河南郑州市第四初级中学2026-2027学年九年级上学期第一次课后练习数学试卷

2026-2027学年上期九年级第一次课后练习 数学试卷 总分: 120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A. 4, 3, 8、6 B. 1, 2, 3, 5 C. 3. 4, 5, 6 D. 2. 3, 6. 8 2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对边相等 B.对角相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 3.如图所示的几何体，其主视图是( ) 4.在一个不透明的袋子中有除颜色外其它均相同的7个黑球、5个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球的个数约为( ) A. 8 B. 6 C. 12 D. 4 5.如图,直线a∥b∥c,直线m, n相交于点O，且分别与直线a，b，c的相交于点A, B, C和点 D. E, F,已知OA=3, OB=4, BC=6, EF=5,则DO的长度是( ). A. 3 B.2 C. D. 6.根据下表： x - 3 -2 -1 … 4 5 6 13 5 - 1 …… - 1 5 13 确定方程 的解的取值范围是( ) A. - 2<x<-1或4<x<5 B. - 2<x<-1或5<x<6 C. - 3<x<-2或5<x<6 D. - 3<x<-2或4<x<5 7.边长分别为10、6、4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在周一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为( ) A. 15 B. 18 C. 21 D. 30 8.如图,菱形ABCD∽菱形ABFG,菱形 AEPG的顶点G在菱形ABCD的BC边上运动,GF与AB 相交于点 H, 若CG=3,AH=7,则菱形ABCD的边长为( ) A. 8 B. 9 9.高0.8米的圆桌，直径BC为1米，在距地面2米的A 处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D、E，依据题意建立如图所示的平面直角坐标系，其中点D的坐标为(2，0)，则点E的坐标是( ) A. B.(3, 0) C. (3.6, 0) D.(4, 0) 10. 如图, 在矩形ABCD 中,AB=8,AD=4,连结AC,E ,F分别在边AD,CD上,连结BE,BF 分别交 AC于点 M,N,若 则下列结论中： ②CABF③BN=④AE=结论正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二.填空题(每小题3分，共15分) 11. 已知 则 的值是 12.如图，点C 是线段AB的黄金分割点，即，若 表示以CA为一边的正方形的面积， 表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则 与 S₂的大小关系是 13.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,过点A 作 垂足为点B，若,则∠BAE的度数是 . 14.如图，△ABC中 AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′,且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1.设点B的对应点 B′的横坐标是a，则点B横的坐标是 (用含a的式子表示) 15.如图,菱形 ABCD 的边长为12, ∠ADC=120°, E是边AD的中点，F是边 AB上的一个动点，将线段EF绕着点E逆时针旋转60°得到 EG,连接 BG, CG,则 BG+CG 的最小值是________. 三、解答题(共8小题，共75分) 16.(9分)如图，公路旁有两个高度相同的路灯AB. CD，小明上午上学时发现路灯 AB 在太阳光下的影子恰好落到里程碑E处，他自己的影子恰好落在路灯 CD的底部C处.晚自习放学时，小明站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在里程碑E处。 (1)①在图中画出光线，标出太阳光、灯光： ②画出小明的位置(用线段FG表示). (2)若上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明身高为1.5米，他离里程碑E的距离恰好为5米，求路灯的高度. 17.(8分)已知关于x的一元二次方程 有两个实数根x₁和x₂. (1)求实数m的取值范围； (2)是否存在m的值使得 成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 18.(6分)如图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上，在图①、图②中、只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，保留必要的作图痕迹. (1)在图①中以点A为位似中心、以线段AD为边画一个三角形，使它与△ABC位似； (2)在图②中线段AB上画一个点P，使 19.(10分).如图,已知:在四边形ABFC中, ∠ACB=90°,BC的垂直平分线 EF交BC于点D,交AB于点E,且CF∥AE. (1)求证:四边形 BECF 是菱形; (2)当∠A= °时,四边形 BECF 是正方形; (3)在(2)的条件下,若AC=4,则四边形ABFC的面积为 . 20.(8分)一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀. (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 ; (2)若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率.(请用画树状图或列表的方法说明理由) 21.(10分)飞虹塔是山西具有代表性的古建筑之一.某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见表. 主题 测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为3米的标杆垂直立于地面点 D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交直线BD于点Q,测得QD=4米. 步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点 P,测得PF=6米,FD=28米. (以上数据均为近似值) 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度 AB. 22.(10分)某商场销售一种环保节能材料，平均每天可售出100盒，每盒利润120元.由于市场调控，为了扩大销售量，商场准备适当降价.据调查，若每盒材料每降价1元，每天可多售出2盒.根据以上情况，请解答以下问题： (1)当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利 元. (2)为了更多的让利于消费者，且保证每天销售这种节能材料获利达14400元，则每盒应降价多少元? (3)在本次销售活动中该商场每天利润能否达到15000元?请说说你的理由. 23. (14分) (1)【问题发现】如图1, △ABC和△BDE都是等边三角形，射线 AD，射线 CE相交于点 F，则 AD与CE的数量关系是 , ∠CFA 的度数是 . (2)【变式探究】如图2,把等边△ABC和等边△BDE 都换成等腰直角三角形，其中∠BAC=∠BDE=90°，其它条件不变，那么 AD 和 CE数量关系是 . ∠CFA 的度数是 ，请说明理由. (3)【拓展迁移】如图3，四边形 ABCD和四边形 AEFG 都是正方形,AB=4、2 ,AG=4,将正方形AEFG绕点A 旋转,当C, E, F三点共线时, DE的长为 . (4)【拓展延伸】如图4,矩形ABCD≌矩形CEFG,AB=2,BC=1,将矩形CEFG绕点C旋转,连接AF、DG,当AF 与矩形 CEFG的一边垂直时，DG的长为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级第一次课后练习 数学试卷答案 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.A 7.A 8.B 9.A 10.C 二、填空题(每小题3分，共15分) 11.- 12.= S₂ 13. 14.- 15.4 三、解答题(共8小题，共75分) 16.解：(1)根据题意画图如图所示. (2)∵上午上学时，高1米的木棒在太阳光下的影子为2米，小明的身高为1.5米， ∴小明的影长CF为3米. ∵小明离里程碑 E的距离恰好为5米，即EF=5米， 米. ∴路灯的高度为2.4米. 17.解：(1) 关于 的一元二次方程 有两个实数根 和 ， ，解得 ； (2) 不存在 的值，使得 成立． 理由如下： 、 是一元二次方程 的两个实数根， ， ． 若 成立，则 ，解上述方程得， ． 中 ， 中 ， 矛盾， 不存在 的值，使得 成立． 18.解:(1)如图1, 即为所求。 (2)如图 2,点 P 即为所求。 19.(1)证明：∵ EF垂直平分 BC， ∴ BF=FC，BE=EC， ∴ ∠FCB=∠FBC， ∵ CF // AE ∴ ∠FCB=∠CBE， ∴ ∠FBC=∠CBE， ∵ ∠FDB=∠EDB，BD=BD， ∴ △FDB≡△EDB(ASA)， ∴ BF=BE， ∴ BE=EC=FC=BF， ∴ 四边形 BECF 是菱形； (2)解：当 时，四边形 是正方形，理由如下： 若四边形 是正方形，则 ， ， ， ， ， 由(1)知四边形 是菱形， 四边形 是正方形； 故答案为：45； (3)解：由(2)知，四边形 是正方形， ， 四边形 的面积为 ， 故答案为：24． 20.解：(1) 由题意知，共有 4 种等可能的结果，其中恰好抽到“夏”的结果有 1 种， 从盒子中任意抽取 1 张书签，恰好抽到“夏”的概率为 。 故答案为： 。 (2) 列表如下： 春 (春,夏) (春,秋) (春,冬) 夏 (夏,春) (夏,秋) (夏,冬) 秋 (秋,春) (秋,夏) (秋,冬) 冬 (冬,春) (冬,夏) (冬,秋) 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有：(春，秋),(秋,春),共2种, ∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为 21.【详解】解: ∵CD⊥PB, AB⊥PB, ∴CD∥AB, ∴△QCD∽△QAB, 同理: △PEF∽△PAB, ∵EF=CD, ∵QD=4米, PF=6米, FD=28米, ∴BD=56米, ∴AB=45米, ∴飞虹塔的大致高度是45米. 22.解：(1)根据题意得： （120−20）×（100+2×20）=（120−20）×（100+40）=100×140=14000（元）， ∴ 当每盒材料降价20元时，这种材料每天可获利14000元． 故答案为：14000； (2)设每盒应降价 x 元，则每盒的销售利润为 120−x 元，平均每天可售出 100+2x 盒，根据题意得： 120−x100+2x=14400，化简得： x2−70x+1200=0，解得： x1=30， x2=40， ∵ 要更多的让利消费者， ∴ 每盒应降价40元． 答：每盒应降价40元； (3) 在本次销售活动中该商场每天利润不能达到 15000 元，理由如下： 假设在本次销售活动中该商场每天利润能达到 15000 元，设每盒应降价 y 元，则每盒的销售利润为 120−y 元，平均每天可售出 100+2y 盒， 根据题意得： 120−y100+2y=15000，化简得： x2−70x+1500=0， ∵ Δ=−702−4×1×1500=−1100<0， ∴ 原方程没有实数根， ∴ 假设不成立，即在本次销售活动中该商场每天利润不能达到 15000 元． 23.解: (1)∵△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴BE=BD, AB=BC, ∠DBE=∠ABC=60°, ∴∠DBA=∠EBC, ∴△DBA≌△EBC(SAS), ∴AD=CE, ∠DAB=∠ECB, 如图，记AB，CF的交点为T， ∵∠ATD=∠BTC, ∴∠CFA=∠ABC=60°; (2)如图,记AF, CB的交点为T, 和 都换成等腰直角三角形， (3)如图,连接AF,当F在线段CE上, 由(2)得: 即 ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， 而C,E,F三点共线， 如图，当F在CE的延长线上时， 同理可得： (4)如图,当 则 连接AC, CF, 而∠CEF=∠GFE=90°, ∴A, E, F共线, ∵矩形ABCD≌矩形CEFG, AB=2,BC=1, ∠ACD=∠FCG, DC=CG=2, ∴△ACF∽△DCG, 即 ∵A, E, F共线, 如图，当 时， 同理可得： AF=AG+GF=2, 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $