精品解析：云南省曲靖市麒麟区2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年上学期10月月考 高二年级数学试题卷 （考试时间：120分钟：满分：150分） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷､草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂． 2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为. 故选：D 2. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出两条直线的交点坐标，再利用点与圆的位置关系列出不等式求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为2， 由解得， 则直线与的交点为， 依题意，，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 3. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的方程为，将三个顶点代入圆的方程，求出、、的值，即可得出所求圆的方程. 【详解】设外接圆的方程为， 由题意可得，解得， 因此，外接圆的方程是. 故选：B. 4. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围. 【详解】曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过点定点，如下图， 由图知，当与半圆左上部相切时，且，可得， 结合图知. 故选：B 5. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线平行的充要条件求出满足题设的a值，再由古典概型计算所求概率即可得解. 【详解】若直线与直线平行， 则， 取，则取出的有序数对共有个， 其中满足的有序数对有，，，共4个， 所以所求概率为. 故选：B. 6. 已知集合，则下列结论不正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据几何含义可知A错误；通过求解两直线交点可知B错误；分别讨论和的情况，得到C错误；通过计算两直线重合的情况可知D正确. 【详解】对于A，表示过定点，且斜率不为的直线， 集合表示直线上所有的点，，A错误； 对于B，当时，，， 由得：，，B错误； 对于C，当时，，满足； 当，即时，直线与平行， ，解得：； 综上所述：当时，或，C错误； 对于D，若，则且直线与重合， ，方程组无解，，D正确. 故选：ABC. 7. 已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心，设出直线方程，再由点到直线的距离公式求解即可； 【详解】圆的圆心为， 设直线的方程为，，即， 因为圆心与直线上一动点之间距离的最小值为， 即，整理可得，解得或（舍去）， 故选：B. 8. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设中点为C，由条件得出与的关系结合点到直线的距离解不等式即可. 【详解】设中点为C，则， ∵， ∴，∴， ∵，即， 又∵直线与圆交于不同的两点， ∴，故， 则， . 故选：C． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】依题意，即,解得或. 故选：AB. 10. 下列结论不正确的是（ ） A. 过点的直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，点在轴上，则的最小值是5 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项由斜率求倾斜角；B选项直线定点问题整理直线方程得到含参的方程，令参数前系数为0；C选项通过平行直线距离公式得到距离；D选项数形结合通过三角形三边关系判断. 【详解】对A：因为，而，所以直线的倾斜角不是，故A选项不正确； 对B：由． 由，所以直线恒过定点，故B选项正确； 对C：直线即与直线的距离为：，故C选项不正确； 对D：如图： ，故D选项不正确. 故选：ACD 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 【答案】CD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对选项A，利用向量数量积判断垂直关系；对选项B，利用数量积求异面直线所成的角；对选出C，利用等体积法求三棱锥体积的最大值；对选项D，向量法求直线与平面所成角的正弦值，再根据函数的单调性即可判断. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， ， 对于A，假设存在点，使得， 由，，所以， 解得，即点Q与D重合时，，A错误； 对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为， 由，， 所以，方程无解； 所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误； 对于C，连接； 设，因为， 所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，又点N到平面AMQ的距离， 所以，C正确； 对于D，由上分析知：，， 若是面QMN的法向量，则， 令，则，得， 因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，， 所以， 当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大， 因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确. 故选：CD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列出方程即可求出m的值，求出直线的方程，再由两平行线间的距离公式求出直线与的距离． 【详解】因为//，所以，解得， ， ， 由两平行直线的距离公式可得：， 故答案为： 13. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线垂直得到方程，求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得，故， 因为，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 14. 如果直线被圆截得的弦长为，那么实数_________. 【答案】5或 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化成圆的标准方程，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出. 【详解】由题意知可化为， 可知圆心坐标为，半径， 根据点到直线的距离公式和弦长关系可得 解之可得或. 故答案为：5或 四､解答题：本题共5小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在某次投篮比赛中，需要投篮四次.第一次投篮命中得1分，第二次投篮命中得2分，第三次和第四次投篮命中均得3分，未命中不得分.甲四次投篮命中的概率分别为，且每次投篮能否命中都是相互独立的. （1）求甲四次投篮共得0分的概率; （2）若规定投篮者四次投篮的总得分不低于7分，则晋级成功.求甲晋级成功的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘积公式计算即可； （2）结合互斥事件的概率和公式及独立事件概率乘积公式计算即可. 【小问1详解】 设事件"甲四次投篮共得0分"， 所以. 【小问2详解】 设事件"甲晋级成功"，则甲投篮至少命中3次. 若甲投篮命中3次晋级成功，则甲必定是第一次投篮或第二次投篮没有命中， 则甲投篮命中3次晋级成功的概率. 若甲投篮命中4次，必定晋级成功，则甲投篮命中4次普级成功的概率， 所以，即甲晋级成功的概率为. 16. 在中，角所对的边分别为，，，已知 （1）求A； （2）若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和得到，由辅助角公式得到，求出； （2）由基本不等式求出，得到面积的最大值. 【小问1详解】 ，由正弦定理得 ， 其中， 故， 故， 因为，所以，故， 由辅助角公式得，即， 因为，所以， 所以，解得； 【小问2详解】 ，， 由余弦定理得，即， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，解得，仅当时取等， 故的面积，最大值为. 17. 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得两直线的斜率，结合，求得，得出直线的方程，联立方程组，求得交点坐标. （2）由（1）中的直线方程，求得，，得到的外接圆是以为直径的圆，求得圆心坐标和半径，即可求解. 【小问1详解】 解：显然，可得，， 由，可得，即，解得， 所以直线：，直线：， 联立方程组，解得，所以点． 【小问2详解】 解：由直线：，直线：，可得，， 所以的外接圆是以为直径的圆，可得圆心，半径， 所以的外接圆方程是． 18. 如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上. （1）试用平面解析几何的方法证明：； （2）设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：. 【答案】（1） 证明：圆：，则， 设，则，且为方程的两根， 于是，即有， 设，则，且为方程的两根， 于是，即有， 所以. （2） 证明：由（1）知，，则直线的斜率，而直线的斜率 又，则，因此， 所以. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，借助韦达定理计算推理即得. （2）由（1）中信息，利用斜率坐标公式及垂直关系的判定推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，设，， 所以， 则， 则， 故； （2） 【解析】 【分析】（1）证明线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）在（1）的基础上，得到，故，从而得到线面垂直，故为平面的一个法向量，结合平面的法向量，利用向量夹角余弦公式得到方程，求出，从而求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则， 则， 则， 又，平面， 所以平面， 故为平面的一个法向量， 又平面的法向量为， 则平面与平面的夹角的余弦值为 ， 又平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期10月月考 高二年级数学试题卷 （考试时间：120分钟：满分：150分） 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生必须在答题卡上解题作答，答案书写在答题卡相应位置，在试题卷､草稿纸上作答无效．选择题作答必须用2B铅笔填涂． 2．考试结束后，请将答题卡交给监考教师． 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 已知两直线与的交点在圆的内部，则实数k的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 3. 已知点、、，则外接圆的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则下列结论不正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 当时， C. 当时， D. 对任意的，都有 7. 已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆交于不同的两点，O是坐标原点，且有，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2 10. 下列结论不正确的是（ ） A. 过点的直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，点在轴上，则的最小值是5 11. 如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（ ） A. 不存在点，使得 B. 存在点，使得异面直线与所成的角为 C. 三棱锥体积的最大值是 D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ，与直线平行，则直线与的距离为___________. 13. 已知直线和垂直且，则的最小值为_____. 14. 如果直线被圆截得的弦长为，那么实数_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分､解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 在某次投篮比赛中，需要投篮四次.第一次投篮命中得1分，第二次投篮命中得2分，第三次和第四次投篮命中均得3分，未命中不得分.甲四次投篮命中的概率分别为，且每次投篮能否命中都是相互独立的. （1）求甲四次投篮共得0分的概率; （2）若规定投篮者四次投篮的总得分不低于7分，则晋级成功.求甲晋级成功的概率. 16. 在中，角所对的边分别为，，，已知 （1）求A； （2）若，求面积的最大值． 17. 已知直线：，：，且满足，垂足为C. （1）求m的值及点C的坐标. （2）设直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，求的外接圆方程. 18. 如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线和互相垂直，且分别在轴负半轴和正半轴上，分别在轴负半轴和正半轴上. （1）试用平面解析几何的方法证明：； （2）设四边形的一条边的中点为，试用平面解析几何的方法证明：. 19. 如图，在三棱柱中，平面，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且． （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $