2026-2027学年数学人教版八年级上册期中综合测评

期中综合测评 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中，能搭成一个三角形的是（　　） A. 5，7，12 B. 7，7，15 C. 6，9，16 D. 6，8，12 3. 下列四组条件中，可以判定△ABC与△A1B1C1全等的是（　　） A. BC＝B1C1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1 B. AB＝A1B1，∠C＝∠C1＝90° C. AC＝A1C1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1 D. ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1 4. 如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（　　） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂线段最短 D. 等腰三角形“三线合一” 5. 若点P（a＋1，2－2a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 6. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示的作图痕迹如图所示，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 若△ADE的周长为18，则AB的长是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 8. 如图所示为两个完全一样的含30°角的三角尺ABC和三角尺A1B1C1.现将两个三角尺重叠在一起，较长直角边的中点为M，绕点M转动三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A1B1C1的斜边A1B1上.若B1C＝2，则AB的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D. 有下列说法：① AD是∠BAC的平分线；② ∠ADC＝60°；③ 点D在AB的垂直平分线上；④ S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中，正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在△ABC中，已知AB＝7，D为BC上一点.若BD＝9，AD＝4，∠BAD＋2∠CAD＝180°，则CD的长为（　　） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 二、 填空题（每小题3分，共18分） 11. 若等腰三角形的周长是20cm，一腰长为7cm，则这个三角形的底边长是　　　　cm. 12. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是　　　　. 13. 如图，△ABC≌△ADE，若∠DAC＝124°，∠BAE＝54°，则∠CAE的度数是　　　　. 14. 如图是某屋顶框架的示意图，若AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝120°，AD＝3.5m，则AB＝　　　　m. 15. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E. 若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，则BD的长为　　　　. 16. 如图，在四边形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC. 现将△BEC沿BC翻折，点E的对应点为E′，BE′与AC边相交于点D，恰好BE′是∠ABC的平分线，CE＝1，则∠DCE′＝　　　　°，BD的长为　　　　. 三、 解答题（共72分） 17. （6分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°.请用尺规在BC边上求作点P，使得∠PAC＝∠B（不写作法，保留作图痕迹）. 18. （8分）求证：等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. 19. （8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上（每个小正方形的边长均为1个单位长度）. （1） 画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1）； （2） 在（1）的条件下，将△A1B1C1沿x轴向左平移3个单位长度后得到△A2B2C2（点A1，B1，C1的对应点分别为A2，B2，C2），写出点A2，B2，C2的坐标. 20. （8分）如图，在△ABC中，E，F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF. （1） 求证：△BCD是等腰三角形； （2） 若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数. 21. （10分）如图，△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD. （1） 求证：△ABD≌△ACE； （2） 试判断△ADE的形状，并证明. 22. （10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD，AC于点F，E. （1） 若∠CEF＝50°，求∠A的度数； （2） ∠CFE与∠CEF相等吗？请说明理由. 23. （10分）如图，△ABC为等边三角形，在∠BAC内作射线AP（∠BAP＜30°），点B关于射线AP的对称点为D，连接AD，作射线CD交AP于点E，连接BE. （1） 依题意补全图形； （2） 设∠BAP＝α，求∠BCE的度数（用含α的式子表示）； （3） 判断EA，EB，EC之间的数量关系，并证明. 24. （12分）已知△ABC是一个等边三角形，E为射线CB上一动点（点E不与点B，C重合），连接AE，过点A作线段AF＝AE，使得∠EAF＝120°，且点F在直线AB的上方. （1） 当点E在BC边上运动时，设∠EAB的度数为α°. ① 如图①，过点F作FD∥BC交直线AC于点D，则∠FAD的度数为　　　　°（用含α的式子表示），请直接写出线段AD和EB的数量关系：　　　　； ② 如图②，若E为BC边上的中点，连接BF交AC边于点G，求证：FG＝BG. （2） 当点E在射线CB上运动时，直线BF与直线AC交于点G，若＝，求的值. 参考答案 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1. B 2. D 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B 9. D 10. B 二、 填空题（每小题3分，共18分） 11. 6 12. 4∶3 13. 35° 14. 7 15. 2 16. 22.5；2 三、 解答题（共72分） 17. 解：如图，点P即为所求作 18. 解：已知：如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，D为BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F. 求证：DE＝DF. 证明：如图，连接AD. ∵ AB＝AC，D为BC边上的中点，∴ AD平分∠BAC. ∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF. ∴ 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等 19. 解：（1） 如图，△A1B1C1即为所求作（2） 点A2的坐标是（－3，－1），点B2的坐标是（0，－2），点C2的坐标是（－2，－4） 20. （1） 解：∵ ∠A＝∠A，∠ABE＝∠ACF，AE＝AF，∴ △ABE≌△ACF. ∴ AB＝AC. ∴ ∠ABC＝∠ACB. ∴ ∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACF，即∠DBC＝∠DCB. ∴ BD＝CD，即△BCD是等腰三角形（2） 解：由（1），知AB＝AC，又∵ ∠A＝40°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝×（180°－40°）＝70°.∵ BD＝CD，BC＝BD，∴ BD＝CD＝BC. ∴ △DBC是等边三角形.∴ ∠DBC＝60°.∴ ∠ABE＝∠ABC－∠DBC＝10°.∴ ∠BEC＝∠A＋∠ABE＝50° 21. （1） 解：∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC. ∴ ∠ACD＝120°.∵ CE平分∠ACD，∴ ∠ACE＝∠DCE＝60°.∴ ∠B＝∠ACE. 在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠B＝∠ACE，BD＝CE，∴ △ABD≌△ACE（2） 解：△ADE是等边三角形　由（1）得△ABD≌△ACE，∴ AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，即∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD. ∴ ∠DAE＝∠BAC＝60°.∴ △ADE为等边三角形 22. （1） 解：∵ ∠ACB＝90°，∠CEF＝50°，∴ ∠CBE＝40°.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABC＝2∠CBE＝80°.∴ ∠A＝90°－80°＝10°（2） 解：∠CFE＝∠CEF　理由：∵ ∠ACB＝90°，∴ ∠CBE＋∠CEB＝90°.∵ CD⊥AB，∴ ∠EBA＋∠BFD＝90°.又∵ BE平分∠ABC，∴ ∠CBE＝∠EBA. ∴ ∠CEB＝∠BFD. ∵ ∠BFD＝∠CFE，∴ ∠CEB＝∠CFE，即∠CFE＝∠CEF 23. 解：（1） 补全图形如图所示（2） 解：∵ △ABC是等边三角形，∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC. ∵ 点B关于射线AP的对称点为D，∴ ∠BAP＝∠DAP＝α，AB＝AD. ∴ ∠CAD＝∠BAC－∠BAP－∠DAP＝60°－2α，AD＝AC. ∴ ∠ACD＝∠ADC＝（180°－∠CAD）＝[180°－（60°－2α）]＝60°＋α.∴ ∠BCE＝∠ACD－∠ACB＝α（3） 解：EA＝EB＋EC　如图，在EA上取一点F，使EF＝EB，连接BF. 由（2），知∠ACD＝60°＋∠BAP. ∵ ∠CAE＝60°－∠BAP，∴ ∠ACD＋∠CAE＝120°.∴ ∠AEC＝60°.由题意，知∠AEB＝∠AEC＝60°，∴ △BEF是等边三角形.∴ BF＝BE，∠EBF＝60°.由题意，知∠ABC＝60°，∴ ∠ABC＝∠EBF＝60°.∴ 易得∠ABF＝∠CBE. ∵ △ABC是等边三角形，∴ AB＝CB. 又∵ BF＝BE，∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF＝CE. ∴ EA＝EF＋AF＝EB＋EC 24. 解：（1） ① （120－α）；AD＝EB② 如答案图①，过点F作FM∥BC交CA的延长线于点M. ∴ ∠M＝∠C＝60°.∵ △ABC是等边三角形，E为BC边上的中点，∴ 易得∠EAB＝∠CAB＝30°，AE⊥BC，即∠AEB＝90°，α°＝30°.由（1）可知∠FAM＝120°－α°＝90°，∴ ∠FAM＝∠AEB＝90°.在△AFM和△EAB中，∠M＝∠ABE，∠FAM＝∠AEB，AF＝EA，∴ △AFM≌△EAB. ∴ FM＝AB. ∵ AB＝BC，∴ FM＝BC. 在△FMG和△BCG中，∠M＝∠C，∠FGM＝∠BGC，FM＝BC，∴ △FMG≌△BCG. ∴ FG＝BG（2） 解：∵ ＝，∴ 设BE＝2a，则BC＝3a.∴ AB＝BC＝AC＝3a.∵ 点E在射线CB上运动，∴ 有以下两种情况：① 如答案图②，当点E在线段BC上时，过点F作FN∥BC交CA的延长线于点N. 设AG＝x，则CG＝AC－AG＝3a－x.同（1）可证 △AFN≌△EAB，△FNG≌△BCG，∴ AN＝EB＝2a，NG＝CG＝3a－x.∵ NG＝AN＋AG＝2a＋x，∴ 2a＋x＝3a－x，解得x＝.∴ CG＝3a－x＝.∴ ＝＝.② 如答案图③，当点E在CB的延长线上时，过点F作FH∥BC交CA于点H. ∴ ∠FHG＝∠C＝60°.∴ ∠AHF＝180°－∠FHG＝120°.又∵ ∠EBA＝180°－∠CBA＝120°，∴ ∠AHF＝∠EBA＝120°.∵ ∠EAF＝120°，∠CAB＝60°，∴ ∠HAF＋∠BAE＝∠EAF－∠CAB＝60°.在△BEA中，∠E＋∠BAE＝180°－∠EBA＝60°，∴ ∠HAF＝∠E.在△HAF和△BEA中，∠AHF＝∠EBA，∠HAF＝∠E，AF＝EA，∴ △HAF≌△BEA. ∴ AH＝EB＝2a，FH＝AB＝BC. ∴ CH＝AC－AH＝3a－2a＝a.在△FHG和△BCG中，∠FHG＝∠C，∠FGH＝∠BGC，FH＝BC，∴ △FHG≌△BCG. ∴ HG＝CG＝CH＝.∴ AG＝AH＋HG＝2a＋＝.∴ ＝＝5.综上所述，的值为或5 学科网（北京）股份有限公司 $