第1讲 直线与圆（一）专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

直线与圆（一） 直线的方程、位置关系与直线和圆的位置关系 直线的方程、两直线的位置关系与距离 斜率取值的范围，常常不是直接给的，而是藏在一句几何描述里。「过定点作直线与某条线段有公共点」就是这样：让直线绕着定点转动，它与线段所在直线相交的位置会从线段的一端扫到另一端，对应的斜率也跟着从一个边界值连续变到另一个边界值，于是斜率落在两个端点连线斜率之间。这里要先判断定点相对于线段的位置：定点落在两条端点连线斜率同号的一侧，范围就是一个闭区间；若两条端点连线的斜率一正一负，直线转到竖直位置时斜率会断开，范围就要写成两段，并且竖直那条直线本身不在斜率的取值里。 由斜率反推倾斜角的范围，要顺着上一节说的那条「断开」来分。斜率为正的取值给出 轴上方的角，斜率为负的取值给出钝角，两者合起来并不组成一个区间。写成答案时，左段右端取开还是闭，右段左端取开还是闭，都要回到「那条直线能不能取到」上判断，竖直方向永远要从两边都排除掉。 两条直线的对称与最短路径，做法是把折线拉直。平面上从一点出发、碰到一条定直线后再到另一点，路程最短的走法：把其中一个点关于那条直线作对称，再让另一个点与对称点之间的线段穿过定直线，交点就是折点。道理是「对称不改变距离」：折线的前一段长度等于它镜像的长度，于是折线总长等于一条两端固定的折线，而两点之间线段最短。若改成问折点的坐标，把对称点与另一点连成直线、再与定直线求交点即可。 绕定点旋转直线，改变的是倾斜角。旋转角 就是倾斜角的增量，新的斜率由两角和的正切给出：。式子里的 一般由 与 相除得到，题目通常只给其中一个，另一个用平方关系补出来，方向则由「旋转角是锐角还是钝角」确定。算出新斜率之后一定别忘了定点：只换斜率得到的是无穷多条平行直线。 含参数的两条直线，平行的系数条件会解出不止一个参数值，其中一部分让两条直线重合。重合也满足平行的系数条件，所以解出的每一个值都要回代检验一次。检验的办法很省事：把两条方程都化成 、 系数相同的样子，再看常数项是否也相同 —— 相同就是重合，不同才是平行。 例1（填空·★★★☆☆） 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 【切入点】过定点的直线与一条线段有公共点，等价于这条直线处在「过定点与线段一端」和「过定点与线段另一端」这两条直线之间，斜率也就落在两个边界值之间。 【关键】设 的斜率为 。 与线段 有公共点，当且仅当 介于 与 之间。由 、、 算得 ，。因为 在直线 的下方，两条边界斜率同号，所以 的取值范围是 。 【易错】两个端点本身在线段上，所以 能取到两个边界值，区间要写成闭的。另一处容易漏的是先判位置：若 落在两条边界连线斜率一正一负的一侧，直线转到竖直时斜率断开，范围就要分成两段，而且竖直那条直线本身不在范围内。 【答案】 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【切入点】方程里含 ，先看它能取到哪些值，斜率就被夹在了一个固定的范围里；再由斜率反推倾斜角，要按斜率为正、为负分成两段。 【关键】直线 的斜率 。 遍取 ，所以 。设倾斜角为 ： 时 ； 时 。所以 。故选 C。 【易错】倾斜角与斜率不是同增同减的： 由 增到 时 从 增到无限大，由 增到 时 从负无穷增到 ，在 处断开。所以 对应的角必须写两段，写成一个区间就等于把竖直方向也包括进去了。 【答案】C 例2（单选·★★★☆☆） 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为。则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】「先到河边饮马，再去军营」是一条折线，求折线最短的标准动作是把其中一个端点关于河岸线作对称，把折线拉成一条直线。 【关键】 关于直线 （即 ）的对称点是 —— 关于 的对称变换把横、纵坐标交换。折线 的长度等于折线 的长度，当 落在直线 上时取到最小值，这个最小值就是 。故选 C。 【易错】对称轴的种类要分清：关于 对称是交换坐标，关于 对称是交换后再各自取相反数，关于坐标轴对称只改一个坐标的符号。把 直接当成对称点（不走对称这一步）会得到 ，正好落在一个错误选项之外，很容易被忽略。 【答案】C 变式2-1（单选·★★★☆☆） 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（ ）。 A. B. C. D. 【切入点】这道题问的不是最短总路程，而是饮马的地点，所以还要多一步：把对称点与军营连成直线，再与河岸线求交点。 【关键】把河岸线写成 。点 代入左边得 ，除以 得 ，于是 的对称点为 。直线 过 、，斜率为 ，方程为 。与 联立：，解得 ，进而 。故选 C。 【易错】对称点算错，后面全错，所以务必回代检查两个条件： 与 的中点是 ，代入 恰好成立；连线斜率 ，与河岸斜率 之积为 ，两条线垂直。另外求交点时代入的是河岸线本身，不要错代成对称点与军营连线的方程。 【答案】C 例3（单选·★★★☆☆） 将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（ ） A. B. C. D. 【切入点】绕定点旋转不改变直线经过的那个点，只把倾斜角增加 ，所以新斜率可以用两角和的正切算出来。 【关键】 即 ，斜率 。由 且 为锐角，得 ，于是 。旋转后的倾斜角是 ，。所以新直线过点 且斜率为 ，方程为 ，即 。故选 A。 【易错】只把斜率换成 是不够的 —— 斜率为 的直线有无穷多条，必须再用「绕点 旋转」这个条件把它定下来。另外两角和的正切分母是 ，符号写反会得到 ，选项里没有，正好提示出错了。 【答案】A 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 若直线，的倾斜角分别为，，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】已知一条直线的斜率与两条直线倾斜角之差，求另一条的斜率，用两角差的正切把三者连起来。 【关键】由 得 ，所以 。由 得 。套两角差的正切公式，。故选 A。 【易错】两角差的正切分母是 ，两角和使用的是 —— 这道题恰好同时出现两个公式，符号反了结果就差一个负号。另外可以先估一下量级： 对应约 ，减去 得约 ，正切略大于 ，与 相符，能挡下抄错符号的错。 【答案】A 变式3-2（填空·★★★☆☆） 若直线与直线平行，则 = ______． 【切入点】两条直线已经写成一般式，平行的系数条件可以直接列。 【关键】直线 的系数为 、，直线 的系数为 、。由平行得 ，即 ，解得 。回代： 两边乘 得 ，与 系数成比例、常数项不成比例，确实平行。所以 。 【易错】平行的系数条件是 ，垂直的系数条件是 ，两个式子长得像，只有中间那个符号不同，抄错就全错。保险的做法是先写下两个式子的样子再代数，不要凭手感直接写。 【答案】 圆的方程与直线和圆的位置关系 过定点的弦有无穷多条，其中最短的那一条有固定的位置。设定点为 、圆心为 ，弦长为 ，要让弦长最短就得让圆心到直线的距离 最大；而 不会超过 ，取到最大值的时候直线垂直于 。所以遇到「弦长最小」的问法，先确认直线是否真的过定点：把含参数的直线方程按参数整理一下，让参数的系数同时为零，解出来的点就是那个定点。 「圆上恰有几个点到直线的距离等于定值」，要从两侧分别数。圆心到直线的距离记作 ，在直线两侧各作一条与它平行、距离为定值的直线，这两条平行线各自与圆有几个公共点，加起来就是答案。于是问题化成「圆心到某条直线的距离与半径比大小」，数一数两条线上各得几个交点即可。常见的落点有：两条都相交得 个，一条相交一条相切得 个，两条都相切得 个，一条相交一条相离得 个。 过定点的直线与圆只有一个公共点，等价于这条直线与圆相切，但不能只设斜率求解 —— 还要把「斜率不存在」的那条竖直直线单独验一次。若定点在圆外，这样得到两条切线；若定点恰好落在圆上，竖直方向的那条也可能是切线之一。漏掉竖直情形的后果与多算一样严重，写成答案之前按「两条切线」这个常识对一下数目。 求与两条已知直线都相切的圆，把两个「距离等于半径」同时写上。圆心 到两条直线的距离都等于 ，把两式相除，绝对值会分成两种符号，也就是圆心在两条直线所成角的内角平分线或外角平分线上。再配合圆心所在的位置条件（比如在坐标轴上、或在另一条直线上），就能把圆心定下来，半径随之得出。这类题最后一定要检查圆心到两条直线的距离是否真的相等。 解答题的标准流程是三步：先把圆心设成 、半径设成 ，再把题目给的每一个几何条件翻译成一个含 、、 的方程，最后解方程组。条件与方程的对应关系是固定的：「过某点」写成点到圆心的距离等于 ，「与某直线相切」写成圆心到该直线的距离等于 ，「在直线上截得弦长为某值」写成弦心距的平方加半弦的平方等于 。三个条件定三个未知量，缺哪一个都要另找线索。 例4（单选·★★★☆☆） 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【切入点】题目的两个条件分别是「与 轴相切」和「在某直线上截得弦长」，前者给出半径与圆心的关系，后者用弦心距的直角三角形。 【关键】圆心在 上，设圆心为 。圆与 轴相切，故半径 。圆心到直线 的距离 。弦长为 ，所以 ，即 ，整理得 ，解得 或 。 时圆心为 、半径 ，方程为 ； 时圆心为 、半径 ，方程为 。故选 A。 【易错】最容易漏的是两种情况都要留 —— 的二次方程有两个根，题目没有额外的限制条件，所以圆的方程有两个答案，选项里也正是成对出现的。另外「与 轴相切」给的是半径等于 ，不是 ；漏掉绝对值会在 时把半径写负，进而把半径的平方算成分外的负数。 【答案】A 变式4-1（填空·★★★★☆） 已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 【切入点】圆心在 轴正半轴上，可以设成 ，「与两条直线都相切」翻译成两个距离相等，绝对值拆开时要分情形。 【关键】设圆心为 ，。它到 的距离是 ，到 的距离是 。两距离相等，约去 得 。若 ，解得 ；若 ，解得 ，与 矛盾，舍去。所以圆心为 ，半径 ，，圆为 。 【易错】两边的分母都是 ，约掉之后剩下的是绝对值方程，必须分情形解，只取一种情形会漏根或收进不合题意的根。另外「圆心在 轴正半轴」这个限定是排除 的关键，读题时不要漏。 【答案】 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】含参数的直线多半过定点。把方程按参数整理，让参数的系数同时为零，定点就出来了；过定点的弦里最短的一条垂直于「圆心与定点的连线」。 【关键】 整理成 ，它对任意 都过点 。圆 的圆心为 、半径 ，。弦长为 ，而 ，所以 取到最大值 时弦长最小，最小值为 。故选 D。 【易错】弦长最小的判据是「弦心距最大」，不要记成「弦心距最小」。另外要确认点 在圆内（本题 ），若定点在圆外，弦心距能取到的最小值不是 ，最值问题要按到定点的距离重新算。 【答案】D 例5（填空·★★★☆☆） 圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. 【切入点】切点既在圆上又在直线上。先由「在圆上」把方程里的参数定出来，再让切线与过切点的半径垂直。 【关键】把 代入圆的方程，得 ，解得 。于是圆为 ，配方得 ，圆心为 。过切点 的半径所在直线斜率是 ，切线与它垂直，所以切线斜率为 。 【易错】不要用「联立后判别式为零」去硬解 —— 切点已知时，垂直关系只要一步。另外切点与圆心的连线不一定水平或竖直，本题斜率是 而不是无穷，所以切线斜率就是 ，不必额外讨论竖直情形。 【答案】 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 【切入点】「只有一个公共点」就是相切。直线过定点，设成斜截式，让圆心到它的距离等于半径。 【关键】圆 配方得 ，圆心为 、半径 。过 的直线设为 ，即 。圆心到它的距离 。相切时 ，即 ，解得 ，所以 。 【易错】设成 时默认了直线有斜率，所以要把竖直线 单独验一次 —— 本题 过的点 在圆外，而它到圆心的距离是 ，与圆相离，不是切线，可以排除。这一步虽然本题不改变答案，但跳过它就是漏了一种情形。 【答案】 例6（解答·★★★★☆） 已知圆，直线。（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程。 【切入点】两问的问法不同，用的却是同一把尺子：把圆配方求出圆心与半径，再把「相切」「弦长」翻译成圆心到直线的距离。注意 可以整理成 ，它对任意 都经过点 。 【关键】圆 配方得 ，圆心为 、半径 。圆心到直线 的距离 。 【关键】相切时 ，即 ，两边平方得 ，解得 。弦长 时，由 得 ，即 ，于是 ，两边平方得 ，整理得 ，解得 或 。 时直线为 ； 时直线为 。所以直线 的方程为 或 。 【易错】两问的右边分别是 与 ，平方之后容易把 的系数写乱，所以要一步一步写清楚，不要在脑子里合并。另外第（2）问弦长对应的 有两个值，直线方程也要写两条，只写一条会丢分。 【答案】① ；② 或 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 = ___________________． 【切入点】「圆上恰有几个点到直线的距离为定值」，要在直线两侧各作一条距离为定值的平行线，数一数这两条线与圆各有几个公共点。 【关键】圆 的圆心为 、半径 。设圆心到直线 的距离为 。与 平行、距离为 的两条直线，到圆心的距离分别是 与 。要让总数恰为 ，只能是「一条与圆相交得 个、另一条相切得 个」：需要 且 ，即 。于是 ，解得 或 。直线不过第三象限， 时直线为 ，取 时左边 可以为零，确实穿过第三象限，舍去；所以 。 【易错】总数是「两侧相加」，不是只看一侧。把 直接当成 之外的数都会得到别的个数： 时两条辅助线都与圆相交，共 个点；而题目要的是 个，对应的是「 而 」。另外「不过第三象限」是第二个限制，用它把 排掉，不能只凭 的正负判断。 【答案】 变式6-2（单选·★★★★☆） 已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【切入点】圆心角小于某个值，等价于弦心距大于某个值。圆心角与弦心距的关系是 ，把角的范围翻译成 的范围，再解含 的不等式。 【关键】圆 的圆心为 、半径 。直线 即 ，圆心到它的距离 。由 得 ，于是 。另一方面直线与圆交于不同两点，需要 。 【关键】先解 ：两边平方得 ，即 ，解得 。再解 ：两边平方得 ，整理得 ，所以只要 即可。两者合起来得 。故选 D。 【易错】条件有两层，只解一层会选出 A 或 C。「劣弧所对的圆心角小于 」在 上的表现是大于，不是小于 —— 弦心距越大圆心角越小，方向别反。另外 解出来是一个恒成立（除去一点）的式子，那一处恰好对应直线与圆相切、只有一个公共点，与「交于 、 两点」矛盾，必须去掉。 【答案】D 学科网（北京）股份有限公司 $ 直线与圆（一） 直线的方程、位置关系与直线和圆的位置关系 直线的方程、两直线的位置关系与距离 斜率取值的范围，常常不是直接给的，而是藏在一句几何描述里。「过定点作直线与某条线段有公共点」就是这样：让直线绕着定点转动，它与线段所在直线相交的位置会从线段的一端扫到另一端，对应的斜率也跟着从一个边界值连续变到另一个边界值，于是斜率落在两个端点连线斜率之间。这里要先判断定点相对于线段的位置：定点落在两条端点连线斜率同号的一侧，范围就是一个闭区间；若两条端点连线的斜率一正一负，直线转到竖直位置时斜率会断开，范围就要写成两段，并且竖直那条直线本身不在斜率的取值里。 由斜率反推倾斜角的范围，要顺着上一节说的那条「断开」来分。斜率为正的取值给出 轴上方的角，斜率为负的取值给出钝角，两者合起来并不组成一个区间。写成答案时，左段右端取开还是闭，右段左端取开还是闭，都要回到「那条直线能不能取到」上判断，竖直方向永远要从两边都排除掉。 两条直线的对称与最短路径，做法是把折线拉直。平面上从一点出发、碰到一条定直线后再到另一点，路程最短的走法：把其中一个点关于那条直线作对称，再让另一个点与对称点之间的线段穿过定直线，交点就是折点。道理是「对称不改变距离」：折线的前一段长度等于它镜像的长度，于是折线总长等于一条两端固定的折线，而两点之间线段最短。若改成问折点的坐标，把对称点与另一点连成直线、再与定直线求交点即可。 绕定点旋转直线，改变的是倾斜角。旋转角 就是倾斜角的增量，新的斜率由两角和的正切给出：。式子里的 一般由 与 相除得到，题目通常只给其中一个，另一个用平方关系补出来，方向则由「旋转角是锐角还是钝角」确定。算出新斜率之后一定别忘了定点：只换斜率得到的是无穷多条平行直线。 含参数的两条直线，平行的系数条件会解出不止一个参数值，其中一部分让两条直线重合。重合也满足平行的系数条件，所以解出的每一个值都要回代检验一次。检验的办法很省事：把两条方程都化成 、 系数相同的样子，再看常数项是否也相同 —— 相同就是重合，不同才是平行。 例1（填空·★★★☆☆） 经过点作直线，若与连接，两点的线段有公共点，则的斜率的取值范围为___________． 变式1-1（单选·★★☆☆☆） 设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为。则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 变式2-1（单选·★★★☆☆） 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（ ）。 A. B. C. D. 例3（单选·★★★☆☆） 将直线绕点逆时针旋转（为锐角，其中）后所得直线方程为（ ） A. B. C. D. 变式3-1（单选·★★☆☆☆） 若直线，的倾斜角分别为，，则 = （ ） A. B. C. D. 变式3-2（填空·★★★☆☆） 若直线与直线平行，则 = ______． 圆的方程与直线和圆的位置关系 过定点的弦有无穷多条，其中最短的那一条有固定的位置。设定点为 、圆心为 ，弦长为 ，要让弦长最短就得让圆心到直线的距离 最大；而 不会超过 ，取到最大值的时候直线垂直于 。所以遇到「弦长最小」的问法，先确认直线是否真的过定点：把含参数的直线方程按参数整理一下，让参数的系数同时为零，解出来的点就是那个定点。 「圆上恰有几个点到直线的距离等于定值」，要从两侧分别数。圆心到直线的距离记作 ，在直线两侧各作一条与它平行、距离为定值的直线，这两条平行线各自与圆有几个公共点，加起来就是答案。于是问题化成「圆心到某条直线的距离与半径比大小」，数一数两条线上各得几个交点即可。常见的落点有：两条都相交得 个，一条相交一条相切得 个，两条都相切得 个，一条相交一条相离得 个。 过定点的直线与圆只有一个公共点，等价于这条直线与圆相切，但不能只设斜率求解 —— 还要把「斜率不存在」的那条竖直直线单独验一次。若定点在圆外，这样得到两条切线；若定点恰好落在圆上，竖直方向的那条也可能是切线之一。漏掉竖直情形的后果与多算一样严重，写成答案之前按「两条切线」这个常识对一下数目。 求与两条已知直线都相切的圆，把两个「距离等于半径」同时写上。圆心 到两条直线的距离都等于 ，把两式相除，绝对值会分成两种符号，也就是圆心在两条直线所成角的内角平分线或外角平分线上。再配合圆心所在的位置条件（比如在坐标轴上、或在另一条直线上），就能把圆心定下来，半径随之得出。这类题最后一定要检查圆心到两条直线的距离是否真的相等。 解答题的标准流程是三步：先把圆心设成 、半径设成 ，再把题目给的每一个几何条件翻译成一个含 、、 的方程，最后解方程组。条件与方程的对应关系是固定的：「过某点」写成点到圆心的距离等于 ，「与某直线相切」写成圆心到该直线的距离等于 ，「在直线上截得弦长为某值」写成弦心距的平方加半弦的平方等于 。三个条件定三个未知量，缺哪一个都要另找线索。 例4（单选·★★★☆☆） 已知圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线上截得的弦长为，则圆的方程是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 变式4-1（填空·★★★★☆） 已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 变式4-2（单选·★★★☆☆） 已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 例5（填空·★★★☆☆） 圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________. 变式5-1（填空·★★★☆☆） 若过点的直线l与圆只有一个公共点，则l的斜率为______． 例6（解答·★★★★☆） 已知圆，直线。（1）当为何值时，直线与圆相切；（2）当直线与圆相交于两点，且时，求直线的方程。 变式6-1（填空·★★★☆☆） 已知圆和不过第三象限的直线，若圆上恰有三点到直线l的距离均为3，则实数 = ___________________． 变式6-2（单选·★★★★☆） 已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $