专题05一元二次方程的应用（暑假预习讲义）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册.

专题05一元二次方程的应用 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.解题通用：实际问题审题 → 提炼等量关系 → 设未知数 → 列一元二次方程 → 规范解方程 → 双重检验（数学成立+实际成立）→ 规范作答 2.核心题型： 数量动态变化类：增长率与下降率问题、传播裂变问题 组合计数规律类：握手、单循环比赛、互赠礼物、计数问题 几何图形应用类：静态面积道路问题、几何动点面积问题 经济生活销售类：商品售价、销量、总利润问题 3.解题准则 ① 建模准则：精准识别题干中平方、乘积型二次等量关系，正确建立一元二次方程模型；② 验根准则：所有实际问题必须双重验根，舍去负数、超范围等无实际意义的根；③ 审题准则：严格区分“增长了、增长到”“下降了、下降到”，规避公式套用错误。 ✺学习目标 知识要求：熟记列一元二次方程解应用题的完整步骤，明确每一步的核心要求和易错点。 掌握六大核心应用题型的等量关系公式，能精准对应不同场景建立方程。 理解实际问题中方程根的双重检验原则（数学有意义、符合实际场景）。 能力应用：能独立梳理实际问题中的数量关系，剔除无关信息，提炼核心等量关系。能根据题目特点，灵活选择因式分解法、公式法等简便方法解方程。 能准确判断并舍去不符合实际意义的方程根（如负数长度、负数增长率等）。 素养提升：体会数学建模的核心思想，感受数学与生活、几何图形的紧密联系。 培养严谨的逻辑思维和审题习惯，规避应用题常见解题漏洞。 ✺题型归纳 题型1.传播问题 题型2.增长率问题 题型3.与图形有关的问题 题型4.数字问题 题型5.营销问题 题型6.动态几何问题 题型7.工程问题 题型8.行程问题 题型9.握手、循环赛问题 题型10.其他问题 题型11.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审:读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的相等关系; 2.设:根据题意设未知数; 3.列:列方程,这是关键一步,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示这个相等关系,就得到含有未知数的等式,即方程; 4.解:解方程,求出未知数的值; 5.验:检验方程的解能否保证实际问题有意义,即符合题意; 6.答:写出答案。 知识点二：六大核心应用题型 题型一：增长率/下降率问题（经济、产量、数量变化） 核心原理：连续变化的基数递推关系，适用于两年及以上的增长、降价、减产问题。 通用公式：连续增长：a(1+x)2=b；连续下降：a(1-x)2=b 其中a为初始基数（原来的量），x为平均增长率或下降率，b为两次变化后的最终量。 题型二：传播与裂变问题（病毒传播、消息扩散、细胞分裂） 核心原理：每一轮传播的个体均参与下一轮传播，数量呈指数级增长。 通用模型：若每轮每人传播x人，初始1个传染源，经过两轮传播后总数量为N，则方程为：1+x+x(1+x)=N，整理得(1+x)2=N。 场景说明：常见于传染病传播、微信消息转发、细菌繁殖等问题，是九年级高频基础题型。 题型三：图形面积问题（矩形、正方形、道路、边框） 核心原理：利用几何图形面积公式，结合图形拼接、裁剪、留白、修路等场景找等量关系。 常见基础模型： 矩形长宽变化：原长m、原宽n，长宽同时增减x，新面积为S，列方程：(m± x)(n±x)=S。 道路留白模型：矩形场地内修等宽道路，剩余区域拼接为新矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后矩形面积=剩余面积”列方程。 易错提醒：图形边长必须为正数，解得的x必须小于图形原有边长，超出范围的根舍去。 题型四：销售利润问题 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 题型规律：售价涨跌会带动销量变化，通常设单价涨跌幅度为x，分别表示出变化后的单件利润和销量，代入总利润公式列二次方程。 题型五：几何动点问题 核心原理：点在几何图形边上匀速运动，用含x的代数式表示动态线段长度，结合面积、线段关系列方程。 基础模型：矩形、直角三角形中，动点运动时间为x，根据速度×时间=路程，表示出变化后的边长，利用面积公式建立一元二次方程。 限制条件：动点运动时长、线段长度必须为正数，且运动范围不超出图形边长，以此检验根的合理性。 题型六：组合计数问题（握手/互赠/单循环） 核心场景：多人握手、两两签约、互赠贺卡、单循环球赛，属于标准乘积型二次关系。 两大基础模型： 无顺序（握手、比赛、两两组合）：x(x-1)=总次数 有顺序（互赠礼物、互发消息）：x(x-1)=总数量 其中x为总人数或总队数，有顺序问题无需乘二分之一，无顺序问题需要去重新乘二分之一。 ✺题型◆精讲 题型1.传播问题 1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人传染人， ∵最初有人患病， ∴第一轮传染后患病总人数为， 第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人， ∴两轮传染后患病总人数为， 根据题意列方程得：， 解得或， ∵传染人数为正整数， ∴舍去， ∴， 即每轮平均一人传染人． 2．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 3．冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 【答案】3人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人．依题意，得 ， 解得（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染3人． 题型2.增长率问题 1．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 2．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． 【详解】设这款挂件销量的月平均增长率为， 根据题意列方程得：， ∴， 解得，（舍去）， ∴这款挂件销量的月平均增长率为． 3．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 【答案】 这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率是 【分析】设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为，根据该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，列出方程解答即可． 【详解】解：设这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为， 依题意得：， 解得，（舍去）． 答：这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率为． 题型3.与图形有关的问题 1．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 2．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 【答案】 【分析】设切去正方形的边长为 ，根据矩形的长和宽分别减去 表示出底面的长和宽，利用矩形面积公式列一元二次方程求解，并根据实际意义检验根的合理性即可． 【详解】解：设矩形纸板各角应切去正方形的边长为． 根据题意，得 ． 整理，得 ． 解得 ． 当 时，，不合题意，舍去． 所以 ，即矩形纸板各角应切去正方形的边长为1． 3．某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)12 【分析】（1）根据“一段长为的篱笆”可表示出，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可； （2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴x的值为6； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去），， 答：x的值为12． 题型4.数字问题 1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 2．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 3．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ， 解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 题型5.营销问题 1．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每件商品利润月销售量”列方程，分别用表示出每件利润和实际月销售量，即可得到对应方程． 【详解】解：∵设销售单价定为元，成本为每件元， ∴每件商品的利润为元， 销售单价相比元上涨了元， ∵已知销售单价每涨元，月销售量减少件， ∴月销售量减少件，实际月销售量为件， ∵要求每月盈利元，总盈利每件利润销售量， ∴可列方程为． 2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题根据总利润每件衬衫的利润每天的销售量列方程，先分别表示出降价后每件衬衫的利润与每天的销售量，再代入等量关系即可得到方程． 【详解】解：设每件衬衫应降价元，根据题意，降价后每件衬衫的利润为元，每件降价元后，每天多售出件， 因此每天的销售量为件， 已知商场平均每天盈利元，结合总利润公式可得方程． 3．某果园原计划种棵苹果树，一棵苹果树平均结个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种棵苹果树，每棵苹果树的产量就会减少个，但多种的苹果树不能超过棵．设多种棵苹果树． (1)直接写出多种棵苹果树后，每棵苹果树的产量（个）与（棵）之间的函数关系式； (2)如果要使总产量增加，那么应多种多少棵苹果树（假设苹果大小不变）？ 【答案】(1)（且为整数） (2)应多种棵苹果树 【分析】（1）根据每多种棵树减产个苹果，写出函数关系式； （2）用“总棵数×单棵产量=目标总产量”列一元二次方程，结合舍去不合理解即可． 【详解】（1）解：每多种棵树，每棵苹果树的产量就会减少个， 多种棵树每棵苹果树的产量就会减少个， 每棵苹果树的产量与之间的函数关系式为（且为整数）． （2）解：根据题意可得， 解得，， 且， 不合题意，故舍去， 故应多种棵苹果树． 题型6.动态几何问题 1．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程来解决现实生活中的动点运动问题；本题已知了 、的速度，设秒后，的面积等于，根据路程 速度时间，可用时间 表示出 和的长，然后根据直角三角形的面积公式，得出方程，求出未知数，然后看看解是否符合题意，将不合题意的舍去即可得出时间的值． 【详解】解：在中，，，， 设秒后，的面积等于， ， ， 当时，，即不合题意，舍去． 所以秒后，的面积等于． 故选：B． 2．如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第________秒时，的长为． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设第秒时，的长为，则，在中利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第秒时，的长为． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 故答案为：或． 3．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】(1)第1秒 (2)第0秒或2秒 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【详解】（1）解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； （2）解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 题型7.工程问题 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 2．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 3．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每天种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型8.行程问题 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程和勾股定理的应用，根据题意，甲、乙的行走路径构成直角三角形，利用勾股定理列方程求解． 【详解】设相遇时间为x，则乙向东行步，甲向南行步后斜向东北行步与乙相遇． ∵ 甲向南行步（直角边），乙向东行步（直角边），甲斜向行步（斜边）， ∴ 由勾股定理，得． 故选：A． 2．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 【详解】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 3．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型9.握手、循环赛问题 1．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 2．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 【答案】 【分析】设该小组共有人，每人向其余同学赠送一件礼物，可得每人赠送件礼物，根据总礼物数为件建立一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根即可得到结果． 【详解】解：设该小组有人，根据题意，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得，， 因为人数为正整数，所以舍去， 即该小组有9人． 3．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 题型10.其他问题 1．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“总盈利每盆总株数平均单株盈利”，分别表示出每盆总株数和平均单株盈利，即可列出方程． 【详解】解：设每盆多植株， ∵原来每盆植3株， ∴现在每盆总株数为株， ∵每增加1株，平均每株盈利减少元， ∴增加株后，平均单株盈利为元， ∵要求每盆盈利达到20元， ∴列出方程为 ． 2．在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该班的学生有人，则每人送出件礼物，根据共有互赠纪念品件列方程求解即可． 【详解】解：设该班的学生有人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 3．某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】应多种20棵桃树 【分析】设应多种x棵桃树，根据要使总产量达到76000个，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设应多种x棵桃树，根据题意得： ， 解得：，， ∵多种的桃树不能超过60棵， ∴不符合题意舍去， ∴， 答：应多种20棵桃树． ✺巩固测试 一、单选题 1．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 【答案】C 【详解】解：设这个数为， ∵根据题意，这个数的平方与这个数的2倍的和为8， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，或， 故选：C． 2．南漪湖是宣城境内东方白鹳、白鹭等多种候鸟聚集地．2023年冬季观测到白鹭200只，经过生态修复，2025年白鹭总数达到了288只，假设这两年白鹭数量的年平均增长率为，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均增长率的数量关系，初始数量年平均增长率最终数量，即可列出正确方程． 【详解】解：∵ 2023年白鹭数量为只，年平均增长率为， ∴ 2024年白鹭数量为只， ∴ 2025年白鹭数量为只， 又∵ 2025年白鹭总数为只， ∴ 可得方程． 3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 4．如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，剩余部分长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式结合草地面积为，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：由题可知，剩余部分长为，宽为的矩形， 所以． 二、填空题 5．已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的解法、线段和与差，设，根据线段的和与差与条件建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则． 由，得， 整理得， 解方程，得， 由于为线段长度，取正值，故． 故答案为：． 6．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 【答案】1或5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设运动秒钟后的面积为，则，，，，利用分割图形求面积法结合的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动秒钟后的面积为，则，，，， ， ， ， ， 解得：，． 故运动1秒或5秒后的面积为． 故答案为：1或5． 8．某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 【答案】 【分析】设初二年级共有个班级，单循环赛制中，每支队伍需要和其余所有队伍各赛一场，每场比赛会被重复计算一次，因此总比赛场次为，列一元二次方程求解，取符合题意的正整数解即可得到结果． 【详解】解：设这个学校初二年级有个班级，则比赛总场次为， ，整理得， 因式分解得 ， 解得． 班级个数为正整数，不符合题意，舍去． 因此，即这个学校初二年级有个班级． 三、解答题 9．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    【答案】最小数为8，最大数为18 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】解：设最小数为x，根据题意，得到最大数为， ∴， 解得（舍去）． 故最小数为8，最大数为18． 10．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 11．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 12．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 【答案】(1)路面设置的宽度符合要求 (2)从购买草莓客户的角度应该降价元 (3)该合作社不能实现每月60万元的预期目标 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照的取值范围，即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润=销售利润−承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． （3）假设该专业合作社能实现每月总利润60万元的预期目标，根据（2）的总利润方程式得到，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 整理得， 解得， 当时，（不符合题意，舍去）， 故 ， 路面设置的宽度符合要求； （2）解：设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得， 整理得， 解得，， 又 要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． （3）解：根据题意得， 整理得 则 ∴方程在实数范围内无解 该合作社不能实现每月60万元的预期目标． 13．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 【答案】 【分析】过点作于点，标记与交于点，由题意求得，，进而可得到，分析可得，，从而求得，根据与矩形重叠部分的面积为，得到，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，标记与交于点， 在中， ∵，，， ∴点到的距离，即的高为， ∵， ∴点刚好在矩形的上边所在直线上， ∴， 当时，点进入矩形左侧， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与矩形重叠部分的面积为， ∴， 解得，， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次方程的应用 暑假预习讲义 （北师大版◆新教材） ✺知识框架 1.解题通用：实际问题审题 → 提炼等量关系 → 设未知数 → 列一元二次方程 → 规范解方程 → 双重检验（数学成立+实际成立）→ 规范作答 2.核心题型： 数量动态变化类：增长率与下降率问题、传播裂变问题 组合计数规律类：握手、单循环比赛、互赠礼物、计数问题 几何图形应用类：静态面积道路问题、几何动点面积问题 经济生活销售类：商品售价、销量、总利润问题 3.解题准则 ① 建模准则：精准识别题干中平方、乘积型二次等量关系，正确建立一元二次方程模型；② 验根准则：所有实际问题必须双重验根，舍去负数、超范围等无实际意义的根；③ 审题准则：严格区分“增长了、增长到”“下降了、下降到”，规避公式套用错误。 ✺学习目标 知识要求：熟记列一元二次方程解应用题的完整步骤，明确每一步的核心要求和易错点。 掌握六大核心应用题型的等量关系公式，能精准对应不同场景建立方程。 理解实际问题中方程根的双重检验原则（数学有意义、符合实际场景）。 能力应用：能独立梳理实际问题中的数量关系，剔除无关信息，提炼核心等量关系。能根据题目特点，灵活选择因式分解法、公式法等简便方法解方程。 能准确判断并舍去不符合实际意义的方程根（如负数长度、负数增长率等）。 素养提升：体会数学建模的核心思想，感受数学与生活、几何图形的紧密联系。 培养严谨的逻辑思维和审题习惯，规避应用题常见解题漏洞。 ✺题型归纳 题型1.传播问题 题型2.增长率问题 题型3.与图形有关的问题 题型4.数字问题 题型5.营销问题 题型6.动态几何问题 题型7.工程问题 题型8.行程问题 题型9.握手、循环赛问题 题型10.其他问题 题型11.巩固测试 ✺知识◆清单 知识点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.审:读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量以及它们之间的相等关系; 2.设:根据题意设未知数; 3.列:列方程,这是关键一步,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示这个相等关系,就得到含有未知数的等式,即方程; 4.解:解方程,求出未知数的值; 5.验:检验方程的解能否保证实际问题有意义,即符合题意; 6.答:写出答案。 知识点二：六大核心应用题型 题型一：增长率/下降率问题（经济、产量、数量变化） 核心原理：连续变化的基数递推关系，适用于两年及以上的增长、降价、减产问题。 通用公式：连续增长：a(1+x)2=b；连续下降：a(1-x)2=b 其中a为初始基数（原来的量），x为平均增长率或下降率，b为两次变化后的最终量。 题型二：传播与裂变问题（病毒传播、消息扩散、细胞分裂） 核心原理：每一轮传播的个体均参与下一轮传播，数量呈指数级增长。 通用模型：若每轮每人传播x人，初始1个传染源，经过两轮传播后总数量为N，则方程为：1+x+x(1+x)=N，整理得(1+x)2=N。 场景说明：常见于传染病传播、微信消息转发、细菌繁殖等问题，是九年级高频基础题型。 题型三：图形面积问题（矩形、正方形、道路、边框） 核心原理：利用几何图形面积公式，结合图形拼接、裁剪、留白、修路等场景找等量关系。 常见基础模型： 矩形长宽变化：原长m、原宽n，长宽同时增减x，新面积为S，列方程：(m± x)(n±x)=S。 道路留白模型：矩形场地内修等宽道路，剩余区域拼接为新矩形，利用“总面积-道路面积=剩余面积”或“拼接后矩形面积=剩余面积”列方程。 易错提醒：图形边长必须为正数，解得的x必须小于图形原有边长，超出范围的根舍去。 题型四：销售利润问题 单件利润 = 单件售价 - 单件进价（成本） 总利润 = 单件利润 × 销售数量 题型规律：售价涨跌会带动销量变化，通常设单价涨跌幅度为x，分别表示出变化后的单件利润和销量，代入总利润公式列二次方程。 题型五：几何动点问题 核心原理：点在几何图形边上匀速运动，用含x的代数式表示动态线段长度，结合面积、线段关系列方程。 基础模型：矩形、直角三角形中，动点运动时间为x，根据速度×时间=路程，表示出变化后的边长，利用面积公式建立一元二次方程。 限制条件：动点运动时长、线段长度必须为正数，且运动范围不超出图形边长，以此检验根的合理性。 题型六：组合计数问题（握手/互赠/单循环） 核心场景：多人握手、两两签约、互赠贺卡、单循环球赛，属于标准乘积型二次关系。 两大基础模型： 无顺序（握手、比赛、两两组合）：x(x-1)=总次数 有顺序（互赠礼物、互发消息）：x(x-1)=总数量 其中x为总人数或总队数，有顺序问题无需乘二分之一，无顺序问题需要去重新乘二分之一。 ✺题型◆精讲 题型1.传播问题 1．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 2．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 3．冬季期间，甲型流感在某班悄然传播，某班最初有2人患上甲流，经过2轮传染后，有32人已确诊甲流，求每轮传染中平均每人传染的人数． 题型2.增长率问题 1．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________． 3．碳排放是关于温室气体排放的一个总称或简称．温室气体中最主要的气体是二氧化碳，因此用碳（）一词作为代表．虽然并不准确，但作为让民众最快了解的方法就是简单地将“碳排放”理解为“二氧化碳排放”．机动车尾气大量排放是导致城市空气质量恶化的重要原因．为解决这个问题，某市试行将现有汽车改装为液化石油气燃料汽车（称为环保汽车）．按计划，该市将使全市的这种环保汽车由目前的325辆增加到两年后的637辆，求这种环保汽车的数量平均每年增长的百分率． 题型3.与图形有关的问题 1．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 2．如图1为一矩形纸板，长，宽．在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（如图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为，则矩形纸板各角应切去正方形的边长为______． 3．某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值； (2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值． 题型4.数字问题 1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 2．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 3．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________； (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 题型5.营销问题 1．直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商对一款成本价为每件40元的小商品进行直播销售，据市场分析，销售单价定为50元时，一个月能售出500件；若销售单价每涨2元，月销售量就减少10件．若要保证每月盈利9000元，那么销售单价应定为多少元？设销售单价应定为元，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天盈利600元，每件衬衫应降价多少元？若设每件衬衫应降价元，则可列方程为________． 3．某果园原计划种棵苹果树，一棵苹果树平均结个苹果，现准备多种一些苹果树以提高产量．试验发现，每多种棵苹果树，每棵苹果树的产量就会减少个，但多种的苹果树不能超过棵．设多种棵苹果树． (1)直接写出多种棵苹果树后，每棵苹果树的产量（个）与（棵）之间的函数关系式； (2)如果要使总产量增加，那么应多种多少棵苹果树（假设苹果大小不变）？ 题型6.动态几何问题 1．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，同时另一个点从点开始沿以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是(    ) A．或 B． C． D． 2．如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第________秒时，的长为． 3．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． (1)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ (2)如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 题型7.工程问题 1．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 2．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 3．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每天种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 题型8.行程问题 1．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（    ） A． B． C． D． 2．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 3．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 题型9.握手、循环赛问题 1．为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 2．某小组同学毕业前，每位同学都向小组内其他所有同学各送一件礼物，礼物数共计72件，那么该小组有_____人． 3．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 题型10.其他问题 1．已知某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，当每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，则平均每株盈利减少元．要使每盆的盈利达到20元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（     ） A． B． C． D． 2．在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 3．某果园原计划种80棵桃树，每棵桃树平均结800个桃子，现准备多种一些桃树提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，平均每棵桃树的产量就会减少2个桃子，但多种的桃树不能超过60棵．如果要使总产量达到76000个，那么应多种多少棵桃树？ ✺巩固测试 一、单选题 1．小明在算一个数的2倍时，误算成了这个数的平方，他发现两个结果的和为8，则这个数为（    ） A．2 B．2或4 C．2或 D．或4 2．南漪湖是宣城境内东方白鹳、白鹭等多种候鸟聚集地．2023年冬季观测到白鹭200只，经过生态修复，2025年白鹭总数达到了288只，假设这两年白鹭数量的年平均增长率为，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在长为，宽为的矩形地面上修建一条宽相等的形小路（阴影），余下部分作为观赏绿化带，其面积为，设小路的宽为，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为_________． 6．商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 7．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，同时，点从点出发沿以的速度向点移动，则___________秒后的面积为？ 8．某学校进行初二年级篮球比赛，赛制为单循环（两支队伍只赛一场），总共进行了45场比赛，那么这个学校初二年级有__________个班级． 三、解答题 9．如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．    10．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 11．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 12．五一假期，全网出圈的“黄站长”带火宣城文旅，各地游客慕名前来游玩．宣城某乡镇果蔬专业合作社依托文旅热度，对果园进行适度改造，引入草莓种植，大力发展采摘旅游业．结合提供的素材，解决相关问题． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 该专业合作社辖区内有一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米．    素材2 经市场调查，奶油草莓深受游客喜爱，销售前景乐观．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓．受天气诸多因素影响，草莓难以长时间保鲜，负责人决定将草莓降价销售．若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元．    问题解决： (1)若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． (2)若该专业合作社预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ (3)若草莓降价模式保持不变，该专业合作社能否实现每月总利润60万元的预期目标？ 13．如图1，在中，，，．在矩形中，，．在矩形的左侧，与在一条直线上，点与点重合．现以的速度从左向右匀速运动（矩形保持不动），直到点运动到与点重合时运动停止．如图2，设运动时间为（），当时，若满足与矩形重叠部分的面积为时，求运动时间的值． 学科网（北京）股份有限公司 $