专题06一元二次方程的应用 同步培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题06一元二次方程的应用同步培优讲义 ✺知识框架 本章学习一元二次方程解决实际问题。解题思路：寻找等量关系，设元、列一元二次方程，求解后结合实际意义取舍根。 六大常考题型：增长率、下降率问题；传播与裂变问题；图形面积问题；销售利润问题；几何动点问题；组合计数问题。 ✺学习目标 1.掌握一元二次方程应用题六步解题法，熟练六类题型的等量关系模型。 2..学会审题建模，能用代数式表示相关量，解方程并根据实际取舍根。 3.规范答题格式，识别常见易错点，体会方程建模思想。 ✺知识梳理 知识点一、一元二次方程解题步骤 1审：梳理题干已知量、未知量，找准核心等量关系。 2设：优先直接设未知数，复杂题型间接设元，标注单位。 3列：用含未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列出一元二次方程。 4解：选用合适方法解方程，求出两个实数根。 5验：双重检验，检验数值是否为方程的根，同时检验是否符合实际情境，舍去不合理解。 6答：依据题干问题，带单位规范作答。 知识点二：六大核心应用题型 题型一：增长率/下降率问题（经济、产量、数量变化） 核心原理：连续变化的基数递推关系，适用于两年及以上的增长、降价、减产问题。 通用公式：连续增长：a(1+x)2=b；连续下降：a(1-x)2=b 其中a为初始基数（原来的量），x为平均增长率或下降率，b为两次变化后的最终量。 题型二：传播与裂变问题（病毒传播、消息扩散、细胞分裂） 核心原理：每一轮传播的个体均参与下一轮传播，数量呈指数级增长。 通用模型：若每轮每人传播x人，初始1个传染源，经过两轮传播后总数量为N，则方程为：1+x+x(1+x)=N，整理得(1+x)2=N。 场景说明：常见于传染病传播、微信消息转发、细菌繁殖等问题，是九年级高频基础题型。 题型三：图形面积问题（矩形、正方形、道路、边框） 核心原理：利用几何图形面积公式，结合图形拼接、裁剪、留白、修路等场景找等量关系。 常见基础模型：矩形长宽变化：原长m、原宽n，长宽同时增减x，新面积为S，列方程：(m± x)(n±x)=S。 道路留白模型：矩形场地内修等宽道路，剩余区域拼接为新矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后矩形面积=剩余面积”列方程。 易错提醒：图形边长必须为正数，解得的x必须小于图形原有边长，超出范围的根舍去。 题型四：销售利润问题 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 题型规律：售价涨跌会带动销量变化，通常设单价涨跌幅度为x，分别表示出变化后的单件利润和销量，代入总利润公式列二次方程。 题型五：几何动点问题 核心原理：点在几何图形边上匀速运动，用含x的代数式表示动态线段长度，结合面积、线段关系列方程。 基础模型：矩形、直角三角形中，动点运动时间为x，根据速度×时间=路程，表示出变化后的边长，利用面积公式建立一元二次方程。 限制条件：动点运动时长、线段长度必须为正数，且运动范围不超出图形边长，以此检验根的合理性。 题型六：组合计数问题（握手/互赠/单循环） 核心场景：多人握手、两两签约、互赠贺卡、单循环球赛，属于标准乘积型二次关系。 两大基础模型： 无顺序（握手、比赛、两两组合）：x(x-1)=总次数 有顺序（互赠礼物、互发消息）：x(x-1)=总数量 其中x为总人数或总队数，有顺序问题无需乘二分之一，无顺序问题需要去重新乘二分之一。 易错点梳理 1.不检验根，忽略实际意义，没有舍去不合理的解。 2.设未知数、作答时遗漏单位，造成步骤扣分。 3.面积问题处理道路、边框时，边长加减宽度出错。 4.利润问题，涨价或降价对应的销量变化写反 ✺题型精讲 题型1.传播问题（一元二次方程的应用） 1．某地区发现1例传染病，经过两轮传染后共有81人患病，设每人每轮平均传染个人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵初始有1人患病，每人每轮平均传染个人． ∴第一轮传染后总患病人数为． ∵第二轮传染的传染源为第一轮后的所有患者，每人传染人． ∴第二轮新增患病人数为． ∴两轮后总患病人数为． ∵两轮后共有81人患病． ∴可列方程． 2．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染．则每轮感染中平均一个人会感染___________个人． 【答案】 【分析】设每轮感染中平均一个人感染个人，根据两轮感染后的总感染人数列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设每轮感染中平均一个人会感染个人， ∵初始有名感染者，第一轮后总感染人数为，第二轮新增感染者人数为，且两轮后总感染人数为， ∴ 解得，（舍去）． 3．某种植物的一根主干长出了若干个枝干，每个枝干又长出了同样数目的小分支．经统计，这根主干与枝干和小分支共有个，则每个枝干长出了多少个小分支? 【答案】每个枝干长出个小分支 【分析】设每个枝干长出的小分支的数目是个，则共有个小分支，根据这根主干与枝干和小分支共有个列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每个枝干长出的小分支的数目是个， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每个枝干长出个小分支． 题型2.增长率问题（一元二次方程的应用） 1．某商场九月份营业额为万元，十一月份营业额达到万元，设每月平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确从九月到十一月共经历两次月增长，结合月平均增长率推导出十一月营业额的表达式，列出方程． 【详解】解：九月份营业额为万元，每月平均增长率为， 十月份营业额为万元， 十一月份营业额为万元， 可列出方程． 2．随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 【答案】 【分析】设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为，根据4月和6月的产量列一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 即该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为． 3．人工智能近年来市场逐渐火热．某公司2023年在人工智能方向的投入约为10亿元，到2025年增长至约14.4亿元． (1)求这两年该公司人工智能投入的年平均增长率； (2)在（1）的基础上，该公司在2026年人工智能投入能否超过17亿元？ 【答案】(1)这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为． (2)该公司在2026年人工智能投入能超过17亿元． 【分析】（1）设这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为， 由题意得：， 解得，（舍去）． 答：这两年该公司人工智能投入的年平均增长率为； （2）解：（亿元）， 因为， 所以该公司在2026年人工智能投入能超过17亿元． 题型3.与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个矩形田地的宽为步，则长为步，根据矩形面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形田地的宽为步，则长为步， 由题意得：． 2．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 3．如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田．一边利用教学楼的后墙，可利用的墙长为19米，另外三边用总长为的栅栏围成． (1)若围成的面积为，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． (2)能围成面积为的实验田吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)若围成的面积为，实验田的长和宽分别为16米，10米； (2)不能达到200m2， 理由：根据题意列方程得， ， 整理得； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的实验田面积不能达到． 【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【详解】（1）解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得或； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为16米，10米； （2） 略 题型4. 数字问题（一元二次方程的应用） 1．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 【答案】A 【分析】设这个数为 ，根据“平方加3倍等于相反数减4”列出关于 的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设这个数为， 根据题意得， 移项、合并同类项得， 配方得， 解得， ∴存在这样的数，这个数是． 2．小明、小丽、小刚三名同学中，小丽的年龄比小明的年龄小一岁，小刚的年龄比小明的年龄大一岁，并且今年小刚与小丽的年龄乘积是224，则今年小丽的年龄为______岁． 【答案】14 【分析】设小明年龄为岁，根据年龄关系用表示出小丽和小刚的年龄，根据乘积条件列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设今年小明的年龄为岁，则小丽的年龄为岁，小刚的年龄为岁，根据题意可得： ， 解得：或， ∵年龄为正整数， ∴舍去负根，得， 因此小丽的年龄为岁． 3．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少． 【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）， ． 答：最小数为8，最大数为18． 题型5. 营销问题（一元二次方程的应用） 1．潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】降价后每盒利润为元，每天销量为盒，即可建立方程． 【详解】解：由题意得，降价后每盒利润为元，每天销量为盒， ∴可得． 2．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 【答案】 【分析】分别表示出降价元后每箱的利润和每天的销售量，根据总利润计算公式列方程即可． 【详解】解：由题意可得，每箱降价元后，每箱盈利为元，原来平均每天售出20箱，每降价1元每天可多售出5箱，因此每天的销售量为箱，总利润等于每箱利润乘以每天销售量，已知总利润为1200元，因此可列方程为． 3．某水果超市销售一种水果，每千克进价8元，售价每千克13元，每天可以卖出40千克．市场调查：如果每千克售价每降低1元，日销售量增加20千克．超市想要每天获利240元，为尽可能让利顾客，每千克水果应降价多少元? 【答案】2元 【分析】设每千克水果应降价元，根据利润每千克的利润销售量建立方程，解方程，并结合尽可能让利顾客解答即可． 【详解】解：设每千克水果应降价元， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵超市想要尽可能让利顾客， ∴， 答：每千克水果应降价2元． 题型6. 动态几何问题（一元二次方程的应用） 1．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 2．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 【答案】5或9 【分析】先确定运动时间的取值范围，因为两点同时出发且一点到终点即停止，所以根据、的速度和对应边长度计算的最大取值．用含的代数式分别表示、的长度，再结合的长度，推导和在水平方向上的距离表达式．过点P作的垂线，构造以为斜边的直角三角形，因为矩形的边长等于该直角三角形的一条直角边，另一条直角边等于，当斜边时，根据勾股定理列关于的方程．求解方程，结合的取值范围筛选符合条件的解． 【详解】解：点P沿运动，长、速度，到达终点的时间为； 点Q沿运动，长、速度，到达终点的时间为． 因此运动总时长不超过， 即​． 过P作于E， 由矩形性质可知，是直角三角形． 由运动速度得：，， 因此P、Q两点在水平方向的距离差为． 在中，根据勾股定理：， 代入、， ， 整理得， ∴， 解得，， 均满足​； 即两个解均符合运动边界要求． 3．如图，一根木棍垂直平分柱子，，，一只小猫C由柱子底端点A以的速度向顶端点B爬行，同时，另一只小猫D由点O以的速度沿木棍爬行． 问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与点O组成的三角形面积是？ 【答案】存在 【分析】根据题意分两种情况讨论，分别列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：存在．理由如下： ①当小猫C在上运动时，设时两只小猫与点O组成的三角形面积为， 由题意，得， 整理，得， 解得，； ②当小猫C在上运动时，设时两只小猫与点O组成的三角形面积为， 由题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）． 答：存在这样的时刻，使两只小猫与点O组成的三角形面积是． 题型7. 行程问题（一元二次方程的应用） 1．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 3．今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 【答案】 示意图： 相遇时甲走了步，乙走了步． 【分析】先画出图，然后再利用勾股定理列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解： ① 取点为出发点，过作水平向右的射线表示向东方向，作竖直向下的射线表示向南方向，两射线互相垂直，   ② 在向南的射线上截取步，对应甲先向南走的路程，   ③ 在向东的射线上取相遇点，连接，为甲斜向北偏东走的路线，为直角三角形，． 示意图略； 设所行的时间为， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴甲走了步，乙走了步． 题型8. 图表信息题（一元二次方程的应用） 1．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 2．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 3．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 题型9. 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 1．为丰富校园文化生活，某校举办男女混合团体乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），已知共比赛了28场，若设共有支球队，则根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】单循环赛制下总场次计算需考虑重复计数问题． 【详解】解：每支球队需与其余支球队各赛1场，不考虑重复时总场次为场， ∵ 每两支球队之间只进行1场比赛，上述计算中每场被统计2次， ∴ 实际总比赛场数为， 由总比赛场数为28，得． 2．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 【答案】 【分析】设球队数量为，根据单循环赛制的场次计算规则列出一元二次方程，舍去负根得到结果． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支． ∵每两支球队之间只进行一场比赛，每支球队要和其余支球队各比赛一场，每场比赛会被重复计算两次， ∴总比赛场次为． 根据题意列方程得， 整理得， 因式分解得， 解得，． ∵球队的数量为正整数， ∴舍去，得到． 即参加小组赛的球队有支． 3．要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，一共举行了28场比赛． (1)组织者应邀请多少支球队参赛？ (2)若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 【答案】(1)比赛组织者应邀请8支球队参赛； (2)不对，理由如下： 假设这个人算得对，设有支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么； 解得 由于1201不是完全平方数，所以不可能为整数， 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对． 【分析】（1）设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场，则可列方程，解方程即可，注意球队数为正整数； （2）假设支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，则可列方程，根据方程有无正整数解进行判断即可． 【详解】（1）解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他支球队各赛1场， 则可列得方程， 解得，（不合题意，舍去） 因此，比赛组织者应邀请8支球队参赛． （3） 略 题型10. 其他问题（一元二次方程的应用） 1．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 2．为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 【答案】 【分析】设小队长人数为人，根据总人数的等量关系列一元二次方程，取符合题意的正整数解即可． 【详解】解：设选出的小队长有名， 小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同， 每个小队长管理名队员，所有队员总人数为名， 啦啦队总人数为人，总人数为小队长人数加队员人数， 列方程得：， 整理得：， 因式分解得 ， 解得 ，， 人数不能为负数， 舍去， 答：选出的小队长有名． 3．在不计空气阻力的情况下，竖直上抛的物体相对于抛出位置所处的高度与抛出的时间有如下关系：．其中，是上抛物体的初速度，是重力加速度．如果以的初速度向上抛出一物体，时，它在距离抛出点的高处．请根据公式写出关于x的方程．（g取） 【答案】 【分析】把，，，，代入得出方程即可． 【详解】解：根据题意得：，，，， ∴， 整理得：． ✺分层练习 一、单选题 1．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确初始会实验的人数及每轮新增人数的计算方式，结合总人数列方程． 【详解】解：∵初始有1人会做实验，且1人每次教会名同学， ∴第一节课新增名会做实验的同学，此时会做实验的总人数为名， ∴第二节课新增名会做实验的同学， ∵两节课后共有49人会做实验， ∴列方程为． 2．如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的面积公式，列出方程即可. 【详解】解：设矩形菜地的一边长为米，则另一边的边长为米， 由题意，得. 3．潮阳区某特产店销售乌酥杨梅，每盒利润为元时，每天可售出盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出盒．要使每天的利润达到元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】降价后每盒利润为元，每天销量为盒，利润为． 二、填空题 4．某班同学毕业时互赠纪念卡，每名同学都向班上其他每名同学各赠送一张纪念卡，全班共送出纪念卡930张，则全班共有_______名同学． 【答案】31 【分析】设全班共名同学，根据互赠规则得到总卡片数的等量关系，列一元二次方程求解，舍去不合题意的负根即可得到结果． 【详解】解：设全班共有名同学， 每名同学不赠送给自己，每名同学要给其余每名同学各赠1张， 每名同学送出张纪念卡，根据总卡片数为930， 列方程得：， 解得，（舍去）， 即全班共有31名同学． 5．潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 【答案】 25 【分析】根据增长率问题的通用公式：末期值=初期值×（增长率）（其中n为增长次数），列出方程并求解即可． 【详解】解：从2024年到2026年，经历了2次增长，即， 将数据代入公式，可列出方程：． 解得，． ∵产量是增长的，增长率x大于0， ∴取，即25%． 6．如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 【答案】2 【分析】设运动时间为，根据题意得：，其中，则，根据的面积为矩形面积的，列出方程，即可求解． 【详解】解：设运动时间为， 根据题意得：，其中，则， ∵在矩形中，， ∴， ∵的面积为矩形面积的， ∴， ∴， 解得：， 即运动时间为2秒． 三、解答题 7．某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． (1)用含的代数式表示亭子的边长为___________米； (2)若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 【答案】(1) (2)3米 【分析】（1）根据亭子的边长是小路宽度的5倍可得答案； （2）小路的面积可以看成是两个小矩形的面积之和，其中一个矩形的长为，宽为，另一个矩形的长为，宽为，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵小路的宽度为米，亭子的边长是小路宽度的5倍， ∴亭子的边长为米； （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， ∵， ∴， 答：小路的宽度为3米． 8．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为． (2)售价应降低元． 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合12月与2月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取符合题意的解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为． ∵2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件． ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低元． ∵进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件，每天销售获利1200元． ∴单件利润为元，每天销售量为件． ∴． 整理得． 解得，． ∵要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大． ∴选择降价幅度更大的． 答：售价应降低元． 9．【探究】 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手次． (1)若参加聚会的人数为，则共握手______次；若参加聚会的人数为，则共握手______次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手______次； (3)若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数． 【拓展】 (4)嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数为，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为．”琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)； (2) (3)参加聚会的人数是 (4)琪琪的思考对．理由如下： ， 解得． 因为为正整数， 所以角的总数不可能为 【分析】（1）根据握手次数=参会人数（参会人数），即可求出结论； （2）由（1）的结论结合参会人数为，即可得出结论； （3）由（2）的结论结合共握手次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （4）将角的总数当成握手数，射线数看成参会人数，类比前面的方法探究角的总数与射线数（不含边）的关系式，结合角的总数为，即可得出关于的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对． 【详解】（1）解：由题意可知参加聚会人数为，则共握手次； 参加聚会人数为，则共握手次； 参加聚会人数为，则共握手次； 参加聚会人数为，则共握手次； 于是得，参加聚会人数为，则共握手次． （2）解：由（1）可归纳推出：参加聚会人数为(为正整数)，则共握手次． （3）解：由（2）可得：， 解得：(舍去) 即参加聚会的人数有10人． （4）由【探究】类比可得： 在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数为； 在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数为； 在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数为； 由上可归纳：在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数为, ∴当角的总数为时，解方程, 解得：, 根据题意表示射线数，为整数，故在这个问题上，角的总数不可能为． 因此琪琪的思考对． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元二次方程的应用同步培优讲义 ✺知识框架 本章学习一元二次方程解决实际问题。解题思路：寻找等量关系，设元、列一元二次方程，求解后结合实际意义取舍根。 六大常考题型：增长率、下降率问题；传播与裂变问题；图形面积问题；销售利润问题；几何动点问题；组合计数问题。 ✺学习目标 1.掌握一元二次方程应用题六步解题法，熟练六类题型的等量关系模型。 2..学会审题建模，能用代数式表示相关量，解方程并根据实际取舍根。 3.规范答题格式，识别常见易错点，体会方程建模思想。 ✺知识梳理 知识点一、一元二次方程解题步骤 1审：梳理题干已知量、未知量，找准核心等量关系。 2设：优先直接设未知数，复杂题型间接设元，标注单位。 3列：用含未知数的代数式表示相关量，根据等量关系列出一元二次方程。 4解：选用合适方法解方程，求出两个实数根。 5验：双重检验，检验数值是否为方程的根，同时检验是否符合实际情境，舍去不合理解。 6答：依据题干问题，带单位规范作答。 知识点二：六大核心应用题型 题型一：增长率/下降率问题（经济、产量、数量变化） 核心原理：连续变化的基数递推关系，适用于两年及以上的增长、降价、减产问题。 通用公式：连续增长：a(1+x)2=b；连续下降：a(1-x)2=b 其中a为初始基数（原来的量），x为平均增长率或下降率，b为两次变化后的最终量。 题型二：传播与裂变问题（病毒传播、消息扩散、细胞分裂） 核心原理：每一轮传播的个体均参与下一轮传播，数量呈指数级增长。 通用模型：若每轮每人传播x人，初始1个传染源，经过两轮传播后总数量为N，则方程为：1+x+x(1+x)=N，整理得(1+x)2=N。 场景说明：常见于传染病传播、微信消息转发、细菌繁殖等问题，是九年级高频基础题型。 题型三：图形面积问题（矩形、正方形、道路、边框） 核心原理：利用几何图形面积公式，结合图形拼接、裁剪、留白、修路等场景找等量关系。 常见基础模型：矩形长宽变化：原长m、原宽n，长宽同时增减x，新面积为S，列方程：(m± x)(n±x)=S。 道路留白模型：矩形场地内修等宽道路，剩余区域拼接为新矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后矩形面积=剩余面积”列方程。 易错提醒：图形边长必须为正数，解得的x必须小于图形原有边长，超出范围的根舍去。 题型四：销售利润问题 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 题型规律：售价涨跌会带动销量变化，通常设单价涨跌幅度为x，分别表示出变化后的单件利润和销量，代入总利润公式列二次方程。 题型五：几何动点问题 核心原理：点在几何图形边上匀速运动，用含x的代数式表示动态线段长度，结合面积、线段关系列方程。 基础模型：矩形、直角三角形中，动点运动时间为x，根据速度×时间=路程，表示出变化后的边长，利用面积公式建立一元二次方程。 限制条件：动点运动时长、线段长度必须为正数，且运动范围不超出图形边长，以此检验根的合理性。 题型六：组合计数问题（握手/互赠/单循环） 核心场景：多人握手、两两签约、互赠贺卡、单循环球赛，属于标准乘积型二次关系。 两大基础模型： 无顺序（握手、比赛、两两组合）：x(x-1)=总次数 有顺序（互赠礼物、互发消息）：x(x-1)=总数量 其中x为总人数或总队数，有顺序问题无需乘二分之一，无顺序问题需要去重新乘二分之一。 易错点梳理 1.不检验根，忽略实际意义，没有舍去不合理的解。 2.设未知数、作答时遗漏单位，造成步骤扣分。 3.面积问题处理道路、边框时，边长加减宽度出错。 4.利润问题，涨价或降价对应的销量变化写反 ✺题型精讲 题型1.传播问题（一元二次方程的应用） 1．某地区发现1例传染病，经过两轮传染后共有81人患病，设每人每轮平均传染个人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有64个人被感染．则每轮感染中平均一个人会感染___________个人． 3．某种植物的一根主干长出了若干个枝干，每个枝干又长出了同样数目的小分支．经统计，这根主干与枝干和小分支共有个，则每个枝干长出了多少个小分支? 题型2.增长率问题（一元二次方程的应用） 1．某商场九月份营业额为万元，十一月份营业额达到万元，设每月平均增长率为，则列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零部件4月份生产5000个，6月份生产7200个．求该车间4月份到6月份生产数量的月平均增长率为___________． 3．人工智能近年来市场逐渐火热．某公司2023年在人工智能方向的投入约为10亿元，到2025年增长至约14.4亿元． (1)求这两年该公司人工智能投入的年平均增长率； (2)在（1）的基础上，该公司在2026年人工智能投入能否超过17亿元？ 题型3.与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 1．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为步，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 3．如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田．一边利用教学楼的后墙，可利用的墙长为19米，另外三边用总长为的栅栏围成． (1)若围成的面积为，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． (2)能围成面积为的实验田吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 题型4. 数字问题（一元二次方程的应用） 1．某同学尝试借助人工智能辅助学习，对话如图所示，该人工智能程序经过思考后给出的正确答案是（     ） A．存在，这个数是 B．存在，这个数是2 C．存在，这个数是 D．不存在 2．小明、小丽、小刚三名同学中，小丽的年龄比小明的年龄小一岁，小刚的年龄比小明的年龄大一岁，并且今年小刚与小丽的年龄乘积是224，则今年小丽的年龄为______岁． 3．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是144，请求出最小数与最大数分别是多少． 题型5. 营销问题（一元二次方程的应用） 1．潮阳区某特产店销售潮式饼食礼盒，当每盒的利润为12元时，每天可售出30盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出5盒．要使每天的利润达到400元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．陕西阎良是我国知名的“中国甜瓜之乡”．某甜瓜种植户通过电商平台销售自家的优质甜瓜，平均每天可售出20箱，每箱可盈利30元．经市场调研发现：在每箱降价不超过15元的前提下，该甜瓜每箱每降价1元，每天可多售出5箱．若此种植户某天销售该甜瓜共获得利润1200元，设该甜瓜每箱降价x元，则根据题意可列方程为________． 3．某水果超市销售一种水果，每千克进价8元，售价每千克13元，每天可以卖出40千克．市场调查：如果每千克售价每降低1元，日销售量增加20千克．超市想要每天获利240元，为尽可能让利顾客，每千克水果应降价多少元? 题型6. 动态几何问题（一元二次方程的应用） 1．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在矩形中，，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．当线段的长为时，t的值为_____________． 3．如图，一根木棍垂直平分柱子，，，一只小猫C由柱子底端点A以的速度向顶端点B爬行，同时，另一只小猫D由点O以的速度沿木棍爬行． 问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与点O组成的三角形面积是？ 题型7. 行程问题（一元二次方程的应用） 1．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 2．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了______秒． 3．今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲乙行各几何？（选自《九章算术》） 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．相遇时，甲、乙各走了多远？ 请你画出示意图，并解决这个问题． 题型8. 图表信息题（一元二次方程的应用） 1．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 2．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 3．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    题型9. 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 1．为丰富校园文化生活，某校举办男女混合团体乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），已知共比赛了28场，若设共有支球队，则根据题意可列方程（     ） A． B． C． D． 2．某校在初三年级组织了“追光少年，青春飞扬”篮球比赛，在小组赛阶段设置了单循环赛制（即每两支球队之间进行一场比赛），已知小组赛阶段共比赛28场，则参加小组赛的球队有__________支． 3．要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）．根据场地和时间等条件，一共举行了28场比赛． (1)组织者应邀请多少支球队参赛？ (2)若干球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300．他算得对吗？为什么？ 题型10. 其他问题（一元二次方程的应用） 1．元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．为体现青春活力、健康向上的团队精神，主办方招募了一批啦啦队队员，并从中选出几名小队长，已知小队长的人数与每个小队长管理的队员人数相同，若啦啦队共有人，则选出的小队长有_______名． 3．在不计空气阻力的情况下，竖直上抛的物体相对于抛出位置所处的高度与抛出的时间有如下关系：．其中，是上抛物体的初速度，是重力加速度．如果以的初速度向上抛出一物体，时，它在距离抛出点的高处．请根据公式写出关于x的方程．（g取） ✺分层练习 一、单选题 1．某班一化学科代表在老师的培训后学会了某个化学实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这个实验．若设每人每次都能教会名同学，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．如图，某校用总长为18米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块72平方米的矩形菜地，设矩形菜地的一边长为米，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．潮阳区某特产店销售乌酥杨梅，每盒利润为元时，每天可售出盒；经调查，每盒降价1元，每天可多售出盒．要使每天的利润达到元，设每盒降价x元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．某班同学毕业时互赠纪念卡，每名同学都向班上其他每名同学各赠送一张纪念卡，全班共送出纪念卡930张，则全班共有_______名同学． 5．潮阳区金灶镇某果园种植三棱橄榄，2024年的产量为80吨，2026年的产量达到125吨．设该果园橄榄产量的年平均增长率为x，则可列方程为________，年平均增长率为________%． 6．如图，在矩形中，．点P从点B出发沿边向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿边向点D以的速度移动．点P，Q同时出发，当P，Q两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动，连接．当的面积为矩形面积的时，运动时间为___________． 三、解答题 7．某园林部门准备在一块长50米、宽40米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图），，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺设草坪．设小路的宽度为（）米． (1)用含的代数式表示亭子的边长为___________米； (2)若小路的占地面积为180平方米，求小路的宽度． 8．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． (1)统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； (2)对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 9．【探究】 在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手次． (1)若参加聚会的人数为，则共握手______次；若参加聚会的人数为，则共握手______次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手______次； (3)若参加聚会的人共握手次，请求出参加聚会的人数． 【拓展】 (4)嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含边），角的总数为，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为．”琪琪的思考对吗？为什么？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $