第5章专题14《含绝对值的方程》同步演练 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

专题14　含绝对值的方程 　考点加油站　 有些方程中含有绝对值符号，且绝对值符号内有未知数.这种未知数在绝对值内的方程，需要转化为我们能解的方程来求解. 求解含有绝对值的方程的基本思想是分类讨论，按照绝对值号内部的式子和 的大小关系进行分类讨论，得到多个不含绝对值的方程进行求解.求解后需要检验所得的解是否在该种情况的范围以内，如果不在分类讨论的范围内，则需要舍弃. 含有绝对值的方程也可以通过绝对值的几何意义来求解. 　典例展示厅　 类型一　基本一次绝对值方程 例1　有些含绝对值的方程，可以通过分类讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解.例如：解方程：. 解：当 时，方程可化为 ，解得 ，符合题意；当 时，方程可化为 ，解得 ，符合题意.所以，原方程的解为 或 . 请根据上述解法，完成以下问题：解方程：. 点拨　按 ， 分类讨论，根据绝对值的意义化简绝对值解方程. 变式1　 的解的个数为（　） A． 个　　　　B． 个　　　　C． 个　　　　D．无数个 归纳总结　方程 |ax+b|=cx+d（a>0）的解的个数 解这个方程，分 和 来讨论. （1）若 ，则方程化为 . ①若 ，解得 ；这个解要求 ，也就是当 时 ；当 时 . ②若 ，则当 时，方程有无数个解； 时，这种情况无解. （2）若 ，则方程化为 . ①若 ，解得 .这个解要求 ，也就是当 时 ；当 时 . ②若 ，则当 时，方程有无数个解； 时，这种情况无解. 综上所述，方程 （）的解的情况为： （1）2 个解的情况：，. （2）1 个解的情况：①，；②；③；④，；⑤，. （3）无解的情况：①，；②，；③，. （4）无数个解的情况：①，；②，. 类型二　含多个绝对值的方程 例2　（"枫叶新希望杯"竞赛）解方程：. 点拨　分 ，， 三种情况去绝对值，解一元一次方程. 变式2　符合 的整数 的值有（　） A． 个　　　　B． 个　　　　C． 个　　　　D． 个 归纳总结 两个及以上绝对值符号内有未知数的方程，若确定某一个 的取值范围后化简绝对值时，方程中的未知数全部被消去，则这一个取值范围内的 要么全部都是解，要么全部都不是解.如果这个范围是有限长的，那么这个范围内的整数解就是有限多个. 类型三　多重嵌套的绝对值方程 例3　解方程 . 点拨　根据每层绝对值内的式子的正负，层层去掉绝对值符号并舍弃不可能的情形，分类讨论. 变式3　解关于 的方程：. 归纳总结 （1）含有多重嵌套的绝对值方程，每去掉一层绝对值符号都需要分类讨论；（2）带有参数的含绝对值的方程尤其需要注意参数的取值会影响某个解是否需要舍去. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　方程 的解是（　） A．　　　　 B． C． 或 　　　　D． 或 2　★★　已知 是方程 的解，则 的值为（　） A． 或 　　　　 B． 或 C． 或 　　　　 D． 或 3　★★★　（"枫叶新希望杯"竞赛）方程 的所有解的和为＿＿＿. 4　★★　（"华罗庚金杯"少年数学邀请赛）若关于 的方程 只有负数解，则 的取值范围是＿＿＿. 5　★★★　如图，若点 ， 在数轴上分别表示有理数 ，，， 两点之间的距离表示 ，则 ，所以式子 的几何意义是数轴上表示有理数 的点与表示有理数 的点之间的距离.根据上述材料，解答下列问题： （1）若 ，则 ＿＿＿； （2）式子 的最小值为＿＿＿； （3）请说出 所表示的几何意义，并求出 的值； （4）当式子 取得最小值时，有理数 的值为＿＿＿. ▍竞赛集训（针对强基自招） 6　★★　若方程 无解，方程 有一个解，方程 有两个解，则（　） A．　　　　B． C．　　　　D． 7　★★★　（"希望杯"邀请赛）若 ，且 的值为整数，则满足条件的 的个数为（　） A．　　　　B． C．　　　　D． 8　★★★　已知关于 的方程 有三个解，则 ＿＿＿. 9　★★★★　结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示 和 的两点之间的距离是＿＿＿；一般地，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于＿＿＿. （2）如果 ，那么 ＿＿＿. （3）找出所有符合条件的 ，使 ，则 ＿＿＿. （4）已知 ，求 的最大值和最小值. 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　当 时，方程可化为 ，解得 ，符合题意；当 时，方程可化为 ，解得 ，符合题意.所以原方程的解为 或 . 变式1　B　解析： 时，，解得 ，满足要求； 时，，解得 ，不满足要求，故原方程有一个解，故选 B. 例2　①当 时，有 ，解得 ；②当 时，有 ，无解；③当 时，有 ，解得 .所以方程的解为 或 . 变式2　C　解析：.该方程表示 到 和 的距离的和为 ，，， 整数 的值有 ，，，，共 个，故选 C. 例3　根据绝对值的定义，由 得 ，即 或 （无解）；根据绝对值的定义，由 ，得 ，即 或 （无解）；根据绝对值的定义，由 得 .所以原方程的解为 或 . 变式3　，.①当 时，，若 ，即 时，，即 ；若 ，即 时，方程无解.②当 时，，若 ，即 时，，即 ；若 ，即 时，方程无解.综上所述，当 时，原方程的解为 或 ；当 时，原方程的解为 ；当 时，原方程无解. 学霸训练营 1　C　解析：当 ，即 时，，；当 ，即 时，，， 或 .故选 C. 2　C　解析：将 代入方程，得 ，，解得 或 .故选 C. 3　　解析：， 或 ，解得 或 ， 所有解的和为 . 4　　解析：当 时，，得 ；当 时，，得 .故要保证原方程只有负数解， 的取值范围是 . 5　(1)　解析：根据绝对值的几何意义可知，表示数 的点到 和 的距离相等，由数轴可知，到 和 距离相等的点表示的数是 ，. (2)　解析：根据绝对值的几何意义可知， 表示 到 和 的距离之和， 当 在 和 之间时，距离之和最小，为 到 的距离，即 . (3) 表示 到 和 的距离之和为 ， 或 ，当 时，，解得 ；当 时，，解得 . 的值为 或 . (4)　解析：式子 表示 到 ，， 的距离之和，由数轴可知，当 是 时，距离之和最小，为 到 的距离，故答案为 . 6　A　解析：，. 无解，；同理，方程 有一个解，即 ；同理，方程 有两个解，，，故选 A. 7　B　解析：因为 的值为整数，所以 必须是整数，于是 .当 时， 最大值为 ；当 时， 最小值为 .对于从 到 之间的所有整数， 都能取得，共有 个. 8　　解析：根据题意得 ，，，，，所以 或 或 或 ，则有两个相等，显然 ， 不成立，若 ，解得 ，舍去；若 ，解得 ， 或 ，舍去；若 ，解得 ， 或 ，舍去；若 ，解得 ， 或 或 ，符合题意，故答案为 . 9　(1)，　解析：数轴上表示 和 的两点之间的距离是 ，数轴上表示数 和数 的两点之间的距离等于 . (2) 或 　解析：， 或 ，解得 或 . (3) 或 　解析： 表示数轴上有理数 所对应的点到 和 所对应的点的距离之和，当 时，，，当 时，，解得 ；当 时，，解得 ， 的值为 或 . (4)当 时， 的最小值为 ，当 时， 的最小值为 ，当 时， 的最小值为 ，，，，（否则上式的乘积大于 ）.当 ，， 时， 有最大值 ，当 ，， 时， 有最小值 . 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $