第6章 专题20《角与角平分线》同步演练 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

专题20　角与角平分线 　考点加油站　 具有公共端点的两条射线所组成的图形称为角，实际上角是由两个不同方向的射线所产生的几何图形，也可以用运动的眼光来理解它，即一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.角是几何学的基本图形之一. 解与角有关的问题，要重视主要概念，如：对顶角、邻补角、垂直、角平分线等，也要注意方程思想、分类思想等思想方法在解题中的应用. 　典例展示厅　 类型一　角的实际问题 例1　如图，已知点 在点 的东北方向，点 在点 的正南方向， 平分 ，则点 在点 的（　） A．南偏东 方向上　　　B．南偏东 方向上　　　C．南偏东 方向上　　　D．南偏东 方向上 点拨　先求出 的度数，再由角平分线的定义得到 的大小，据此可得答案. 变式1　 时 分，时钟的分针与时针所成角的度数是＿＿＿. 归纳总结 在角的计算问题中需要注意角的度量单位度、分、秒之间是 进制.方位角问题需要注意方向的表述.时钟问题在不是整点时注意不要漏算时针的度数. 类型二　相交线 例2　如图，点 在直线 上， 与 互补，. (1) 若 ，，求 的度数； (2) 若 ，求 的值； (3) 若 ，设 ，求 的度数（用含 的代数式表示）. 点拨　(1) 先算出 的度数，再算出 和 的度数，由 ，即可算出 的度数，再根据 代入计算；(2) 设 ，根据垂线的性质，可得 ，即可算出 的度数，由 ，代入计算即可算出 的值；(3) 先用 表示出 的大小，再根据 代入计算. 变式2　(1) 如图，已知 ，， 分别平分 与 ，则 ＿＿＿； (2) 若 .将 绕点 旋转，使得射线 与射线 的夹角为 ， 平分 ，，，则 ＿＿＿（用含 的代数式表示）. 归纳总结 相交线问题中角的重要数量关系：(1) 对顶角相等、邻补角互补；(2) 垂直两线形成 角；(3) 角平分线将一个角分成相等的两个角. 类型三　角的计数问题 例3　如图，已知 为 内三条射线. (1) 图中共有多少个角？ (2) 若 为 的四等分线，且图中所有角的和为 ，则 是多少度？ (3) 若 ，，求图中所有锐角的和. 点拨　(1) 根据每两条有公共端点的射线就可以组成一个角就可找出图中所有的角.(2) 将图中所有的角相加，根据角的四等分线的性质可得出 ，即可求得 的值，即可解题.(3) 将图中所有的锐角相加，即可求得所有锐角的和 ，化简后即可解题. 变式3　如图，射线 为锐角 的三等分线，若图中所有锐角度数之和为 ，则 的度数为＿＿＿. 归纳总结 角的计数问题要做到不重不漏，由于任意有公共端点的两条射线都能组成一个角，所以 条有公共端点的射线就能组成 个角. 类型四　角平分线的运用 例4　如图， 是 内的两条射线， 和 分别是 和 内的一条射线，且 ，. (1) 当 ， 时，试用含 和 的代数式表示 . (2) ①当 ， 时， 等于多少？（用含 和 的代数式表示） ②当 ， 时， 等于多少？（用含 和 的代数式表示） (3) 根据上面的结果，请填空：当 ， 时， ＿＿＿.（ 是正整数）（用含 和 的代数式表示） 点拨　(1) 根据 ，等量代换即可表示出 的大小.(2) ①当 ， 时，等量代换即可表示出 的大小.②当 ， 时，等量代换即可表示出 的大小.(3) 当 ， 时，等量代换即可表示出 的大小. 归纳总结 在解决与角的大小有关的计算时，一方面要认真研究图形，找出图形中角之间的数量关系，另一方面要注意角的度量单位之间的换算. 　强基直通车　 例5　如图， 是一个平角，且 ，求 的度数. 点拨　设 ，则 ，，，，依据平角的定义列出方程，即可得到 的度数，进而得出结论. 归纳总结 对于看似比较复杂的几何问题，解题时还要注意回归到几何概念中，一方面要注意概念的图化，即用图形来反映出概念，做到图意相通；另一方面要注意图文互译，由图形说出概念，由概念的文字叙述画出图形，做到会说、会写、会画. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　如图，， 是 的平分线， 是 的平分线，设 ，则与 的余角相等的角是（　） A．　　B．　　C．　　D． 2　★★　如图，，， 在一条直线上，，若 ，则图中互余的角共有（　） A． 对　　B． 对　　C． 对　　D． 对 3　★★★　（呼和浩特中考）把一张长方形纸条按图中那样折叠后，若得到 ，则 ＿＿＿. 4　★★　如图， 是钝角，，， 是三条射线，若 ， 平分 ， 平分 ，那么 的度数是＿＿＿. 5　★★★★★　已知 为直线 上的一点，. (1) 如图①，当射线 ，射线 在直线 的两侧时，请回答问题并说明理由. ① 和 相等吗？ ② 和 有什么数量关系？ (2) 如图②，当射线 ，射线 在直线 的同侧时，请直接回答下列问题. ① 和 相等吗？ ②(1) 中的 和 的数量关系还成立吗？ ▍竞赛集训（针对强基自招） 6　★★★★　 都是钝角，甲、乙、丙、丁四位同学计算 的结果依次为 ，，，，其中有正确的结果，那么算得结果正确者是（　） A．甲　　B．乙　　C．丙　　D．丁 7　★★★★★　将一张正方形纸片 按如图的方式折叠，， 为折痕，点 ， 折叠后的对应点分别为 ，，若 ，则 的度数为（　） A．　　B．　　C．　　D． 8　★★★★★　如图，在 的内部有 条射线 ，，，若 ，，，则 ＿＿＿（用含 的代数式表示）. 9　★★★★★　（广东竞赛）如图是一个 网格，试求 的度数. 10　★★★★★　知识的迁移与应用 问题一：甲、乙两车分别从相距 km 的 ， 两地出发，甲车速度为 km/h，乙车速度为 km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前，甲车在后），出发多久后两车相距 km？ 问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上， 表示时针， 表示分针（ 为两针的旋转中心）.下午 点时， 与 成直角. (1) 时，时针与分针所成的角度为＿＿＿. (2) 分针每分钟转过的角度为＿＿＿，时针每分钟转过的角度为＿＿＿. (3) 在下午 点至 点之间，从下午 点开始，经过多少分钟，时针与分针成 角？ 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　D　解析：由题意，得 ， 平分 ，， 点 在点 的南偏东 方向上，即南偏东 方向上，故选 D. 易错提醒 度、分、秒为 进制，因此 是 而不是 . 变式1　　解析：如图， 时 分，分针距离数字 差 小格，也就是距离数字 的度数为 ，而时针超过数字 的度数为 ，数字 与 之间相差 ，因此时针与分针的夹角为 . 例2　(1) ，，，，.，，，. (2) 设 ，，，，，.，，.，，. (3) ，，，，.，，，. 变式2　(1) 　解析：设 ， 平分 ，. 平分 ，，，. (2) 　解析：如图①，，，. 平分 ，，； 如图②，，，. 平分 ，，.综上所述， 的度数为 . 例3　(1) 图中的角有 ，，，，，，，，，， 图中共有 个角. (2) 图中所有角的和 ，.. (3) 图中所有锐角的和 . 变式3　　解析： 为锐角 的三等分线，.设 ，，，. 例4　(1) ，，，则 . (2) ①当 ， 时，，. ②当 ， 时，，. (3) 　解析：当 ， 时，，.故答案为 . 强基直通车 例5　由题可得，平角 被分成 个小角.设 ，则 ，，，.，解得 ，. 学霸训练营 中考冲刺 1　B　解析：，，，，得 ，. 2　B　解析：，，，，.，，，，即题图中互余的角共有 对.故选 B. 3　　解析：由折叠的性质可得 ，，，. 4　　解析：设 ，则 ，.因为 ，所以 .因此，. 5　(1) ①.理由如下：，，即 . ②.理由如下：，，.. (2) ①.理由如下：，. ②仍成立.理由如下：，.. (1) 中的 和 的数量关系仍成立. 竞赛集训 6　A　解析： 都是钝角，，，， 在此范围内，故选 A. 7　D　解析：设 ，.根据折叠可知 ，.，，. 四边形 是正方形，.... 的度数为 . 8　　解析：设 .，..，. 9　观察图形可知 ，，，，. 技法点拨 有的题目的角很难单独求出，但是把它们进行倍数、加减等操作后会得到容易计算的角，这种方法称为整体思想. 10　问题一：设 h 后两车相距 km.若相遇前，则 ，解得 ；若相遇后，则 ，解得 .答：出发 小时或 小时后两车相距 km. 问题二：(1) 　解析：. (2) 　　解析：分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 . (3) 设在下午 点至 点之间，从下午 点开始，经过 min，时针与分针成 角.①分针与时针相遇前，由题意，得 ，解得 ；②分针与时针相遇后，由题意，得 ，解得 . 在下午 点至 点之间，从下午 点开始，经过 min 或 min，时针与分针成 角. 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $