第21章一元二次方程期中专题复习三 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第21章 一元二次方程 专题一：一元二次方程的概念 一．选择题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且为整式方程进行判断． 【详解】解：选项A：展开方程，得，最高次数为4，不是一元二次方程； 选项B：方程中，若，则不是二次方程，因此不满足“一定是一元二次方程”的条件； 选项C：方程满足一元二次方程的定义，即仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程； 选项D：方程中，为分式，不是整式方程，因此不符合条件． 故选：C ． 2.（2025年普陀区八上期中） 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一判断各选项． 【详解】解：A：中，a、b、c为参数，若则不是二次方程，故不一定是一元二次方程； B：只含未知数x，且最高次数为2，是一元二次方程； C：含两个未知数y和x，不是一元二次方程； D：最高次数为3，不是一元二次方程； 故选：B． 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 关于x的一元二次方程的一个根为5，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为5， ∴， 解得． 故答案为：． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 方程为一元二次方程，则a的值为______________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，准确理解一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义即可求出的值． 【详解】解：由题意得，，且， 解得， 故答案为：． 3.（2025年普陀区八上期中） 已知是方程的根，则代数式的值为_________． 【答案】25 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义可得，而，据此代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ，即， ∴ ， 故答案为：25． 专题二：一元二次方程的解法 考点1：特殊的方程的解法 一．填空题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 方程的根是_____________． 【答案】， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法－因式分解法．先把方程化为，再化为两个一次方程即可． 【详解】解：由原方程，得 ， 则或， 解得，． 故答案为：，． 2.（2025年奉贤区期中） 一元二次方程的根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：， ∴，即， ∴， ∴或， 解得：， 故答案为：． 3.（2025年杨浦区八上期中） 方程的解为____________ 【答案】， 【分析】首先移项进而提取公因式，进而分解因式求出即可． 【详解】解： ， ， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了分解因式法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键． 4.（2025年奉贤区期中） 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 【答案】## 【分析】本题考查了解一元二次方程．由题意得方程，利用配方法解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：或（舍） 故答案为： 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 【答案】， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．将第二个方程中的看成一个整体，则由第一个方程的解可知或，从而求解； 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴关于的方程的解为， ∴解得：． 6.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 7.（2025年建平中学期中） 小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 【答案】或 【分析】本题考查了解无理方程，一元二次方程，平方差公式，先计算，然后得，则可以求出，再平方，最后解一元二次方程并检验即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： 又由，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可得: 整理得：，解得：或， 经检验或是原方程的解, 故答案为：或． 二．解答题 1.（2025年建平中学期中）解方程： 【答案】， 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 2.（2025年奉贤区期中） 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 原方程变形后利用分解因式法求解即可． 【详解】解：原方程即为， 方程左边因式分解得：， ∴或， 解得：，． 3.（2025年徐汇区八上期中） 用合适方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ． 4.（2025年徐汇区八上期中） 用合适方法解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． 方程可以变形为，再两边同时开平方解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为． 5.（2025年金山区期中） 降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． （2）模仿题干解题过程，根据换元法以及因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵ ∴可以将看成一个整体，设， 则，原方程可化为， ∴ 解得，． 当时，，解得 当时，，解得． 【小问2详解】 解：∵， ∴可以将看成一个整体，设， 原方程可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得 当时，， ∴， ∴， 解得． 综上：． 考点2：一般的方程的解法 一．选择题 1.（2025年奉贤区期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟知做法是正确解答此题的关键． 通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出答案． 【详解】解：∵ 原方程为 ， ∴ 移项得 ． ∵ 一次项系数为4，一半为2，平方为4， ∴ 两边加4得 ，即 ． 与选项对比，D正确． 故答案为：D． 2.（2025年普陀区八上期中） 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程左边化为完全平方式，比较系数确定a和b的值． 【详解】解：， ， ， ， 可得，， 故选：A． 二．解答题 1.（2025年杨浦区八上期中） 用合适的方法解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： 原方程的解是． 2.（2025年建平中学期中） 用配方法解方程：． 【答案】 【分析】利用配方法求解即可．本题考查了配方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 系数化为1，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 3.（2025年延安中学第一学期期中） 解方程：（用配方法） 【答案】， 【分析】本题主要考查利用配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键．根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 4.（2025年普陀区八上期中） 用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先将二次项系数化为，再将方程两边同时加上，进行配方，计算即可得解，熟练掌握配方法解一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，． 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： （1）正数m，n满足，求的值． （2）代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． （3）判断关于x的方程根的情况：． 【答案】（1） （2）代数式存在最小值，最小值为 （3）当或时，方程有两个相等的实数根；当时，方程有两个不相等的实数根；当或时，方程没有实数根 【分析】本题主要考查了配方法，解不等式，解题的关键是掌握配方法． （1）列用配方法求出，然后代数求值即可； （2）利用配方法求出最值即可； （3）利用根的判别公式列出代数式，然后利用配方法进行整理，分类进行讨论即可． 【小问1详解】 解： ∴或 ∵m，n为正数， ∴舍去， ∴， 将代入得， 原式； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴当时，代数式存在最小值，最小值为； 【小问3详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， 当时， 解得或， 此时，方程有两个相等的实数根； 当时， 解得， 此时，方程有两个不相等的实数根； 当时， 解得或， 此时，方程没有实数根； 综上，当或时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程有两个不相等的实数根； 当或时，方程没有实数根． 考点3：求根公式 一．填空题 1.（2025年杨浦区八上期中） 一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤． 按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可． 【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ）， 移项得，， 系数化为1得，， 两边加上 得，， 则， 开平方得，， 移项得，， 故答案为： ． 2.（2025年徐汇区八上期中） 已知实数x满足方程：，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了换元法、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 通过换元法，将原方程转化为关于新变量的二次方程，求解后验证实数解的存在性． 【详解】解：设 ，则原方程化为： ， ， ∴， 即 或 ， 当 时， ，即， 判别式为 ：，无实数解； 当 时，，即， 判别式为：，有实数解； ∴． 故答案为：6． 二．解答题 1.（2025年徐汇区八上期中） 用求根公式方法解方程： 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，利用公式法解一元二次方程的条件是．先确定a、b、c及判别式的值，然后再利用求根公式求解即可． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ∴，． 专题三：一元二次方程的判别式 一．选择题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 关于的方程有实数根，那么a的值为（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及对含参方程的分类讨论，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 方程可能为一次或二次方程，需分类讨论，最后合并结果． 【详解】解：∵ 方程 有实数根， 当 时，方程化为 ，解得 ，有实数根； 当 时，方程为二次方程，判别式 ， 解得 ； 综上， 时方程有实数根． 故选：A． 2.（2025年杨浦区八上期中） 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式或简化方程，判断每个方程是否有实数根．二次方程有实数根当且仅当判别式． 【详解】解：A、，，此方程无实数根，不符合题意； B、，，此方程无实数根，不符合题意； C、，简化得 ，矛盾，无解，即此方程无实数根，不符合题意； D、，，此方程有实数根， 故此方程有实数根，符合题意． 故选：D． 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及因式分解法解一元二次方程，利用二次项系数非零及根的判别式为1，找出的值是解题的关键．由二次项系数非零可得出，由根的判别式可得出关于的方程，解之即可得出的值． 【详解】解：方程为一元二次方程， 方程的根的判别式的值为1， ， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），． 故答案为：2． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 判断一元二次方程的根的情况_____． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况． 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 3.（2025年静安田家炳中学期中） 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程及根的判别式，理解题中定义和方程的解的意义，得到关于a的方程是解答的关键．先求得方程的解，再根据题中定义和方程的解的意义得到关于a的方程，然后解方程求得a值，结合根的判别式与根的关系即可求解． 【详解】解：由方程得， 解得，， ∵两个一元二次方程和互为联根方程， ∴，是方程的两个根， 当时，则，即， ∵， ∴此方程无实数根，即不是方程的解； 当时，则，即， 解得，， ∵， ∴， 此时，方程为，解得，， 又方程的一个解为，满足题意， 故a的值为． 故答案为：． 三．解答题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以根的判别式为正数，且二次项系数不为零，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，据此解答即可 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 则且， 故答案为：且． 2.（2025年静安田家炳中学期中） 已知等腰三角形的两条边a,b是方程x2－kx＋12=0的两根，另一边c是方程x2－16=0的一个根, 求k的值. 【答案】或 【详解】试题分析：先解方程x2-16=0，得到c=4，再分两种情况进行讨论：①c=4是底边，那么a=b，由方程x2-kx+12=0的判别式△=0列出方程；②c=4是腰，那么将x=4代入x2-kx+12=0求出k的值. 解：∵c是方程x2−16=0的一个根， ∴c=4. 分两种情况： ①c=4是底边， 方程x2−kx+12=0的判别式△=k2−4×12=0， 解得k1=，k2=- (舍去)， ，，4满足三角形三边关系定理，符合题意； ②c=4是腰， 将x=4代入x2−kx+12=0， 得42−4k+12=0， 解得k=7， ∴x2−7x+12=0， ∴x1=3,x2=4， 4，4，3满足三角形三边关系定理，符合题意． 故k的值为或7. 3.（2025年建平中学期中） 已知是正实数，关于的一元二次方程：． （1）判断：方程根的情况． （2）若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根。 （2） 【分析】此题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解， （1）计算一元二次方程的根的判别式求出方程的根的情况； （2）将方程的根代入，得到，计算，由此进行判断即可． 【小问1详解】解：， , ∵是正实数， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】解:将代入方程， 得， ∴， ∵， ∴． 4.（2025年徐汇区八上期中） 已知：，求z的最大值 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，因式分解法解一元二次方程，由条件可得，，可得是方程的两根，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是方程的两根， ∴， ∴当时， 解得：或， ∴， ∴的最大值为． 专题四：一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题 1.（2025年奉贤区期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A. 若，则方程的一个根为1 B. 若，则方程的一个根为0 C. 若，则方程的两根互为相反数 D. 若，则方程的两个根互为倒数 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根的情况，逐项分析判断即可． 【详解】解：对于A：∵当时，代入方程得， ∴当，方程的一个根为，但1不一定是方程的根，故错误． 对于B：∵时，方程化为，∴有一个根为0，正确． 对于C：∵时，方程化为，解得，两根互为相反数，正确． 对于D：∵时，两根之积为，∴两根互为倒数，正确． 综上，不正确的是A． 故选A． 二．填空题 1.（2025年建平中学期中） 已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】16 【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可． 本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键． 【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：16． 2.（2025年杨浦区八上期中） 写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系，根据已知两根计算两根之和与两根之积，从而构造一元二次方程的一般式即可． 【详解】解：设一元二次方程为 ，根据根与系数的关系，有 ，， 已知 ，， 计算两根之和： ， 所以 ， 计算两根之积： ， 所以 ， 因此，方程为 ． 故答案为：（答案不唯一）． 3. （2025年奉贤区期中）方程的两个根的积是_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再利用根与系数的关系直接求解两根之积即可． 【详解】解：将原方程移项，得 ， 其中二次项系数，一次项系数，常数项． 根据根与系数的关系，方程的两个根的积为． 故答案为． 4.（2025年杨浦区八上期中） 已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____． 【答案】1<c<5　 【详解】∵三角形两边长是方程x2﹣5x+6=0的两个根，∴x1+x2=5，x1x2=6 ∵（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=25﹣24=1 ∴x1﹣x2=1，又∵x1﹣x2＜c＜x1+x2，∴1＜c＜5． 故答案为1＜c＜5． 5.（2025年静安田家炳中学期中） 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值、二次根式的混合运算等知识点，掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系可得两根之和与两根之积，再将化简后代入计算即可． 【详解】解：∵ a、b 是方程 的两个根， ∴，． ∴． 故答案为：3． 6.（2025年奉贤区期中） 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 【答案】或0 【分析】本题考查根与系数的关系．设方程的两个根为，由题意，得：，，利用完全平方公式的变形式进行计算即可． 【详解】解：设方程的两个根为，由题意，得：，， ∴， 解得：或， 故答案为：或0． 三．解答题 1.（2025年奉贤区期中） 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【小问1详解】解：根据题意得 解得； 【小问2详解】解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 2.（2025年徐汇区八上期中） 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 【答案】（1）且； （2） 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，， 再根据已知条件得到，解之即可得到答案． 【小问1详解】解：由题意得，，且 ∴且； 【小问2详解】由题意得，，， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴． 3.（2025年杨浦区八上期中） 已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 【答案】（1）解：不是，理由如下： 根据方根解的含义，将代入方程可得，， ∵，， ∴， 显然不成立， ∴不是这个方程的解； （2）解：与是负数，理由如下： 关于的方程的两个根分别为， 由根与系数的关系可得，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴与是负数． 【分析】本题考查了一元二次方程根的含义，根与系数的关系以及绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是理解方程根的含义以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程解的含义，将代入方程，验证是否成立即可； （2）根据根与系数的关系，得到，，判断它们的符号从而确定与的符号． 【小问1详解】略 【小问2详解】略 4.（2025年徐汇区八上期中） 阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： （1）利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， （2）根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 【答案】（1）；； （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元三次方程根与系数的关系和整式乘法，解决此题的关键是熟练运用因式分解的方法解方程； （1）根据题意和因式分解方法解方程把方程变形，进而得到答案； （2）根据（1）中得到的关系，a，b，c可以看作一元三次方程的三个根，根据题目中试根的方法得到答案即可； 【小问1详解】 解：∵，，是方程的三个实数解， 由材料可知方程可写成：， 化简得：， 而方程可化为：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）和题意可知a，b，c可以看作方程的三个根； 通过试根可知当时，方程左右两边相等，即是的根， 根据材料因式分解方程可化为：， ∴令或， ∴， 解一元二次方程得或， ∴，，． 专题五：一元二次方程的应用 考点1：二次三项式的因式分解 1.（2025年青浦区实验中学期中） 在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____． 【答案】2（x﹣）（x﹣） 【分析】令原式为0求出x的值，即可确定出因式分解的结果． 【详解】解：令2x2﹣4x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， ∵△＝16+8＝24， ∴ 则原式＝2（x﹣）（x﹣）. 故答案为2（x﹣）（x﹣）. 考点2：列方程解应用题 1.（2025年金山区期中） 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 【答案】（1） ①根据题意作图如下： ② （2）1，3，3，1， 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可； ②根据所画图形并结合题意解答即可； （2）由可得需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，画出拼成的立体图形，从而可得需要准备图（7）中的几何体块，因此，由此求解即可． 【小问1详解】 解：①略 ②根据①中所画图形，通过图形变化，将一个面积为32的长方形和四个面积为的小正方形拼成了一个面积为，且边长是的正方形． 显然该正方形的边长为，故，得； 【小问2详解】 解：， 故需要准备图（4）中的几何体块；需要准备图（5）中的几何体块；需要准备图（6）中的几何体块，拼成的立体图形如图所示： 故需要准备图（7）中的几何体块， 因此拼成了一个体积为，棱长是的正方体，故，得．故方程的一个正数根为． 故答案为：1，3，3，1，． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）8 （3）2028 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【小问1详解】 解：， ， ，即． ； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ． 【小问3详解】 解：， ， ，即， ． 3.（2025年七宝中学期中） 我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． （2）若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】（1）①；②或3 （2），“幸运数”为 （3）或 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可； （3）根据是“幸运方程”得出的两个根为整数，设方程的两个分别为p，q，根据根与系数的关系得出，进而根据p，q为整数，得出m的值为5或，求得，根据与互为“开心数”得出方程，进而分或，分别代入，解一元二次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，代入得，， ，即， 故答案为：； ②依题意，， 整理得，， 解得，， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 是“幸运方程”， 是完全平方数， 即是完全平方数， 或49或64， 解得或9或， 为整数， ， 当时，方程化为， ， 方程的“幸运数”为； 【小问3详解】 解：是“幸运方程”， 的两个根为整数， 设方程的两个根分别为p，q， ，， ， ， ， ，q为整数，， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 当，时，则，，此时， 综上所述，m的值为5或， 方程的“幸运数”为， 当时，， 当时，， ， 方程的“幸运数”为， 与互为“开心数”， ，即， 当时，方程为：， 解得：或舍去，不是整数， 当时，方程为：， 解得：， 综上所述，或． 4.（2025年延安中学第一学期期中） 已知关于的方程（是实数） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】（1） 证明：， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）15 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据根的判别式证明即可； （2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根， ∴长为7的边只能为腰， ∴有一根为7， 把代入， ， 解得：， 当时，方程为， 解得， 此时等腰三角形三边分别为1，7，7，， ∴此时能构成三角形，， ∴这个等腰三角形的周长为15； 当时，方程为， 解得， 此时三边分别为41，7，7， ∵， ∴此时不能构成三角形，不存在此三角形； 综上可知，这个等腰三角形的周长为15． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章 一元二次方程 专题一：一元二次方程的概念 一．选择题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年普陀区八上期中） 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 2.（2025年徐汇区八上期中） 关于x的一元二次方程的一个根为5，则m的值为________． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 方程为一元二次方程，则a的值为______________． 3.（2025年普陀区八上期中） 已知是方程的根，则代数式的值为_________． 专题二：一元二次方程的解法 考点1：特殊的方程的解法 一．填空题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 方程的根是_____________． 2.（2025年奉贤区期中） 一元二次方程的根是__________． 3.（2025年杨浦区八上期中） 方程的解为____________ 4.（2025年奉贤区期中） 淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则正数a的值为______． 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 已知关于的方程的解为，，则关于的方程的解为______． 6.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 7.（2025年建平中学期中） 小明在解方程时采用了下面的方法：由 又有，可得，将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： 解方程，得方程的解为______． 二．解答题 1.（2025年建平中学期中）解方程： 2.（2025年奉贤区期中） 解方程：． 3.（2025年徐汇区八上期中） 用合适方法解方程： 4.（2025年徐汇区八上期中） 用合适方法解方程： 5.（2025年金山区期中） 降次转化是解方程的基本思想，我们可以用换元法来研究某项高次方程．例如：解方程时，可以将看成一个整体，设，则，原方程可化为，解得，．当时，，，所以，；当时，此方程没有实数根，所以原方程的根为，．请根据上述内容，用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 考点2：一般的方程的解法 一．选择题 1.（2025年奉贤区期中）关于的一元二次方程经过配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 2.（2025年普陀区八上期中） 将一元二次方程化成（、为常数）的形式，则、的值分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二．解答题 1.（2025年杨浦区八上期中） 用合适的方法解方程： 2.（2025年建平中学期中） 用配方法解方程：． 3.（2025年延安中学第一学期期中） 解方程：（用配方法） 4.（2025年普陀区八上期中） 用配方法解方程：． 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以为许多问题提供解题思路： （1）正数m，n满足，求的值． （2）代数式是否存在最大或最小值，并求出最值的大小． （3）判断关于x的方程根的情况：． 考点3：求根公式 一．填空题 1.（2025年杨浦区八上期中） 一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为_____ 2.（2025年徐汇区八上期中） 已知实数x满足方程：，则_______． 二．解答题 1.（2025年徐汇区八上期中） 用求根公式方法解方程： 专题三：一元二次方程的判别式 一．选择题 1.（2025年青浦区实验中学期中） 关于的方程有实数根，那么a的值为（ ） A. B. 且 C. D. 2.（2025年杨浦区八上期中） 下列关于的方程有实数根的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 关于的一元二次方程的根的判别式的值为1，那么的值为_____． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 判断一元二次方程的根的情况_____． 3.（2025年静安田家炳中学期中） 定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为_______． 三．解答题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 2.（2025年静安田家炳中学期中） 已知等腰三角形的两条边a,b是方程x2－kx＋12=0的两根，另一边c是方程x2－16=0的一个根, 求k的值. 3.（2025年建平中学期中） 已知是正实数，关于的一元二次方程：． （1）判断：方程根的情况． （2）若是方程的一个实数根，试比较代数式与的大小关系． 4.（2025年徐汇区八上期中） 已知：，求z的最大值 专题四：一元二次方程的根与系数的关系 一．选择题 1.（2025年奉贤区期中）若关于的一元二次方程有实数根，那么下列说法不正确的是（） A. 若，则方程的一个根为1 B. 若，则方程的一个根为0 C. 若，则方程的两根互为相反数 D. 若，则方程的两个根互为倒数 二．填空题 1.（2025年建平中学期中） 已知和是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 2.（2025年杨浦区八上期中） 写出一个根为的一元二次方程：_____（写成一般式）； 3. （2025年奉贤区期中）方程的两个根的积是_____． 4.（2025年杨浦区八上期中） 已知三角形两边长是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则三角形的第三边c的取值范围是_____． 5.（2025年静安田家炳中学期中） 已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是______． 6.（2025年奉贤区期中） 如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”． 例如 是“差1方程”． 已知关于 的方程 （是常数）是“差1方程”，则 的值为_____________ 三．解答题 1.（2025年奉贤区期中） 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 2.（2025年徐汇区八上期中） 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 3.（2025年杨浦区八上期中） 已知关于的方程的两个根分别为． （1）是这个方程的解吗？请说明理由； （2）与是正数还是负数？请说明理由． 4.（2025年徐汇区八上期中） 阅读材料并解决问题 材料1：我们学了一元二次方程的解法，其中最基本的方式，是利用因式分解进行降次．那么对于更高次的方程，我们也可以用类似方法进行求解．例如：解方程：，可将其左边通过拆项，试根等方式，因式分解为，则方程的根为，， 材料2：当我们知道一个方程两根之和与两根之积时，利用韦达定理，我们可以构建满足这样条件的方程 例如：设一元二次方程的两根为，，且已知，则满足这两个解的方程是： 材料3：我们知道若，，是方程的两个实数根，则我们可以把方程写为，展开后得，比较两个方程的对应系数，不难发现， 由此我们也能得到一元二次方程的根与系数关系： （1）利用材料推导一元三次方程的根与系数关系 即，若，，，是方程的三个实数解，试用，，，表示： ，， （2）根据材料求方程组的一组实数解（写出一组即可） 专题五：一元二次方程的应用 考点1：二次三项式的因式分解 1.（2025年青浦区实验中学期中） 在实数范围内因式分解：2x2﹣4x﹣1＝_____． 考点2：列方程解应用题 1.（2025年金山区期中） 数学史上，曾有数学家利用几何法求解一元二次方程．下面，以的求解为例，说明几何法解一元二次方程的过程： 由于，因此．分别以和为两边构造一个长方形，面积为64．如图（1）所示，再把该长方形分割成一个面积是的小正方形和两个面积是的小长方形．如图（2）所示，将分割后的图形重新拼成图（3）所示的图形，则图（3）的阴影部分是边长为6的小正方形，面积为36．这样就将一个面积为64的长方形和一个面积为36的小正方形拼成了一个面积为，边长是的正方形，显然该正方形的边长为10，故10，得． 用几何法求解一元二次方程时，只能得到正数根．请根据上述材料解决以下问题： （1）用几何方法求方程的正数根． 具体过程如下： ①在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度． ②根据①中所画图形求出方程的正数根． （2）根据探究材料，我们尝试用“立体图形的组合”求特殊的一元三次方程的正根．例如，求的正数根． 类比平面图形的研究，可将此问题转化成拼正方体来求解，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图（4）中的几何体_____块； 需要准备图（5）中的几何体_____块； 需要准备图（6）中的几何体_____块； 需要准备图（7）中的几何体_____块； 请直接写出方程的一个正数根：_____． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求代数式的值． 3.（2025年七宝中学期中） 我们定义：两根都为整数的一元二次方程均为整数称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”，用表示，即．若有另一个“幸运方程”均为整数的“幸运数”为，若，则称与互为“开心数”． （1）关于x的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该幸运方程的“幸运数”是，则m的值为______． （2）若关于x的一元二次方程为整数，且是“幸运方程”，求m的值及该方程的“幸运数”； （3）若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“幸运方程”，且其“幸运数”互为“开心数”，求n的值． 4.（2025年延安中学第一学期期中） 已知关于的方程（是实数） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $