第20章二次根式期中专题复习三2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

第20章二次根式 专题一：二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义 一.选择题 /x-3 x-3 1.(2025年南洋模范中学第一学期期中)等式√x+1 Vx+1成立的x的取值范围在数轴 上可表示为() A. B. D 二.填空题 1.(2025年延安中学第一学期期中)如果代数式1V3-x在实数范围内有意义，那么实数 x的取值范围是 √x-3 2.(2025年南洋模范中学第一学期期中)代数式x-2有意义，则x的取值范围是 第1页 考点2：二次根式的性质 一.选择题 1 1.(2025年徐汇区八上期中)二次根式Vx化成最简结果为() A.v B.-V-x c-Vr D.Vx 2.(2025年延安中学第一学期期中)下列二次根式中，不是最简二次根式的是() A.Vx2-4 B.Vx2+2x+4 C.V4x D.Vx2+4 2 3.(2025年杨浦区八上期中)甲、乙两位同学将二次根式Vā变形的过程如下， 甲：匠=vaa=aa=a 乙：va=-a)(-a=a-a=-a 由此，两位同学共同得到“任何实数a都等于它的相反数一a”的结论 两位同学关于V匠的变形过程，首次出现共同错误的地方是《) A.第一个等号后 B.第二个等号后 C.第三个等号后 D.两位同学都没错 二.填空题 1.(2025年南洋模范中学第一学期期中)若V5-a}+5=a,则a的取值范国是 2.(2025年延安中学第一学期期中)已知a与b是非零实数，且满足a>b,化简： -ab 第2页 3.(2025年杨浦区八上期中)化简： V-27m3= 27 4.(2025年杨浦区八上期中)化简：√8x (x>0)= 5.(2025年延安中学第一学期期中) 己知实数a满足3-4+Va-4=a,郑么a的值为 三.解答题 1(2025年建平中学期中)已知x+y=-5,y=1,判断和y的正负并求十7 的值. 专题二：二次根式的运算 考点1：同类二次根式 一·选择题 1(2025年延安中学第一学期期中)下列二次根式中，与N5属于同类二次根式的是( ) A.√0.2 c.√2 D.20 第3页 2(2025年普陀区八上期中)已知整数x、y满足Vx+2VD=V50 那么能满足条件的 整数x的个数是() 03 二.填空题 1.(2025年徐汇区八上期中) V28与最简二次根式5Vx-1为同类二次根式，则x= 2(2025年杨浦区八上期中)如果最简二次根式V一与V8是同类二次根式，那么1- 3.(2025年普陀区八上期中)如果最简二次根武V2+5与V5是同类二次根式，那么 Q= 考点2：二次根式的运算 一，选择题 1.(2025年普陀区八上期中)下列各式计算正确的是( ) A.3+V3=V6 B.23-3=2 C.2W3×V3=6 D23÷1 2 2(2025年普陀区八上期中)在下列各式中，是V2a+b 的有理化因式的是() A.2a+b B.2a-b C.2a+b D.2a-b 3.(2025年杨浦区八上期中)下列式子不是N匠-下的有理化因式的是() A.x+y B.xWx+x√y ey2+5 1 第4页 二.填空题 x+y 1.(2025年南洋模范中学第一学期期中)写出√x-√少的有理化因式是一。 2(2025年徐汇区八上期中)2V6+3V2 的有理化因式是一， 3.（2025年徐汇区八上期中)不等式V5x-1>2x的解集是 .1 Vx+- 4.(2025年延安中学第一学期期中)如果正数x满足x+x1=3,那么 x的值是 5.(2025年南洋模范中学第一学期期中)不等式X-1>V2x的解集是」 6(2025年杨区八上期中)不等式(5-2小x<0的解袋是 三.解答题 1.(2025年徐汇区八上期中)计算： 2-同可-2×w6+6 0脑年安+学第学？：5得-b5- 3.(2025年南洋模范中学第一学期期中) 4计第：2+写)-8+（红-3 第5页 连9嵬 o叫）贤-吕*： :9小g指（结一袋去中等茶a配》 (卧到 o<2是)四号we -g八-+琴-y风 65年6<人上)化简：子+号)3侣 7(2025年普陀区八上期中)解不等式：V5x>3x-4V3 第7页 8(2025年杨浦区八上期中)已知m=1号” 1-n m-4vmn+4n 1)n=1,求1+NnVm-2Wn的值. a-b 9a+6ab+b 9.(2025年徐汇区八上期中)先化简，后求值：√a-√ ,3Va+√b,其中 a=5,b=3 3 10.(2025年延安中学第一学期期中)先化简，再求值：Vx-√Vx+√不，其中 7 7 3-V2y=3+N2. x= 第8页 11.(2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中)高空抛物是一种不文明的危险行为，据 研究，从高处坠落的物体.其下落的时间t(单位：S)和下落高度h(单位：m)近似满 h 足公式《=√5（不考虑阻力的影响）. (1)物体从20m的高空落到地面的时间为. (2已知从高空坠落的物体所猫能量（单位，人)=10×物体质量g)×商度m.一个 0.05kg 质量为 的鸡蛋经过6落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对 无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要50√2） 的能量) 12.(2025年虹口区八上期中)请阅读下列材料： 5-2 已知x= √3+2，求代数式x2+14x2+x+2023的值. 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 第9页 (3-2 由x= 5-2,分母有理化得： 3-43+4=45-7 √3+2 (N3+23-23-4 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由x=4W3-7得x+7=43,两边平方得(x+7}=(4v3, 得+14x+49=48,则+14红=-1 观察原代数式P+14r+x+2023 注意到前两项可提取公因式： x3+14x2=x(x2+14x) 代入2+14x=-1,得*(x+14x+x+2023=(-1）小x+x+2023=2023 因此，原式得值为2023 请运用上述思想方法解决下列问题： √5-6 (1)已知X=5+V6,求代数式x+22x2+x+2024的值： V5+3 (2)已知x=5-3,求代数式父+7x2+3x+2025的值. 13.(2025年青浦一中第一学期期中)配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大 第10页 （小)值.对于任象正实数“b,可作如下变形《提示：V口6=V而) :a+b=(a+(2=(va+(b'-2ab+2ab=(a-b+2ab, 又(a-vb≥0， （a-b+2ab≥0+2Nab,即a+b≥2ab. 当且仅当Va=Vb,即a=b时等号成立. 16 (1)若x>0,代数式x+x的最小值为一，此时x= (2)某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少 米？ ABCD (3)如图，四边形 的对角线 C,BD相交于点· ,O△AOB△COD 的面积分 别为12和3，求四边形ABCD面积的最小值. B 第11页 14(2025年普陀区八上期中)定义：若Na+b)(Va-VB)=c,c是有理数，则称 a+Vb与a-vb是关于c的“美好数”例如： (5+2(3-2)=(3-(V2=1,则称5+V2与5-2是关于1的“美好 数” (山2+v5关于1的“美好数”是 2)化简：V9+V+m+3++19+2, (3)若'是10-1关于9的“美好数”，请直接写出4少-8y+2025的值. 15.(2025年南洋模范中学第一学期期中)阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式 的有关概念，同学们可以发现以下结果：当a>0时， u+。回-2a+aa（66+2 第12页 1 a= 1 当 a+ √a即a=1时，a中a的最小值为2 请利用以上结果解决下面的问题： a+- (1)当a>0时，直接写出a的最小值为 4 a+ (2)当a<0时，a有最大还是最小值？最值是多少？ (3)解决问题：如图，己知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,若△AOD的面 积为2，△BOC的面积为3，求四边形ABCD面积的最小值. 第13页 第20章 二次根式 专题一：二次根式及其性质 考点1：二次根式的定义 一．选择题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出的范围． 【详解】由题意可知： ,解得：, 故选：． 【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 二．填空题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 如果代数式在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式有意义和分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：根据题意得， 所以，， 解得， 故答案为：． 2.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 代数式有意义，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键． 考点2：二次根式的性质 一．选择题 1.（2025年徐汇区八上期中） 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选C． 3.（2025年杨浦区八上期中） 甲、乙两位同学将二次根式变形的过程如下， 甲： 乙： 由此，两位同学共同得到“任何实数都等于它的相反数”的结论． 两位同学关于的变形过程，首次出现共同错误的地方是（ ） A. 第一个等号后 B. 第二个等号后 C. 第三个等号后 D. 两位同学都没错 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 要求 且 ．甲和乙在第二个等号后应用此性质时，未考虑a和的非负性，导致错误． 【详解】解：，而非简单等于或． 甲的过程：（正确），但 仅当 时成立； 乙的过程：（正确），但 仅当（即 ) 时成立． 两位同学在第二个等号后应用根式性质时，均未确保或非负． 首次共同错误出现在第二个等号后． 故选：B． 二．填空题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 若，则a的取值范围是 ________． 【答案】## 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的非负性是解题的关键．先变形为，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 已知与是非零实数，且满足，化简：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，不等式的性质，根据二次根式有意义的条件和已知条件可推出，据此化简二次根式即可． 【详解】解：∵式子有意义，与是非零实数， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（2025年杨浦区八上期中） 化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据被开方数为非负数，得，再根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（2025年杨浦区八上期中） 化简：_____； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质进行化简根式即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5.（2025年延安中学第一学期期中） 已知实数满足，那么的值为______． 【答案】13 【分析】本题主要考查绝对值的化简，二次根式有意义的条件，掌握以上知识的计算是关键． 根据根式的定义域确定 的取值范围，化简绝对值表达式后求解方程． 【详解】解：由 可知 ，即 ， 当 时，，代入原方程得： 化简得： ， 两边平方得： ， 解得： ， 经检验， 满足原方程， 故答案为：13． 三．解答题 1.（2025年建平中学期中） 已知，判断和的正负并求的值． 【答案】和都为负数，5 【分析】根据，可判定和同号且同为负，后根据二次根式的性质，结合已知，化简求值即可．本题考查了二次根式的化简求值，实数的和，积运算，熟练掌握化简求值的基本思路是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故和同号且同为负， 故 ． 专题二：二次根式的运算 考点1：同类二次根式 一．选择题 1.（2025年延安中学第一学期期中） 下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式．二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，据此把四个选项中的二次根式化简为最简二次根式，比较被开方数是否与相同． 【详解】解：A、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意； B、∵，被开方数为2，与相同，故此选项符合题意； C、∵，不是二次根式，故此选项不符合题意； D、∵，被开方数为5，与不同，故此选项不符合题意． ∴ 故选：B． 2.（2025年普陀区八上期中） 已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 二．填空题 1.（2025年徐汇区八上期中） 与最简二次根式为同类二次根式，则______． 【答案】8 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式定义，最简二次根式定义是解题的关键．化成最简二次根式后，根据被开方数相等解答即可． 【详解】解：， 与最简二次根式为同类二次根式， ， 故答案为： 2.（2025年杨浦区八上期中） 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______． 【答案】3 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，根据同类二次根式的定义，被开方数必须相同，把化为最简二次根式后，因此令 等于 化简后的被开方数即可求解． 【详解】解：∵， 与是同类二次根式， ∴，解得． 故答案为 3． 3.（2025年普陀区八上期中） 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，得出，解方程即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 解得：， 故答案为． 考点2：二次根式的运算 一．选择题 1.（2025年普陀区八上期中）下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，包括加法、减法、乘法和除法．需要根据二次根式的运算法则逐一判断． 【详解】解：A．，选项错误，不符合题意； B．，选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，选项错误，不符合题意； 故选：C． 2.（2025年普陀区八上期中） 在下列各式中，是的有理化因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式的概念．有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式就互为有理化因式，分别将选项代入计算看乘积是否含有根式即可． 【详解】A．，结果不带根式，符合题意． B．，结果带根式，不符合题意． C．，结果带根式，不符合题意． D．，结果带根式，不符合题意． 故选：A． 3.（2025年杨浦区八上期中） 下列式子不是的有理化因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】本题考查有理化因式的概念，关键是通过相乘验证是否消除根式．注意选项C的乘积仍保留根式结构． 有理化因式需满足与给定式子相乘后结果不含根式．通过计算各选项与 的乘积，判断是否含根式． 【详解】∵ 有理化因式应使乘积不含根式， A．，不含根式； B．，不含根式； C．，仍含根式； D．，不含根式． ∴ 选项C不是有理化因式． 故选：C． 二．填空题 1.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 写出的有理化因式是______． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，掌握有理化因式的定义是解题的关键．利用平方差公式解答即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴分母 的有理化因式为， 即 的有理化因式为， 故答案为：． 2.（2025年徐汇区八上期中） 的有理化因式是_____． 【答案】## 【分析】本题考查了有理数因式的定义，根据“ 如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式”，即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴的有理化因式是， 故答案为：． 3.（2025年徐汇区八上期中） 不等式的解集是____________． 【答案】## 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，分母有理化，严格遵循解不等式的基本步骤是解本题的关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．通过移项、合并同类项、系数化为1，再根据人次根式分母有理化化简即可求出不等式的解集． 【详解】解： ，即 故答案为：． 4.（2025年延安中学第一学期期中） 如果正数满足，那么的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则的关键． 由 可得 ，然后求出的平方即可求解． 【详解】解：由 ，可得 ， ∵，, ∴． 故答案为：． 5.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，分母有理化等．根据题意先移项，后分母有理化即可得到本题答案． 【详解】解：， 移项得： ， 整理得：， ∵， ∴，即：， ∴ 故答案为：． 6.（2025年杨浦区八上期中） 不等式的解集是_____； 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，准确计算是解题的关键． 通过判断系数的符号，确定不等号方向是否改变． 【详解】解不等式， ， ， 不等式两边同时除以， ． 故答案是：． 三．解答题 1.（2025年徐汇区八上期中） 计算： 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算二次根式的乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】解： = =． 2.（2025年延安中学第一学期期中） 计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键． 先运用分母有理化，乘法公式展开，再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3.（2025年南洋模范中学第一学期期中） （1）计算： （2）计算： （3）计算： （4）计算： 【答案】（1）4（2）（3）（4） 【详解】本题考查二次根式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键． （1）先计算零次幂，负指数幂，绝对值，再进行计算即可； （2）先分母有理化，运用二次根式性质化简，再进行加减计算即可； （3）先化为最简二次根式，把除法转化为乘法，再进行乘法运算； （4）先算括号里面的加减运算，再计算除法即可． 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 4.（2025年延安中学第一学期期中） 计算： 【答案】 【详解】解： ． 5.（2025年徐汇区八上期中） 计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是注意符号的正负；根据二次根式化简的步骤化简即可 【详解】解： ． 6.（2025年杨浦区八上期中） 化简： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，判断出字母的符号是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义判断出a和b的符号，再进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴a和b同号， ∴， ∵要使和有意义， ∴，， ∴，， ∴ ． 7.（2025年普陀区八上期中） 解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，根据解一元一次不等式的步骤计算并结合二次根式分母有理化的法则计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 所以原不等式的解集是． 8.（2025年杨浦区八上期中） 已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解答的关键． 先根据二次根式的运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解：原式 ， 把，代入，得 原式 ． 9.（2025年徐汇区八上期中） 先化简，后求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查二次根式的化简求值．先将分子进行因式分解，再约分化简，最后代入数据求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 10.（2025年延安中学第一学期期中） 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先通分化简表达式，再求出，从而求出，最后代入数值计算． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∴原式． 11. （2025年闵行区上师附属闵行实验中学期中）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体．其下落的时间（单位：）和下落高度（单位：）近似满足公式（不考虑阻力的影响）． （1）物体从的高空落到地面的时间为_________． （2）已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？会对无防护人体造成伤害吗？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】（1）2 （2）能量为，会对无防护人体造成伤害 【分析】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的计算法则是解题的关键． （1）根据公式，代入计算即可． （2）先根据公式，求得高度，再根据公式物体质量×高度，计算能量即可． 【小问1详解】 ∵，， ∴． 故答案为：2； 【小问2详解】 ∵，, ∴， ∴， ∴，而 ∴， 故，会对无防护人体造成伤害． 12.（2025年虹口区八上期中）请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 小熙根据二次根式的性质及整体代入思想，给出了如下解法： 由，分母有理化得：． 但直接代入太繁琐，转而寻求整体关系： 由得，两边平方得， 得，则． 观察原代数式，注意到前两项可提取公因式： 代入，得． 因此，原式得值为2023． 请运用上述思想方法解决下列问题： （1）已知，求代数式的值； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化以及代数式的整体代入求值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键． 通过分母有理化得到的表达式，进而推导出关于的二次式的整体值，再将代数式进行变形后整体代入计算． 【小问1详解】 由， 得， ， ， 即， ， ， ， ． 【小问2详解】 由， 得， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ． 13. （2025年青浦一中第一学期期中）配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数，可作如下变形（提示：） ， 又， ，即． 当且仅当，即时等号成立． （1）若，代数式的最小值为 ，此时 ． （2）某园林设计师用篱笆围一个面积为81平方米的长方形花圃，所用的篱笆至少为多少米？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别为12和3，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）8，4 （2） （3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形，分式求最值，算术平方根，正确理解题意并举一反三是解题关键． （1）依据题意，设，则由，得，进而当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8，故可得解； （2）设花圃的宽为米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解； （3）设，由三角形的面积公式可知，若两三角形底边上的高相等，则其面积比等于底边之比，由此可将表示出来．写出四边形的面积的表达式，利用题中结论求其最小值即可． 【小问1详解】 解：（1）由题意，设，且， 由， 得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为8． 故答案为：8，4； 【小问2详解】 解：由题意，设花圃的宽为米，则长为米， 所用的围栏， ． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 答：所用的围栏至少为米． 【小问3详解】 由题意，设， △与△底边上的高相等，△与△底边上的高相等， ， ． ． ． 又， 当时，即时取等号， ． 四边形面积的最小值存在，最小值为． 14.（2025年普陀区八上期中） 定义：若，是有理数，则称与是关于c的“美好数”例如：，则称与是关于的“美好数”． （1）关于的“美好数”是______； （2）化简：； （3）若是关于的“美好数”，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】本题考查了“美好数”的新定义，分母有理化，二次根式的运算，因式分解的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化解答即可求解； （）利用“美好数”的新定义，分母有理化求出，再把变形为，最后代入求值即可． 【小问1详解】解：由“美好数”的新定义可得， 则关于的“美好数”是， 故答案为：； 【小问2详解】解： ； 【小问3详解】解：关于的“美好数”， ∴ ． 15.（2025年南洋模范中学第一学期期中） 阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为． 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，直接写出的最小值为 ； （2）当时，有最大还是最小值？最值是多少？ （3）解决问题：如图，已知四边形的对角线，交于点，若的面积为，的面积为，求四边形面积的最小值． 【答案】（1）； （2）当时，的最大值为； （3）四边形面积最小值为． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法，完全平方的非负性，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）设，由的面积为，的面积为，根据等高三角形可得，，则有，所以四边形面积为，然后根据题例即可求解． 【小问1详解】解：当时， ∵， ∴当即时，的最小值为， 故答案为：； 【小问2详解】解：当时， ， 当即时，的最大值为； 【小问3详解】解：设， ∵的面积为，的面积为， ∴根据等高三角形可得，， ∴， ∴， ∴四边形面积为， 同（）得，当时，四边形面积有最小值， ∴， ∴四边形面积最小值为． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $