精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合的元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 3. 若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 采用分离参数将问题转化为“对一切恒成立”，再利用基本不等式求解出的最小值，由此求解出的取值范围. 【详解】因为不等式对于一切恒成立， 所以对一切恒成立， 所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以，所以的最小值为， 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值，涉及不等式在给定区间上的恒成立问题，难度一般.不等式在给定区间上恒成立求解参数范围的两种方法：参变分离法、分类讨论法. 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解. 【详解】，， ， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 故选：A 6. 如图中阴影部分所表示的集合是（　　） A. B. （A∪B）∪（B∪C） C. （A∪C）∩（∁UB） D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦恩图的意义，结合集合交并补运算的表示，即可容易求得结果. 【详解】根据韦恩图的意义，阴影部分表示的集合为： 集合与在集合中的补集的交集. 故可表示为：. 故选：A. 7. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 8. 已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，利用数量关系研究其周期性，可得答案. 【详解】由题意可得，，， ，则， . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐一代入检验，验证是否存在即可. 【详解】令，解得，，，A正确； 令，解得，，，B正确； ，，故C正确； 令，解得，，，D错误. 故选：ABC. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 【答案】AD 【解析】 【分析】根据充分、必要条件和命题的真假依次判断即可. 【详解】对A：因为，但或，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对B：当时，满足，但此时不成立，所以命题“若，则”的是假命题，故B错误； 对C：当“且”时，“”成立；但当“”时，比如“，”，此时“且”不成立.所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错误； 对D：当“但”时，可得“”；当“”时，可得“且”.所以“”是“”的必要不充分条件.故D正确. 故选：AD 11. 设S为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（ ） A. 集合为封闭集 B. 若S为封闭集，则一定有 C. 封闭集一定是无限集 D. 若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集 【答案】AB 【解析】 【分析】 根据集合定义依次判断AB正确，取满足条件为封闭集，排除C，取，，排除D，得到答案. 【详解】设，，均为整数， 则，， ，故集合为封闭集，A正确； S为封闭集，取，则，B正确； 取满足条件为封闭集，C错误； 取，，满足，，故不是封闭集，D错误. 故选：AB. 【点睛】本题考查了集合的新定义问题，意在考查学生的理解能力和应用能力，取特殊值排除是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 13. 已知，求的取值范围______________. 【答案】 【解析】 【分析】先将表示成关于与的表达式，再利用不等式的性质即可求得答案. 【详解】设，则， 解得，则， 因， 则， 故， 即的取值范围为. 故答案为：. 14. 设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】{或} 【解析】 【分析】方法一，分类讨论化简集合A，由确定实数的取值范围；方法二，考虑的反面，利用补集思想求解. 【详解】因为， 所以当时，；当时，. 因为，所以. 方法一 ， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或. 即实数的取值范围为或. 方法二 ，考虑的反面， 显然时符合； 当时，需满足且，即且.综上得. 由补集思想得当时，或，即实数的取值范围为或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知集合． （1）若，求集合； （2）设，若，求实数a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到且，列出方程组，求得的值，得到集合，结合集合交集和并集的运算，即可求解； （2）根据题意，得到，求得的值，验证集合的互异性，进而得到答案. 【小问1详解】 解：由集合， 若，可得且，则，解得， 所以，可得故． 【小问2详解】 解：由集合， 若，则，解得或， 当时，，满足； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去， 综上所述，实数的值为． 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分和两种情况进行讨论即可； （3）由可得，即，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵，∴，解得． 【小问2详解】 ． 由， 若，即，满足题设， 若，即，则或， 将代入可得（不成立，舍去），或， 综上，或． 【小问3详解】 由，且，则，即， 当时，无实数根，即，解得； 当时，有两相等实数根，，则，符合题意； 当时，有两相等实数根，，则， 此时为，则，不合题意； 当时，有两实数根0和4， 此时且，解得且，则； 故综合上述，的取值范围为或． 17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1）用、表示文字宣传区域面积和； （2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）长和宽分别为时，面积取得最大值. 【解析】 【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得. （2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. 【小问2详解】 依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 18. 已知实数a，b，c满足． （1）证明：“”是“”的充要条件； （2）若且，证明：． 【答案】（1）充分性：因为，所以，即“”是“”的充分条件； 必要性：因为，且，所以有， 即“”是“”的必要条件； （2）由且，，得， 所以有， 当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号， 由. 【解析】 【分析】（1）根据充分性、必要性的定义进行证明即可； （2）根据不等式的性质，结合基本不等式进行证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知集合及非空集合． （1）若，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，，时满足题意；，时满足题意；，满足题意 【解析】 【分析】（1）由，且C为非空集合可得只有一个根为，列方程组即可求得答案； （2）由于，所以且，分和两种情况进行讨论即可求得答案. 【小问1详解】 因为，且C为非空集合，所以， 即，则只有一个根为， 所以，解得； 【小问2详解】 由题意得， 由于，所以且， 1）当时，，所以只需要满足集合C非空且即可， 则满足恒成立即，且即的值不等于0， ； 2）当时，，若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为-3， 将代入得，即满足题意； 若，则， 此时只需要满足集合C只有一个根为或一个根为，另一个根不为1， 将代入得， 令，解得或， 即满足题意； 综上：，时满足题意；，时满足题意；，满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（ ） A. 0 B. C. D. 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6. 如图中阴影部分所表示的集合是（　　） A. B. （A∪B）∪（B∪C） C. （A∪C）∩（∁UB） D. 7. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 8. 已知非空数集满足：任意的，则，若集合中含有4个元素，则这四个元素之积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”的必要不充分条件是“” B. 命题“若，则”的是真命题 C. 设，则“且”是“”的必要不充分条件 D. 设，则“”是“”的必要不充分条件 11. 设S为实数集的非空子集.若对任意，都有，，，则称S为封闭集.下列命题是真命题的是（ ） A. 集合为封闭集 B. 若S为封闭集，则一定有 C. 封闭集一定是无限集 D. 若S为封闭集，则满足的任意集合T也是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 13. 已知，求的取值范围______________. 14. 设已知集合，，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚. 15. 已知集合． （1）若，求集合； （2）设，若，求实数a的值． 16. 已知集合． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求m的值； （3）求实数的值使得． 17. 某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， （1）用、表示文字宣传区域面积和； （2）如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 18. 已知实数a，b，c满足． （1）证明：“”是“”的充要条件； （2）若且，证明：． 19. 已知集合及非空集合． （1）若，求a，b的值； （2）是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $