第19章 实数 期中专题复习三 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

第19章 实数 专题一：平方根与立方根 考点1：算术平方根，平方根 一．选择题 1.（2025年杨浦区八上期中） 下列说法正确的是（ ） A. B. 0的平方根是0 C. D. 的平方根是2 【答案】B 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 2.（2025年延安中学第一学期期中） 两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 3.（2025年南洋模范中学第一学期期中）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（ ） A. 3cm B. C. 2 D. 【答案】B 【分析】此题考查了算术平方根的实际应用．设瓶子的底面半径为，根据题意列出方程，求出方程的解即可求解． 【详解】解：设瓶子底面半径为， 根据题意得：， 得， 解得：(负值舍去)， 故瓶子的底面半径为， 故选：B． 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 25的平方根是_____． 【答案】±5 【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根． 【详解】∵（±5）2=25， ∴25的平方根是±5． 【点睛】本题主要考查了平方根的意义，正确利用平方根的定义解答是解题的关键． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解题的关键；根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：的平方根是， 故答案为：． 3.（2025年普陀区八上期中） 已知，那么的平方根为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件确定 x 的值，进而求出 y 的值，计算后求其平方根即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴， ∴， ∴ ∵16 的平方根为， ∴的平方根为， 故答案为： ． 4.（2025年杨浦区八上期中） 客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 【答案】不能 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，理解题意是解决本题的关键． 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍，设存在正整数m、n，使得，两式相除得即可判断． 【详解】解：设地面宽为，则长为， 假设存在边长为s的正方形地砖能铺满地面，则长和宽a都必须是s的整数倍， 即存在正整数m、n，使得． 两式相除得， ∵是无理数，而是有理数，矛盾． ∴不存在这样的正方形地砖． 故答案为：不能． 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 已知，为实数，，则的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 6.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 （1） ， ， ， （2）的整数部分是 ，小数部分是 ； （3）若，则满足条件的整数有 个． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了算术平方根的相关知识，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义及小数点移动规律. (1)根据表格中的数据以及算术平方根的定义进行求解； (2) 由表格知，因为，所以，据此即可解答题目所求； (3) 先对 两边同时平方，再确定n的取值范围，从而得出满足条件的整数n的个数. 【小问1详解】 解：由表格可知， 故答案为∶ ； 【小问2详解】 解：由表格知， ∵ ， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：； 【小问3详解】 解∶ 对 两边同时平方可得 计算可得 ∴ n的取值范围是， 则满足条件的整数n的个数为个． 故答案为∶ ． 三．解答题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 已知的立方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，根据平方根和立方根的定义，得到关于的二元一次方程组，求出的值，再进行求解即可． 【详解】解：∵的立方根为3， ∴，解得， ∴， ∴的平方根为． 考点2：立方根 一．选择题 1.（2025年徐汇区八上期中） 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 【答案】D 【分析】本题考查平方根、立方根、算术平方根的概念，解题的关键是准确理解这些概念的定义． 分别对每个选项根据平方根、立方根、算术平方根的定义进行分析判断． 【详解】解：A、先计算的平方根是，不是，该选项错误； B、负数有立方根，例如的立方根是，该选项错误； C、64的立方根是4，不是，该选项错误； D、先计算的算术平方根是5，该选项正确． 故选：D． 2.（2025年延安中学第一学期期中）如果，那么的结果约是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 解方程：，则_________． 【答案】 【分析】先整理，然后再求的立方根，进而可得的值． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 2.（2025年普陀区八上期中） 的立方根为_________________． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：的立方根为， 故答案为：． 专题二：实数 考点1：有理数的小数形式 一．填空题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）将循环小数化成分数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了无限循环小数转化为分数，运用一元一次方程解实际问题的应用，解答时根据等式的性质变形建立方程是解答的关键． 设循环小数为 ，通过乘法将循环部分对齐，再相减消除循环部分，解方程得到分数形式． 【详解】解：设， ∴ ， ∴两式相减得：， ∴．故答案为：． 考点2：无理数 1． 选择题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 在实数，，，，，，……（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：① 类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：，是正整数，是有理数，，是分数，是有理数， ，是分数，是有理数，，是有限小数，是有理数， ，是无限不循环小数，是无理数，，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， ……（3与1之间依次增加一个0），是无限不循环小数，是无理数， 综上所述：共有3个无理数， 故选：A． 2.（2025年杨浦区八上期中）下列各数中，无理数的个数有（ ） （每两个相邻的2之间多一个1） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数， 逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：， 由无理数的定义可判断是无理数， 所以无理数有三个， 故选：C． 3.（2025年杨浦区八上期中） 下列说法错误的是（ ） A. 实数可分为正实数和负实数两类 B. 正实数包括正有理数和正无理数 C. 实数在数轴上都有唯一对应的点 D. 数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 4.（2025年徐汇区八上期中） 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数叫做无理数，掌握其概念是解题的关键．根据无理数的概念逐一判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，符合题意； B、是小数，不符合题意；C、是分数，不符合题意； D、，是整数，不符合题意； 故选：A． 5.（2025年普陀区八上期中）下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数之比．分别判断各选项即可． 【详解】解：Ａ选项：是有限小数，可写为分数， 是有理数，故A选项不符合题意； B选项：，可写为分数， 是有理数，故B选项不符合题意； C选项：是整数， 是有理数，故C选项不符合题意； D选项：是开不尽方的数，是无限不循环小数， 不能写为分数，是无理数，故D选项符合题意． 故选：D． 6.（2025年延安中学第一学期期中）下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握其概念是做题的关键．根据无理数是无限不循环小数逐个选项判断即可． 【详解】解：A.是有限小数，是有理数，故本选项不符合题意； B.（任何非零数的次方为），是有理数，故本选项不符合题意； C. = 2，是有理数，故本选项不符合题意； D. ，是无理数，也是无理数，故本选项符合题意． 故选：D． 7.（2025年延安中学第一学期期中） 下列说法正确的是（ ） A. 无理数包括正无理数、零和负无理数 B. 无理数与有理数的乘积是无理数 C. 如果是实数，那么没有平方根 D. 实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，实数与数轴上的点一一对应，熟练掌握其概念是做题的关键．根据无理数的定义，实数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.无理数包括正无理数、负无理数，而是有理数，故不符合题意； B.无理数与有理数的乘积不一定是无理数，例如：，而是有理数，故不符合题意； C.当时，，而的平方根是，故不符合题意； D. 所有实数都可以用数轴上唯一的点表示，是实数，故符合题意． 故选：D． 8.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 下列说法正确的是（ ） A. 任意一个非负数都有两个平方根 B. 任意两个正方形一定是全等图形 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的意义、全等图形的判定、三角形内角和定理、无理数的性质，需要依次分析每个选项的正误，从而确定正确选项． 【详解】解：A、根据平方根的意义，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而0属于非负数，但它的平方根是0，不符合题意； B、∵正方形的边长不一定相同，则任意两个正方形不一定是全等图形，不符合题意； C、根据三角形的内角和为，则三角形的内角中最多有一个钝角，符合题意； D、由题意，取两个无理数为，，则它们的和是4，不是无理数，不符合题意． 故选：C． 2． 填空题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 2.（2025年普陀区八上期中） 中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法，_______（精确到） 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，代数式的求值，利用估算得出a的值是解题的关键． 先估算出的大小，得到a的值，代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴． 故答案为：． 考点3：数轴与实数 一．选择题 1.（2025年普陀区八上期中） 如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离．根据点是线段的中点得到，再由数轴上两点之间的距离公式求解． 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 2.（2025年徐汇区八上期中） 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 二．填空题 1.（2025年杨浦区八上期中） 实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 【答案】## 【分析】考查二次根式的性质（、）、数轴上数的大小关系．关键是根据数轴判断符号，正确化简绝对值和二次根式，易错点是忽略根号下表达式的非负性及绝对值符号的处理． 由数轴得，．则，，两者相加得． 【详解】由数轴可知，且． ，． ，根号有意义，，． 因此，原式化简为． 故答案为：． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和实数与数轴，根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是， 故答案为：． 3.（2025年延安中学第一学期期中） 已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．解题关键是数轴上两点间的距离等于它们表示的两数差的绝对值，也可以“大减小”，分类讨论． 设点B表示的数为x，根据数轴上点与点关于原点对称，得点A表示的数为，根据点表示的数是．分当时，当时，写出长的表达式，再根据建立方程，解答即可． 【详解】解：设点B表示的数为x， ∵数轴上点与点关于原点对称， ∴点A表示的数为． ∵点表示的数是． 当时， ∴． ∵， ∴． 解得． ∴． 当时， ∴． ∴． 解得． ∴． 故答案为： 或． 考点4：实数的绝对值和大小比较 一．选择题 1.（2025年徐汇区八上期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根的定义和估算无理数的大小，由正方形的面积等于边长的平方，故根据已知的面积开方即可求出正方形的边长为，然后由可得的取值范围． 【详解】解：设正方形边长为， 由正方形的面积为8得：， 又， ， ，，， 即正方形的边长在2与3之间，故B正确． 故选：B． 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 比较大小：_______． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：>． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可判断． 【详解】解：，且， ． 故答案为：． 3.（2025年徐汇区八上期中） 若与 互为相反数， 则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组，相反数，非负数的性质，熟练掌握运算法则是解答关键． 利用相反数的性质和非负数的性质列出方程求出和，再进行计算求解． 【详解】解：与 互为相反数， , ，， ， 解得， ． 故答案为：． 4.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 如果的整数部分是，小数部分是，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算能力，分母有理化，能够正确的估算出无理数的大小，是正确解答此题的关键．先对估算出大小，从而求出其整数部分a和小数部分是b，再进一步表示出分母有理化即可． 【详解】解：， ， 的整数部分是，小数部分是， ，， ， 故答案为：． 5.（2025年普陀区八上期中） 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查实数大小的比较，关键要熟记实数大小的比较方法．通过将两个数转换为同分母形式，比较分子的大小即可． 【详解】解： ， ， 即 ． 故答案为：． 考点5：实数的运算 一．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算、实数的混合运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据新运算的定义进行计算即可． 【详解】解：由定义，， 代入 ，，得： ． 故答案为：10． 2.（2025年普陀区八上期中） 已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系等知识点，利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键．根据非负数的性质，算术平方根和平方均为非负数，它们的和为零则每个部分为零，从而得到关于和的方程组，解出和的值；再根据等腰三角形的性质，分情况讨论，并利用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：，且，， 且． 解方程组得， 、是等腰三角形的两边长， 需分情况讨论： 当为腰时，则腰长为3，底边为7，此时两边之和，不满足三角形三边关系，故不成立； 当为腰时，则腰长为7，底边为3，此时两边之和，，满足三角形三边关系，故成立． 综上，等腰三角形的三边分别为：，周长为：． 故答案为：． 二．解答题 1.（2025年杨浦区八上期中） 化简： 【答案】 【分析】考查立方根、二次根式、负指数幂、零指数幂的运算性质．关键是熟练掌握各运算的公式，易错点是负指数幂、零指数幂的符号及数值计算错误． 分别计算各项： ； ； ； ． 再将各项结果代入原式． 【详解】原式 2.（2025年徐汇区八上期中） 计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，二次根式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 根据平方差公式与完全平方公式展开，合并，即可． 【详解】解： ． 3.（2025年延安中学第一学期期中） 计算： 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的立方根． 先计算算术平方根，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 4.（2025年延安中学第一学期期中） 计算： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先通分，计算括号内，再进行除法运算即可，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 5.（2025年普陀区八上期中） 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别计算立方根和算术平方根以及化简绝对值，再进行加减计算； （2）先化简二次根式，再进行合并即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 6.（2025年徐汇区八上期中） 超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 【答案】 解：该汽车超速了；理由： ∵，，， ∴ ． 故该汽车超速了． 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，根据二次根式性质进行运算即可． 【详解】略 7.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）如图，花坛底部外周由一段圆弧与正方形的三条边组成，圆弧半径与正方形边长相等．正方形的面积为． （1）求：花坛底部外周的周长（结果保留）； （2）某园林公司要在花坛底部外周铺设景观灯带．已知曲边每米景观灯带的造价为100元，直边每米景观灯带的造价为80元，且A、B、C、D四个连接处每处需打上一个固定装置，每个固定装置5元，求：铺设该花坛底部景观灯带的总造价（取3.14，结果精确到1元）． 【答案】（1） （2）铺设该花坛底部景观灯带的总造价为元 【分析】本题考查求弧长，有理数的混合运算，熟练掌握弧长公式是解题的关键： （1）用弧长加上正方形的3条边的长，即可得出结果； （2）求出各部分的费用总和即可． 【小问1详解】 解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵圆弧半径与正方形边长相等， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴优弧的长为， ∴花坛底部外周的周长为； 【小问2详解】 （元）； 答：铺设该花坛底部景观灯带的总造价为元． 8.（2025年青浦一中第一学期期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米. （1）求广场的周长； （2）除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为元/平方米，求这个广场铺地砖的费用. 【答案】（1）米； （2）元； 【分析】本题考查根式的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．： （1）根据长方形的周长公式列式求解即可得到答案； （2）先用大长方形面积减去小长方形的面积，再乘以单价即可得到答案； 【小问1详解】解：由题意可得， 广场的周长为：， ∴广场的周长为米；. 【小问2详解】解：铺地砖的面积为：（平方米）， ∴这个广场铺满地砖的费用为：（元）． 9.（2025年建平中学期中） 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： （1）如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． （2）如果，其中a，b为有理数，求的值． 【答案】（1）2， （2） 【分析】本题考查了无理数与有理数、二元一次方程组的应用，熟练掌握无理数的运算是解题关键． （1）根据无理数的运算可得，由此即可得； （2）将已知等式可得，从而可得，解方程组即可得． 【小问1详解】 解：∵为有理数， ∴为有理数， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴， 解得， ∴． 考点6：科学计数法 一．填空题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 一种细菌的直径约为0.000032米，这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式中和的确定方法． 确定科学记数法中和的值，将0.000032用科学记数法表示． 【详解】解：科学记数法的表示形式为，其中为整数．对于小于1的数，为负整数，其绝对值等于小数点向右移动的位数， 将0.000032的小数点向右移动5位得到3.2，所以，因此用科学记数法表示为． 故答案为：． 2.（2025年徐汇区八上期中）目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 3.（2025年杨浦区八上期中） 用科学记数法把表示为_____ 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第19章 实数 专题一：平方根与立方根 考点1：算术平方根，平方根 一．选择题 1.（2025年杨浦区八上期中） 下列说法正确的是（ ） A. B. 0的平方根是0 C. D. 的平方根是2 2.（2025年延安中学第一学期期中） 两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 3.（2025年南洋模范中学第一学期期中）如图，一个瓶身部分（不包括瓶颈）是圆柱体的瓶子的容积为，瓶内装着水．当瓶子正放时，瓶内水的高度为；将瓶子倒放时，空余部分的高度为．则瓶子的底面半径为（ ） A. 3cm B. C. 2 D. 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 25的平方根是_____． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 的平方根是________． 3.（2025年普陀区八上期中） 已知，那么的平方根为_____________． 4.（2025年杨浦区八上期中） 客厅地面呈长方形，长与宽的比恰为，现要用同一大小的正方形地砖铺满地面，且正方形不能切割．有一家地砖厂商，能够生产任意边长的正方形，那么这家厂商_____（填“能”或“不能”）生产出符合要求的正方形地砖； 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 已知，为实数，，则的平方根是______． 6.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 根据下表回答下列问题： 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 225 228.01 231.04 234.09 237.16 240.25 243.36 246.49 249.64 252.81 （1） ， ， ， （2）的整数部分是 ，小数部分是 ； （3）若，则满足条件的整数有 个． 三．解答题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 已知的立方根为3，求的平方根． 考点2：立方根 一．选择题 1.（2025年徐汇区八上期中） 下列说法正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 负数没有立方根 C. 64的立方根是； D. 的算术平方根是5 2.（2025年延安中学第一学期期中）如果，那么的结果约是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 解方程：，则_________． 2.（2025年普陀区八上期中） 的立方根为_________________． 专题二：实数 考点1：有理数的小数形式 一．填空题 1.（2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）将循环小数化成分数是_______． 考点2：无理数 1． 选择题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 在实数，，，，，，……（3与1之间依次增加一个0）中，无理数的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2.（2025年杨浦区八上期中）下列各数中，无理数的个数有（ ） （每两个相邻的2之间多一个1） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.（2025年杨浦区八上期中） 下列说法错误的是（ ） A. 实数可分为正实数和负实数两类 B. 正实数包括正有理数和正无理数 C. 实数在数轴上都有唯一对应的点 D. 数轴上任一点都有唯一对应的实数 4.（2025年徐汇区八上期中） 下列实数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 5.（2025年普陀区八上期中）下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 6.（2025年延安中学第一学期期中）下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 7.（2025年延安中学第一学期期中） 下列说法正确的是（ ） A. 无理数包括正无理数、零和负无理数 B. 无理数与有理数的乘积是无理数 C. 如果是实数，那么没有平方根 D. 实数可以用数轴上唯一的一个点来表示 8.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 下列说法正确的是（ ） A. 任意一个非负数都有两个平方根 B. 任意两个正方形一定是全等图形 C. 三角形的内角中最多有一个钝角 D. 两个无理数的和还是无理数 2． 填空题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是______． 2.（2025年普陀区八上期中） 中国古代大数学家张丘建在其著作《张丘建算经》三卷中，用开方法解决了求自然数算术平方根的近似值问题．即若设自然数为，它的算术平方根的整数部分为，则．按照上述取近似值的方法，_______（精确到） 考点3：数轴与实数 一．选择题 1.（2025年普陀区八上期中） 如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年徐汇区八上期中） 如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年杨浦区八上期中） 实数、、在一条没有标明原点的数轴上对应的点、、的位置如图所示，则可化简为_____． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 如图，数轴上点、点所表示的数分别为0和，以为边长作正方形．以点为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点，那么点表示的实数是______． 3.（2025年延安中学第一学期期中） 已知在数轴上点与点关于原点对称，且点在点的左侧．点也在该数轴上，且表示的数是．如果，那么的长为______． 考点4：实数的绝对值和大小比较 一．选择题 1.（2025年徐汇区八上期中）一个正方形的面积是8，估计它的边长大小在（ ） A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 比较大小：_______． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 比较大小：______．（填“”、“”或“”） 3.（2025年徐汇区八上期中） 若与 互为相反数， 则________． 4.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 如果的整数部分是，小数部分是，那么的值是______． 5.（2025年普陀区八上期中） 比较大小：_________．（填“”、“”或“”） 考点5：实数的运算 一．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 定义一种新的运算：对于任意实数a，b，都有，则的值是_______ 2.（2025年普陀区八上期中） 已知、是等腰三角形的两边长，且、满足，则这个等腰三角形的周长为__________． 二．解答题 1.（2025年杨浦区八上期中） 化简： 2.（2025年徐汇区八上期中） 计算： 3.（2025年延安中学第一学期期中） 计算： 4.（2025年延安中学第一学期期中） 计算： 5.（2025年普陀区八上期中） 计算： （1）； （2）． 6.（2025年徐汇区八上期中） 超速驾驶是造成交通事故的重要原因之一．交警部门一般会根据刹车后滑行的距离判断车辆的行驶速度，公式为，其中v表示车速（单位：），d表示刹车后滑行的距离（单位：m），f表示摩擦因数．若交警在处理某次交通事故时，测得，，已知该路段限速，那么该汽车超速了吗？请说明理由．（已知∶，，结果保留一位小数） 7.（2025年奉贤区上外附属奉贤实验中学期中）如图，花坛底部外周由一段圆弧与正方形的三条边组成，圆弧半径与正方形边长相等．正方形的面积为． （1）求：花坛底部外周的周长（结果保留）； （2）某园林公司要在花坛底部外周铺设景观灯带．已知曲边每米景观灯带的造价为100元，直边每米景观灯带的造价为80元，且A、B、C、D四个连接处每处需打上一个固定装置，每个固定装置5元，求：铺设该花坛底部景观灯带的总造价（取3.14，结果精确到1元）． 8.（2025年青浦一中第一学期期中）如图，某小区内有一块长方形广场，广场长为米，宽为米，广场中间有两块大小相同的小长方形绿地（阴影部分），每块小长方形绿地的长为米，宽为米. （1）求广场的周长； （2）除绿地部分，广场其它部分都要铺上地砖，已知铺地砖的费用为元/平方米，求这个广场铺地砖的费用. 9.（2025年建平中学期中） 我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果，其中a，b为有理数，x为无理数，那么且．运用上述知识，解决下列问题： （1）如果，其中a，b为有理数，那么 ， ． （2）如果，其中a，b为有理数，求的值． 考点6：科学计数法 一．填空题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 一种细菌的直径约为0.000032米，这个数用科学记数法表示为______米． 2.（2025年徐汇区八上期中）目前，我国科学家研发出一款芯片拥有近个晶体管，每个晶体管只有3个原子厚，即厚度约为，则数字“”用科学记数法表示为_______ 3.（2025年杨浦区八上期中） 用科学记数法把表示为_____ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $