精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2026-2027学年高一上学期9月月考数学试题

高一数学9月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据坐标轴上的点特征判断选项. 【详解】直角坐标系中，轴上所有点的坐标满足，轴上所有点的坐标满足，原点同时属于两条坐标轴， 因此坐标轴上的点等价于满足“或”的点， 由实数乘法性质，的充要条件为或， 因此坐标轴上的点的集合可表示为，其余选项逐一排除； 选项A：集合中不含原点，原点属于坐标轴上的点，A错误； 选项B：“不同时为0”等价于，不含原点，B错误； 选项C：仅表示y轴上除原点外的点，遗漏x轴上的所有点和原点，C错误. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据属于关系、相等关系及包含关系的定义判断可得. 【详解】选项A：空集的定义是不含任何元素的集合，因此，该关系错误； 选项B：是包含元素的非空集合，和不含任何元素的空集不可能相等，该关系错误； 选项C：是以空集作为唯一元素的集合，和元素为数字的集合元素完全不同，不可能相等，该关系错误； 选项D：因为规定：“空集是任意集合的子集”，因此，该关系正确. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合，又，所以. 4. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合的基本运算即可解决. 【详解】由，可知 . 5. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 6. 如图中阴影部分所表示的集合是（　　） A. B. （A∪B）∪（B∪C） C. （A∪C）∩（∁UB） D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果. 【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为： 集合与在集合中的补集的交集. 故可表示为：. 故选：A. 7. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的范围，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题，则，恒成立. 令，则函数在上单调递增， 所以在当时，取得最大值4，可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：C 8. 已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐一代入检验，验证是否存在即可. 【详解】令，解得，，，A正确； 令，解得，，，B正确； ，，故C正确； 令，解得，，，D错误. 故选：ABC. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】对A：因为，但或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“，”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 11. 设S为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（ ） A. 集合为封闭集 B. 若S为封闭集，则一定有 C. 封闭集一定是无限集 D. 若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据集合定义依次判断AB正确，取满足条件为封闭集，排除C，取，，排除D，得到答案. 【详解】设，，均为整数， 则，， ，故集合为封闭集，A正确； S为封闭集，取，则，B正确； 取满足条件为封闭集，C错误； 取，，满足，，故不是封闭集，D错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】或 【解析】 【分析】设方程的两个不相等的实数根为，由题得，解不等式即得解. 【详解】设方程的两个不相等的实数根为， 由题得或. 由题得. 综合得或. 故答案为：或 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由新定义可知，或，根据集合的元素个数，讨论方程解的情况，即可求解． 【详解】因为， 又方程有两个不同的实数根，所以， 若，则或. 当时，方程只有实数根0， 所以且，得； 当时，方程有3个实数根， 时，方程有2个不等的实数根，分别为和， 0不是方程的实数根， 若是方程的实数根，则， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若，的实数根分别为0，和， 即，满足条件， 若不是方程的实数根， 所以方程有2个相等的实数根，即，得， 当时，，满足条件， 当时，，满足条件， 所以， 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集,集合,集合为小于6的质数. （1）求; （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求出集合A,B再求并集即可 （2）求出A的补集再与集合B求交集即可 【小问1详解】 由得或 所以 又,所以 【小问2详解】 ,所以 所以 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）﹣2；（2）{x|﹣＜x＜1}． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意可知，1，是方程ax2+3x﹣1=0的两根，通过韦达定理可求出a的值；（2）将（1）中的a代入不等式ax2﹣3x+a2+1＞0，解这个一元二次不等式即可；（注意二次项系数小于0要变形求解） 试题解析： （1）依题意，可知方程ax2+3x﹣1=0的两个实数根为和1， ∴+1=﹣且×1=，解得a=﹣2， ∴a的值为﹣2； （2）由（1）可知，不等式为﹣2x2﹣3x+5＞，即2x2+3x﹣5＜0， ∵方程2x2+3x﹣5=0的两根为x1=1，x2=﹣， ∴不等式ax2﹣3x+a2+1＞0的解集为{x|﹣＜x＜1}． 考点：1.一元二次方程中韦达定理应用；2.一元二次不等式求解集． 17. 集合，． （1）若，，求实数的值； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 【答案】（1）， （2） （3）因为是三角形的三边，所以，，， 由结论①可得， ， ， 由结论②可得，又， 所以， 故. 【解析】 【分析】（1）由条件可得，列关系式，求， （2）由条件结合必要条件的定义可得，列不等式求的取值范围， （3）由三角形性质可得，，，结合结论①证明， ，，再利用结论②完成证明. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以， 【小问2详解】 因为是的必要条件， 所以，又，， 所以，， 所以， 所以的取值范围为， 【小问3详解】 略 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）若，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时，不等式解集为：；当时，不等式解集为：或；当时，不等式解集为：或. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得的值，再求解二次不等式可得的值； （2）将二次不等式因式分解，对的情况分类讨论解不等式即可. 【小问1详解】 因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得：， 则原不等式为：， 即， 所以不等式的解集为， 从而得出， 所以. 【小问2详解】 由不等式得：， 因为，所以不等式变形得到：， 所以对应方程的根为：或， ①当时，即，不等式为， 此时不等式解集为：； ②当时，即， 此时不等式解集为：或； ③当时，即， 此时不等式解集为：或； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：或； 当时，不等式解集为：或. 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 【答案】（1）“上位点”为，“下位点”为 （2）是，证明如下： 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； （3）4051 【解析】 【分析】（1）根据上位点和下位点的定义，找出满足条件的坐标即可. （2）要判断点与点和点的上下位关系，需要根据定义分别计算相应的比值并比较大小. （3）根据条件找到满足要求的最小正整数，需要通过上下位关系列出不等式求解. 【小问1详解】 由， 根据题意的定义可得点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标分别为和． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意对任意，都成立， 所以，所以，即 即总存在正整数，使不等式成立， 则对任意，都成立， 所以，即对任意，为正整数恒成立， 所以，所以 所以正整数的最小值为4051. 【点睛】关键点点睛：理解并运用“上位点”和“下位点”的定义是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学9月考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图中阴影部分所表示的集合是（　　） A. B. （A∪B）∪（B∪C） C. （A∪C）∩（∁UB） D. 7. 命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 设S为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（ ） A. 集合为封闭集 B. 若S为封闭集，则一定有 C. 封闭集一定是无限集 D. 若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 集合的真子集的个数是__________． 13. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，且两个根均大于0，则实数的取值范围为______. 14. 用表示非空集合A中的元素的个数，定义，若，，若，则a的所有可能取值构成集合M，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知全集,集合,集合为小于6的质数. （1）求; （2）求. 16. 若关于x的不等式的解集是 （1）求a的值； （2）求不等式的解集． 17. 集合，． （1）若，，求实数的值； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围． （3）阅读材料： ①若，且，则有； ②若，则有． 请依据以上材料解答问题：已知是三角形的三边，求证： 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集是，求的值． （2）若，求关于的不等式的解集． 19. 对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点（是点的“上位点”同时点是点的“下位点”； （1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； （2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； （3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $