精品解析：云南昭通市第一中学2026-2027学年高二上学期第一次检测数学试卷

数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 3. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）. A. B. C. D. 8. 已知半径为1的球与正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知空间向量，且，则实数 B. 直线与直线之间的距离是. C. 已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 C. 平面 D. 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B. 若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 13. 若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 14. 已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是______. 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆过点，圆. （1）求圆的方程； （2）判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 19. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线，则该直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题设知直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 2. 点到直线的距离是（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点到直线的距离是. 3. 若过点的直线与直线垂直，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求直线方程为，代入求解即可. 【详解】设所求直线方程为， 代入， 得， 解得， 所以所求直线方程为. 4. 已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又 ，所以． 因此所求圆的标准方程为． 5. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B. 6. 如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，以为基底，分别表示，再利用向量法即可求出异面直线与所成角. 【详解】设，则，． 以为基底，由题意得，． 因为，， 所以， ， ， 设异面直线与所成角为， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 7. 在中，，，，点为所在平面内的一个动点，且，则的最大值是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理求出，建立平面直角坐标系，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，，先求出的最大值，进而求出的最大值. 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得：，所以， 又因为，所以， 所以建立如图所示的平面直角坐标系，， 因为点为所在平面内的一个动点，且， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 而， 所以. 8. 已知半径为1的球与正三棱柱的三个侧面和两个底面均相切，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球与正三棱柱的内切关系，求解正三棱柱棱长，根据等体积法即可求解. 【详解】球与正三棱柱上下底面相切，因此， 球与三个侧面均相切，因此底面正三角形的内切圆半径等于球的半径， 根据正三角形内切圆半径公式（为正三角形边长），因此， 故的高为， 在正三棱柱中，，因此， 同理，故为等腰三角形， 取中点，连接，则， 因此， 所以， 而，其中为到面的距离， 又因为， 所以，解得. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知空间向量，且，则实数 B. 直线与直线之间的距离是. C. 已知直线过点，且与轴正半轴交于点两点，则面积的最小值为4 D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由空间向量共线相关结论可判断选项正误；B选项，由两平行直线距离公式可判断选项正误；C选项，由题设出直线方程，表示出，即可利用基本不等式判断选项正误；D选项，由直线平移知识结合题意可判断选项正误. 【详解】A选项，由于.所以，所以A选项正确； B选项，直线，因此两平行直线的距离，故B错误； C选项，由题，直线l 斜率存在且不为0，设l： ， 令， .因直线与轴正半轴交于点两点， 则，. 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最小值为4，故C正确： D选项，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD 10. 在正三棱柱中，各棱长均为1，D为BC的中点，则（ ） A. 直线与所成角为 B. 平面 C. 平面 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由为异面直线所成角可判断，对于B，由线面垂直的概念可判断；对于C，连接交于，连接，由可判断，对于D，通过等体积法可判断. 【详解】对于A，如图，因为，所以即为直线与所成角， 又为等边三角形，为的中点，则，即直线与所成角为，A对； 对于B，因为不垂直，即不垂直平面所有直线，故B错， 对于C，连接交于，连接，则为中点． 在正三棱柱中， 因为分别为中点，所以 又因为平面，平面，所以平面； 对于D，因为的面积与的面积相等，且两三角形同在平面中， 故三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 即， 又，，，D错误； 故选：AC． 11. 下列结论正确的是（ ） A. 若圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是 B. 若圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于1，则 C. 曲线：与曲线：恰有三条公切线，则 D. 已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用两圆方程相减即得公共弦方程；对于B，结合直线与圆的位置关系分析需满足，计算即得；对于C，由条件判断两圆外切，可得，计算即得答案；对于D，由切线长定理推得，依题需使最小，即当与直线垂直时，由点到直线的距离公式计算即可. 【详解】对于A，圆的圆心的坐标为，半径 ， 圆的圆心的坐标为，半径 ， 因为，所以圆与圆相交， 将圆与圆的方程左右分别相减，可得， 即为圆与圆的公共弦所在直线的方程，故A正确； 对于B，依题意，需使圆心到直线的距离满足， 解得，故B正确； 对于C， 圆与圆有三条公切线，等价于两圆外切， 由可得，知圆心为，半径为1， 由可得， 知圆心为，半径为，且， 依题意，，解得 ，故C正确； 对于D，如图，由切线长定理，可得，要使最小，需使最小， 因P为直线上一动点，故当与直线垂直时，取得最小值， 此时即圆心到直线的距离为， 故，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离． 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 13. 若圆与直线相交于，，且，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径为， 又，则，所以圆心到直线的距离， 则，整理得到，解得或 14. 已知圆和圆，M、N分别是圆C、D上的动点，P为x轴上的动点，则的最小值是______. 【答案】 【解析】 【分析】先得到，当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立，设C关于x轴的对称点，求出的最小值，进而得到的最小值. 【详解】的圆心为，半径为1， ，圆心为，半径为2， 结合两圆位置可得，， 当且仅当三点共线，且三点共线时，等号成立， 设C关于x轴的对称点，连接，与轴交于点，此点即为所求， 此时， 故即为的最小值， 故的最小值为 故答案为： 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知圆过点，圆. （1）求圆的方程； （2）判断圆和圆的位置关系并说明理由；若相交，则求两圆公共弦的长. 【答案】（1） （2）和圆相交，理由如下， 由（1）得圆的标准方程为：. ∴，，， ∵ 所以圆和圆相交， 设交点为A，B，直线AB方程为即： ， 所以到直线AB的距离所以. 两圆公共弦的长. 【解析】 【分析】（1）先设出圆的一般方程，把已知点代入，可求解； （2）先确定两个圆的圆心和半径，根据圆心距与半径和、差的关系，确定两圆的位置关系.再用直线与圆相交求弦长的方法求公共弦长. 【小问1详解】 设圆的一般方程为：，把已知点代入得： ， 所以圆的方程为： 【小问2详解】 略 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 【小问2详解】 记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 [方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【点睛】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 18. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）略 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题． 19. 已知线段AB的端点，端点B在圆上运动，线段AB的中点M的轨迹方程为圆. （1）求圆C的方程； （2）设点，若圆C上存在点P，使得成立，求实数的取值范围； （3）若斜率为k直线l与圆C相交于E，F两点（不与原点O重合），直线，的斜率分别为，且，证明：直线l恒过定点. 【答案】（1） （2） （3） 设直线l的方程为，，， 由得， 所以， 且 由，得， 所以， 所以，所以直线l的方程为，当时，恒有， 即直线l过定点. 【解析】 【分析】（1）根据圆的概念，以及中点的坐标公式，求出动点的轨迹方程即可. （2）根据两点之间的距离公式，以及圆与圆的位置关系，根据圆的弦长公式，求出参数范围即可. （3）根据直线与圆的位置关系，以及韦达定理，根据斜率之积为定值，求出参数之间的关系，进而求出直线经过的定点即可. 【小问1详解】 如图所示，设， 因为是中点，所以，即， 因为B在圆上运动，所以， 即，整理得圆C方程为. 【小问2详解】 设，因为，所以， 化简得，所以 当时，点P的坐标为，不在圆C上，不符合题意. 当时，点P在以为圆心，为半径的圆上， 依题意圆D与圆C有公共点，又， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $