26.4 第3课时 建立二次函数模型，解决抛物线问题（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 本练习通过基础达标、能力提升、思维拓展三层设计，以抛物线型问题为载体，实现从单一建模到综合应用的知识巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|抛物线型建筑、运动问题基础建模|结合小球运动、投篮等生活情境，设易错点提示（如飞机滑行距离）| |能力提升|复杂情境下的综合建模与方案优化|以喷水池、钢材构件为背景，含多步骤解答题（如支架材料比较）| |思维拓展|跨情境动态应用与参数分析|创设游戏抛沙包情境，融合最高点求解与范围确定，发展创新意识|

第3课时 建立二次函数模型，解决抛物线型问题 01 基础达标 知识点 建立二次函数模型，解决抛物线型建筑、运动问题 1. 竖直向上发射的小球的高度h（m）关于运动时间t（s）的函数表达式为h=at2+bt，其图象如图所示，若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ） A. 第3秒 B. 第3.5秒 C. 第4.2秒 D. 第6.5秒 2. 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（　　） A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m 3. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m. 4. 如图所示，在一场足球赛中，一球员从球门正前方处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是时，球达到最高点，此时球高3m，将球的运行路线看成是一条抛物线，若球门高为，则该球员________射中球门（填“能”或“不能”）． 5. 如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度为10m，一身高为1.8m的同学站在门内，在离门脚1m处垂直地面站直拍照，其头顶恰好顶在抛物线形门上，根据这些条件，请你求出该大门的高h． 易错点 “飞机停下来”不是，而是y取最大值 6. 某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来． 02 能力提升 7. 如图，某抛物线形石拱门，已知其底部宽度为，高度为．则离地面处的水平宽度（即的长）为________． 8. 要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为______． 9. 某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 03 思维拓展 10. 嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分． （1）写出的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值． 第3课时 建立二次函数模型，解决抛物线型问题 01 基础达标 知识点 建立二次函数模型，解决抛物线型建筑、运动问题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的表达式，算出第2秒与第6秒时的高度，列出等式，求出a、b的关系，然后根据二次函数的性质，求出对称轴，进而得出最高点. 【详解】由题意可知：h（2）=h（6）， 即4a+2b=36a+6b， 解得b=﹣8a， 函数h=at2+bt的对称轴 故在t=4s时，小球的高度最高， 题中给的四个数据只有C第4.2秒最接近4秒， 故在第4.2秒时小球最高 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质.根据已知条件求出a、b的关系是解题的关键. 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】如图，将C点的纵坐标带入抛物线的解析式，即可得出的距离，再加上的距离即可得出答案． 【详解】解：如图，把C点纵坐标代入中得： （舍去负值）， 即， 所以． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会利用二次函数的解析式求点的坐标是解题的关键． 【3题答案】 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：如图，建立平面直角坐标系， 设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为： 当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米． 【4题答案】 【答案】能 【解析】 【分析】首先建立直角坐标系，顶点，起点，设抛物线的解析式为，求出的值．再代入的值后易求出的值． 【详解】解：如图，建立直角坐标系， 球飞行的路线为抛物线，顶点，起点， 设抛物线的解析式为， ∴， ； ∴抛物线的解析式为， 当时，， 故该球员能射中球门． 【5题答案】 【答案】5m 【解析】 【分析】解决抛物线的问题，需要合理地建立平面直角坐标系，用二次函数的性质解答，建立直角坐标系的方法有多种，大体是以抛物线对称轴为y轴（包括顶点在原点），抛物线经过原点等等． 【详解】解：如图建立平面直角坐标系 设抛物线解析式为. 由题意知B、C两点坐标分别为， 把B、C两点坐标代入抛物线解析式得 ， 解得． ∴抛物线的解析式为． ∴该大门的高h为5m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，建立适当的直角坐标系，根据题目所给数据求点的坐标，再求抛物线解析式，从而解答题目的问题． 易错点 “飞机停下来”不是，而是y取最大值 【6题答案】 【答案】600 【解析】 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 02 能力提升 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用待定系数法求得抛物线的解析式，则可知点的横坐标，从而可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可得，，， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， 可得. 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【9题答案】 【答案】（1） （2）方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【小问1详解】 解：∵，，为抛物线的顶点， ∴， ∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； 【小问2详解】 解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 03 思维拓展 【10题答案】 【答案】（1）的最高点坐标为，，； （2）符合条件的n的整数值为4和5． 【解析】 【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值； （2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴的最高点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为，令，则； 【小问2详解】 解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴点A的坐标范围为， 当经过时，， 解得； 当经过时，， 解得； ∴ ∴符合条件的n的整数值为4和5． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $