆心在直线上， 所以，则表示点到直线上的点的距离的平方， 所以的最小值是， 故答案为：20. 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________. 【答案】 【解析】 【分析】 运用椭圆的定义和圆切线的性质，以及内心的定义，结合解直角三角形的知识，即可求得． 【详解】解：设的内切圆与相切于D，E，F， 设， 则， 由椭圆的定义，可得，， 即有， 即有：，即， 再由， 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的方程的定义，考查切线的性质，内心的定义，属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，直线过点． （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B点，当面积最小时，求直线l的方程． 【答案】（1），或． （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论横截距与两种情况，利用点斜式与截距式可求得直线l的方程； （2）由点斜式设得直线l为，进而求得A，B两点坐标，由此可得面积关于的式子，利用基本关系式即可求得最值时的值，从而可求直线l的方程. 【小问1详解】 若横截距，则纵截距， 则直线l过， ∴直线l的方程为，即； 若横截距，则纵截距， 则直线l的方程为，把点代入，得，解得， ∴直线l的方程为； 综上：直线l的方程为或． 【小问2详解】 直线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于A，B两点， 则直线l的斜率存在且不为0，设为m，且， 则直线l的方程为，即， ∴、， ∴面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 故面积的最小值为4， 此时直线l的方程为，即． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，E为PC中点，作于F. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于O，则O为的中点，连接，且O､E分别为､的中点， 所以，平面，平面，平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于O，连接，通过证明可利用线面平行的判定定理证明结论； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量和直线的方向向量，结合线面角的向量法求解即可； （3）利用空间向量法求出平面，平面的法向量，结合二面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为正方形，侧棱底面， 以点D为坐标原点，DA，DC，DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， ， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，则，所以， 又，所以，解得， 所以.则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则； 设平面的法向量为， 则，即，令，则； 设平面与平面的夹角为，则； 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知圆C过点和且半径为1． （1）求圆C的方程； （2）当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】（1）圆的方程为或 （2）（ⅰ）切线方程为或；（ⅱ）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）由条件求出线段的中垂线方程，结合圆心在该直线上且圆的半径为1列方程组求解即得； （2）先确定圆心在轴上的圆的方程，（ⅰ）分切线斜率存在、不存在两种情况，利用圆心到切线距离等于半径求解切线方程；（ⅱ）联立直线与圆方程，结合韦达定理、向量数量积的坐标运算，利用二次函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 因圆C过点和，则线段的中点为，斜率为1，则其中垂线方程为，即， 设圆心为，因圆的半径为1，则可得，解得或 当时，，圆的方程为； 当时，，圆的方程为. 【小问2详解】 依题意圆心纵坐标，则圆心，半径，圆的方程为. （ⅰ）因过点斜率不存在的直线恰与圆相切，即一条切线方程为； 设另一条切线斜率为，则可设其方程为，即. 由圆心到直线的距离 ，解得，则得切线方程为. 综上，切线方程为或； （ⅱ）联立，消去整理得. 依题意，解得， 设，则， 则， ， 因该函数的对称轴为，故， 即的取值范围为. 18. 已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解． 【小问1详解】 由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的长轴长和离心率； （2）求的面积的最小值； （3）证明：，，三点共线． 【答案】（1）长轴长，离心率. （2）1 （3）证明：设，由得，， 直线的方程为， 代入椭圆方程中得：， 由于是椭圆上的点，所以方程有一个根为， 根据韦达定理，，即， 代入直线的方程得， 同理，可得点坐标：，， 观察坐标可知，与关于原点 对称， 所以，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）直接计算椭圆基本量带入公式计算长轴长和离心率； （2）将的面积的表达式求出来，利用基本不等式求最小值； （3）通过直线方程和椭圆方程联立求与的坐标，发现两点坐标之间的关系为关于原点对称可直接说明三点共线. 【小问1详解】 因为椭圆C：， 所以，所以， 所以长轴长为：，离心率. 【小问2详解】 由题意知， 设, 因为，所以， ,, 所以，即， 因为，所以异号， 则， 当且仅当 时等号成立， 所以的面积的最小值为1. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 曲靖一中麒麟学校2028届高二上学期9月月考 数学试卷 【时间：120分钟 满分：150分 命题人：陈兵 审题人：余志能】 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线过点，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线在x轴上的截距是（ ） A. B. 4 C. D. 3. 圆的半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 已知是椭圆的两个焦点，焦距为6.若为椭圆上一点，且的周长为16，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 设直线，圆，则与圆C（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上都有可能 6. 已知直线与圆相交于两点，则的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，为椭圆C上一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积有最大值但无最小值 B. 的周长为5 C. D. 10. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 圆的圆心坐标为 C. 直线与圆的相交弦的最小值为 D. 直线与圆的相交弦的最大值为4 11. 已知：，：，则下列说法正确的是（ ） A. 的必要不充分条件是或 B. 若，则 C. 若直线不经过第四象限，则 D. 若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的两顶点A，B在直线：上，点C在直线：上．若的面积为2，则AB边的长为__________． 13. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值是____________． 14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为椭圆上异于长轴端点的动点，的内心为I，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，直线过点． （1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； （2）若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A、B点，当面积最小时，求直线l的方程． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，E为PC中点，作于F. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知圆C过点和且半径为1． （1）求圆C的方程； （2）当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 18. 已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段中点的纵坐标为，求直线的方程. 19. 已知椭圆的左顶点为，右焦点为，为原点，，是轴上的两个动点，且，直线和分别与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的长轴长和离心率； （2）求的面积的最小值； （3）证明：，，三点共线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $