江苏省运河中学2026-2027学年高二上学期10月数学月考模拟一

2026年10月运河中学月考模拟一 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若经过点的直线在轴上的截距之比为，则与两坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．已知圆和两点，，若圆C上至少存在一点P，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知直线，当实数变化时，恒过点（    ） A． B． C． D． 4．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 5．直线在y轴上的截距为-3，则q=(　　) A．3 B．-3 C． D． 6．已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．使得“直线与直线垂直”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 8．在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下面三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．4 10．已知点到直线的距离相等，则斜率的值可以是（    ） A． B．2 C．0 D． 11．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知圆与圆的公共弦长为，则圆的方程为______． 13．已知复数z满足，则的最小值为______． 14．直线与圆相交于两点，若弦的中点为，则 （1）的取值范围是________； （2）直线的方程为________． 四、解答题 15．求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程． 16．已知点到两个定点、的距离之比为，问：点的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点所构成的曲线． 17．已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 18．一个小岛（点的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内，轮船在小岛正东方的点处．以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，取为单位长度．    (1)若轮船沿北偏西的航向直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由； (2)若直线过点，且其倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的一般式方程，并求暗礁边界上动点到直线的距离的最小值． 试卷第2页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年10月6日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B C A D C D ACD AC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】根据题意，设的方程为，将点代入方程，求得，得到直线在坐标轴上的截距，进而求得三角形的面积. 【详解】由题意知，直线不过原点，设的方程为， 把点代入方程，可得，即，解得， 所以在轴上的截距分别为和， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积为. 故选：C. 2．B 【分析】由题意，圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，从而求得实数a的取值范围. 【详解】圆C：的圆心，半径， ∵圆C上至少存在一点P，使得， ∴圆：与圆O：位置关系为相交，内切或内含，如图所示， 又圆O：的圆心，半径， 则，即，∴． 故选：B．    3．B 【分析】将直线的方程变形为，解方程组可得出直线所过定点的坐标. 【详解】直线的方程可化为，由，解得， 因此，直线恒过定点. 故选：B. 4．C 【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程. 【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和， 所以圆心为，直径为， 所以圆的标准方程是. 故选：C. 5．A 【分析】将直线方程化成截距式，即可解出． 【详解】直线化为截距式方程为，由题意知，，所以． 故选：A． 6．D 【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离. 【详解】由题意知，直线：恒过定点， 直线：恒过定点，如图所示， 过作的垂线段，垂足为， 那么必有，当且仅当与重合时取等号， 从而的最大值为， 即点到直线：距离的最大值是. 故选：D.    7．C 【分析】求得直线与直线垂直时，的值，由此确定充分不必要条件. 【详解】直线与直线垂直时，， ，解得或. 所以使得“直线与直线垂直”的充分不必要条件是C选项. 故选：C 8．D 【分析】设点，由可得点的轨迹，进而可得面积. 【详解】设点，则， 化简整理得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所求图形的面积为， 故选：D． 9．ACD 【分析】由题意，利用分类讨论思想，分为三线交于一点和至少有两条直线平行两种情况，分别剪力方程，可得答案. 【详解】当三条直线交于一点时，由，解得直线和直线的交点的坐标， 由点在直线上可得，解得或，故AC正确； 至少有两条直线平行或重合时，即，，中至少有两条直线的斜率相等， 当时，；当时，；若，则需有，不可能，故D正确. 故选：ACD. 10．AC 【分析】解法1：利用点到直线距离公式得到方程，求出斜率的值； 解法2：分直线与平行和直线经过的中点两种情况，求出答案. 【详解】解法1：点到的距离相等，即， 解得或； 解法2：直线过定点，线段的斜率为， 直线与平行时，点到直线的距离相等，此时； 直线经过的中点时，点到直线的距离相等， 此时， 综上，或. 故选：AC. 11．AC 【分析】根据三角形为等腰直角三角形列方程组，即可求解. 【详解】设，由题意可得 ，可化为， 解得:或，即或． 故选：AC 12． 【分析】两圆方程相减可得公共弦方程，根据弦长结合垂径定理解得，即可得方程. 【详解】由题意可得：圆，且圆心，半径为， 因为公共弦长为，则圆心到公共弦的距离为， 圆与圆两圆方程相减可得，， 即公共弦方程为， 则圆心到公共弦的距离为，解得（正值舍去）， 所以圆的方程为． 故答案为：. 13． 【分析】根据条件确定出的轨迹，把问题转化为圆上的点到点距离的最值问题． 【详解】解：设，，， 因为， 所以． 因为， 所以相当于圆上的点到点距离， 所以的最小值为圆到点的距离与圆的半径的差， 即， 故答案为：． 14． 【分析】由点在圆内列不等式解的范围，求出圆心坐标，求得直线斜率，利用两直线垂直求得直线的坐标，再利用点斜式求得直线的方程即可. 【详解】（1）依题意得，点在圆内，所以，解得， （2）将圆的一般方程化为标准方程可得， 所以圆心为， 由圆的性质可知与的连线与弦垂直， 所以，解得， 所以直线的方程为，整理得， 故答案为：， 15． 【详解】试题分析：设出圆的标准方程，根据圆心在直线上可得，利用两点间的距离公式表示出圆心到切点的距离即为圆的半径，且根据圆与直线相切，根据圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出圆心坐标，进而求出圆的半径，根据圆心和半径写出圆的标准方程即可. 试题解析：设圆的方程为，圆心，∵，∴圆心，切点，半径，又到直线的距离，解得．∴，，，∴圆的方程为． 点睛：本题主要考查了圆的方程的求法，本题利用的是待定系数法：（1）若已知条件与圆心和半径有关的条件，则设圆的标准方程，根据已知条件列出关于的方程组，解出即可；（2）若已知条件没有与圆心和半径有关条件，根据已知条件列出关于的方程组. 16．点的坐标应满足，作图见解析. 【分析】求出点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆，确定该圆的圆心与半径，即可作出图形. 【详解】解：由题意可得，化简可得， 所以，点的坐标应满足， 故点的轨迹是以点，半径为的圆，如下图所示： 17．(1) 证明：∵， ∴直线过定点. (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【详解】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 18．(1)轮船没有触礁风险，理由：由题意可知，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为：． 轮船航线所在直线过点，所在直线的倾斜角为，斜率为，直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． (2)； 【分析】（1）由点到直线的距离求得小岛中心为原点与轮船航线的距离，从而判断直线与圆的位置关系，得到轮船航线是否穿过暗礁区域； （2）由题意可求出得到直线方程，由圆心到直线距离判断直线与圆的位置关系，从而知道最短距离为圆心到直线距离减去半径. 【详解】（1）略 （2）记直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则， 直线的方程为：，其一般式方程为：． 易知原点到直线的距离为， 直线与圆相离， 圆上动点到直线的距离的最小值为：． 答案第8页（共8页） 答案第7页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $