26.4　第3课时　抛物线形问题 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

26.4　第3课时　抛物线形问题 随堂小练 新知梳理 1. 建立平面直角坐标系解决拱桥等抛物线形问题时一般有以下类型：（1） 抛物线的顶点是坐标原点，可设解析式为　　　　；（2） 抛物线的顶点在y轴上，可设解析式为　　　　；（3） 抛物线的顶点在x轴上，可设解析式为　　　　； （4） 抛物线的顶点坐标为（h，k），可设解析式为　　　　；（5） 抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别是x1，x2，可设解析式为　　　　；（6） 抛物线经过坐标平面内的三点，可设解析式为　　　　. 反馈训练 1. 如图，从地面喷出的水流的形状为抛物线，其对应的函数解析式为y＝－x2＋4x（x≥0），则水流最高点到地面的高度为（　　　　） A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m 2. 如图，一座拱桥的形状近似抛物线的一部分，对应的函数解析式为y＝－x2.当水面宽度AB为20m时，水面距拱桥顶的高度DO为（　　　　） A. 2m B. 4m C. 10m D. 16m 3. 拱桥的形状近似抛物线，拱桥水面宽AB＝8m，拱顶到水面距离2m，水面上升1m后，水面新宽度为（　　　　） A. 2m B. 4m C. 6m D. 8m 4. 一抛物线形大门的高为5m，底部宽8m，以大门左下角为原点，水平向右为x轴建立平面直角坐标系，则抛物线对应的函数解析式为　　　　. 5. 拱桥的形状是抛物线，以拱顶为原点、拱顶所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系，其对应的函数解析式为y＝－0.1x2.当水面宽10m时，拱顶距水面　　　　m. 6. 从喷水池喷头喷出的水在空中形成一条如图所示的抛物线，在抛物线各个位置上，水的竖直高度y（m）与它距离喷头的水平距离x（m）之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出的水的最大高度是　　　　m. 7. 如图，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道该门的高度，他先测出门的宽度AB＝8m，然后用一根长为4m的竹竿CD竖直接触地面和门的内壁，并测得AC＝1m.求： （1） 抛物线对应的函数解析式； （2） 门高OE. 8. 某校计划修建一抛物线形景观喷水池，要求水流喷出后呈抛物线状，落地时与喷口的水平距离不少于8m，水流的最大高度不低于5m，喷口设置在地面上（高度记为0）.现安排综合与实践学习小组合作完成以下探究任务： （1） 小组分工完成： ① 确定建系方案（给出2种不同的建系方案）； ② 若选取喷口为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，测得水流途经点（2，4），（6，4），求该抛物线对应的函数解析式，并计算水流最大高度和落地水平距离，判断设计是否符合要求. （2） 在（1）②的条件下，若通过调整水流初速度改变抛物线的形状（对应函数的二次项系数变为－），求调整后抛物线对应的函数解析式，并判断此时落地水平距离是否达标. 同步练习 基础过关 1. 如图，一款高OD为14cm的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝x2＋5的一部分，则杯口的口径AC为（　　　　） A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm 2. 教材变式题 如图所示为一座抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则当水面下降　　　　米时，水面宽8米. 3. 某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度h（m）与足球飞行的时间t（s）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，那么足球从踢出到落地所需的时间是　　　　s. 4. 小明和小亮玩打水仗的游戏，两人相距7米，两人身高都是1.5米.以水平线为x轴，小明所站立线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，点A（0，1.5）是小明水枪的喷口，小明的水枪喷出水的路线为抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2.5，小亮为了喷到小明，踮脚抬臂，使得水枪的喷口坐标为B（7，1.8），小亮的水枪喷出水的路线为抛物线C2：y＝mx2＋bx＋c，且过点（4，3.6）. （1） 请通过计算说明小明能否喷到小亮； （2） 如果（4，3.6）是抛物线C2的顶点，请通过计算说明小亮能否喷到小明. 5. 某公园草坪的护栏是由100段形状相同的抛物线组成的，为了牢固起见，每段护栏需按间距0.4m加设由不锈钢管做成的立柱（如图），护栏的最高点距底部0.5m，则所需不锈钢立柱的总长度为（　　　　） A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m 6. 如图所示为一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m.已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系.若选取A为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为y＝－（x－6）2＋4，则选取B为坐标原点时的抛物线对应的函数解析式为　　　　. 能力进阶 7. 新情境 体育比赛 已知网球比赛场地的长AB为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网OC高度为1米，建立如图所示的平面直角坐标系.运动员从点P（－9，1.5）处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点D（－3，2）处达到最高. （1） 求抛物线对应的函数解析式； （2） 判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由. 思维拓展 8. 一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门OB高为2.44m，现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系. （1） 求抛物线对应的函数解析式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. （2） 对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ （3） 若要让球恰好擦着球门顶端射入，小明需要带球向正后方移动多少米？ 参考答案 随堂小练 新知梳理 1. y＝ax2（a≠0）；y＝ax2＋k（a≠0）；y＝a（x－h）2（a≠0）；y＝a（x－h）2＋k（a≠0）；y＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）；y＝ax2＋bx＋c（a≠0） 反馈训练 1. B 2. B 3. B 4. y＝－x2＋x 5. 2.5 6. 3 7. 解：（1） 由题意，得抛物线过点A（－4，0），B（4，0），D（－3，4），∴ 设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋4）（x－4）.把D（－3，4）代入，得4＝a（－3＋4）×（－3－4），解得a＝－.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－（x＋4）（x－4）＝－x2＋（2） 令x＝0，得y＝，即点E的坐标为（0，），∴ 门高OE＝m 8. 解：（1） ① 答案不唯一，如建系方案1：以喷口为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴；方案2：以水流最高点为原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴② ∵ 喷口为原点，∴ 可设抛物线对应的函数解析式为y＝ax2＋bx.将（2，4），（6，4）代入，得4a＋2b＝4，36a＋6b＝4，解得a＝－，b＝.∴ y＝－x2＋x＝－（x－4）2＋.∴ 当x＝4时，y取得最大值.令y＝0，解得x＝0或x＝8.8－0＝8（m）.∴ 水流最大高度为m，落地水平距离为8m.∴ 设计符合要求（2） 根据题意，得调整后抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋x.令y＝－x2＋x＝0，解得x＝或x＝0.∵ －0＝（m），＞8，∴ 此时落地水平距离达标 同步练习 基础过关 1. C 2. 3. 1.6 4. 解：（1） ∵ 抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2.5过点A（0，1.5），∴ 1.5＝a（0－3）2＋2.5，解得a＝－.∴ 抛物线C1：y＝－（x－3）2＋2.5.∵ 当x＝7时，y＝－（x－3）2＋2.5＝，0＜＜1.5，∴ 小明能喷到小亮（2） ∵ 抛物线C2的顶点坐标为（4，3.6），∴ 抛物线C2：y＝m（x－4）2＋3.6.∵ 抛物线C2过点B（7，1.8），∴ 1.8＝m（7－4）2＋3.6，解得m＝－.∴ 抛物线C2对应的函数解析式为y＝－（x－4）2＋3.6.又∵ 当x＝0时，y＝－×（0－4）2＋3.6＝0.4，0＜0.4＜1.5，∴ 小亮能喷到小明 5. C 6. y＝－（x＋6）2＋4 能力进阶 7. 解：（1） ∵ 网球飞行过程中在点D（－3，2）处达到最高，∴ 设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋3）2＋2.把P（－9，1.5）代入，得1.5＝a（－9＋3）2＋2，解得a＝－.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－（x＋3）2＋2（2） 此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）　理由：∵ y＝－（x＋3）2＋2，∴ 当x＝0时，y＝－×9＋2＝＞1.∴ 网球越过球网.当x＝12时，y＝－×（12＋3）2＋2＝－＜0，∴ 网球落在对方区域内.∴ 此次击球越过球网并落在对方区域内. 思维拓展 8. 解：（1） 由题意，得抛物线的顶点坐标为（2，3）.设抛物线对应的函数解析式为y＝a（x－2）2＋3.把A（8，0）代入，得36a＋3＝0，解得a＝－.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－（x－2）2＋3.当x＝0时，易得y＝＞2.44，∴ 球不能射进球门（2） 设小明带球向正后方移动mm，则移动后的抛物线对应的函数解析式为y＝－（x－2－m）2＋3.把（0，2.25）代入，得2.25＝－（－2－m）2＋3，解得m1＝－5（不合题意，舍去），m2＝1.∴ 当时他应该带球向正后方移动1m射门（3） 设小明向正后方移动nm（n＞0），则新抛物线对应的函数解析式为y＝－[x－（2＋n）]2＋3.∵ 球恰好擦着球门顶端射入，即新抛物线经过点（0，2.44），∴ 2.44＝－[0－（2＋n）]2＋3，解得n＝－2（负值舍去），∴ 小明需要带球向正后方移动（－2）m射门，足球就能恰好擦着球门顶端射入 学科网（北京）股份有限公司 $