精品解析：江苏省扬州市扬州大学附属中学东部分校2026-2027学年高二上学期第一次教、学、评学科练习数学试题

扬大附中东部分校 2026-2027 学年第一学期第一次教、学、评学科练习 高二年级数学学科 （时间：120分钟 满分150分） 命题人：张兴国 2026年10月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，因此该直线方程为. 因此该直线的倾斜角为. 2. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】两直线平行条件：， 代入系数：，解得， 代入检验发现当时，，两直线重合，故舍去， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 4. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 5. 若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由圆的方程确定圆心与半径，根据两条半径相等以及已知的圆心角，利用垂径定理算出圆心到弦 AB 的距离，再借助点到直线的距离公式表示原点到已知直线的距离，建立方程求解，即可得到的值. 【详解】∵圆，∴圆心，半径, ， 圆心到直线距离. 又∵，，即：. 6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程确定其所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆相交弦长最小时定点与圆心所在直线与垂直，最后应用几何法求弦长. 【详解】由题设即， 令得，所以直线过定点， 而即， 所以，即定点在圆内，且圆心为，半径为3， 所以定点与圆心的距离， 要使最小，即定点与圆心所在直线与垂直，此时. 故选：D 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由表示出点坐标，代入直线方程得出点的轨迹，根据点到圆上一点距离最小值求法计算即可． 【详解】设，由题可知，则，即， 所以，所以点， 将点的坐标代入，化简得（不同时为0）， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，点在该圆外， 所以的最小值为， 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】选项：先由直线方程得到斜率，结合正弦的值域求出斜率范围，进而得到倾斜角的取值范围；选项：利用一般式下两直线垂直的条件求出参数，判断充分性与必要性；选项 ：先根据两直线平行求出参数 ，统一系数后利用平行线距离公式计算距离判断；选项：把分式理解成两点连线的斜率，求出定点与线段端点连线斜率，结合图像分析斜率取值范围，即可得到正确选项. 【详解】选项A:直线 ，变形：，斜率， ，，又倾斜角 . ① , ② ，A正确； 选项B：直线：，， ∵两直线垂直，，∴， 解得 或 ， 垂直时可取，故只是充分不必要条件，B错误； 选项C：∵ 与 平行， ∴，， ∵，∴平行线间距离：，C错误； 选项D：：点与定点连线的斜率， ∵ ，∴， ∵在线段上移动，结合图形分析： ，D正确. 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据切线长公式、两点间距离公式可判断A，B，C，根据三角形的面积公式可求解D. 【详解】 对于A，圆心C到直线的距离为， 所以，因为圆的半径为， 根据切线长公式可得，当时取等号， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，因为，，，， 所以四边形面积为，故B错误； 对于C，因为，所以， 在直角三角形中，，所以，设， 因为，整理得， 则有，所以满足条件的点有两个，故C正确； 对于D，， 所以当时，即，面积最大值为， 此时四边形为正方形，则满足要求，故D正确. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分类讨论去掉绝对值可得曲线的四段关系式，从而作出曲线的图象，由曲线图象判断各选项即可. 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线和之间的距离是 _____________. 【答案】## 【解析】 【详解】两条直线的斜率分别为​，​，且截距不相等，因此这两条直线是平行直线. 将第一条直线两边同乘，变形为. 所以两直线之间的距离. 13. 曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出曲线表示的半圆，再判断直线是过定点的直线，利用数形结合判断的取值范围. 【详解】直线l过点A（2，4），又曲线的图象是以（0，1）为圆心，2为半径的半圆， 如图，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r， 即，解得. 当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为， 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 故答案为： 14. 设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设的坐标为，由切线的性质得点、在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标. 【详解】因为为直线：上的任一点，所以设， 由于圆的两条切线，，切点分别为，， 所以，， 则点、在以线段为直径的圆上，即线段是圆和圆的公共弦， 则圆心的坐标是，且半径的平方是， 所以圆的方程是， 即 ①，又 ②， ②-①得：， 即公共弦所在的直线方程是， 即， 由，解得， 所以直线AB恒过定点. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解， （2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解. 【小问1详解】 由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2. 又直线经过点，所以直线的方程为：，即； 【小问2详解】 若直线经过原点，设直线方程为， 代入可得， 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，故直线方程为. 综上，直线的方程为和. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）过三点、、的圆； （2）圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【小问1详解】 设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. 【小问2详解】 由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 17. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由已知条件，用待定系数法列方程组解得，得到方程. (2) 求M关于直线的对称点为，过的圆的切线为所求直线. 【小问1详解】 依题意得：，由解得 ∴圆C的方程为 【小问2详解】 设M关于直线的对称点为， 由， 设过与圆C相切的直线为l， 当斜率不存在时，l：x=3，圆心到直线距离d=3-1=r符合条件； 当斜率存在时，设l： 即 圆心到直线的距离 ，解得， 则直线l的方程为： ，即： 所以反射光线所在直线为：或 . 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1）和. （2）或 （3）是定值，定值为． 【解析】 【分析】（1）通过点到直线的距离公式分类讨论. （2）通过弦长计算出圆心到直线的距离后，利用点到直线距离公式求解. （3）设出直线方程，通过联立直线与圆方程，利用韦达定理建立起交点坐标间的定量关系，最后表示出两直线斜率之和. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为2， 若过点垂直于轴的直线，恰与圆相切，符合题意； 设另一条直线的斜率为，其方程为，即， 因为该直线与圆相切，所以圆心到直线的距离为，解得， 则该切线方程为. 综上，过点与圆相切的直线方程为和. 【小问2详解】 因为截得的弦长为且半径，所以圆心到直线的距离为， 由，解得或， 即所求直线为或. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且，解得， 设直线QA，QB的斜率分别为， ， 所以是定值，定值为． 19. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过A作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）设点，根据得到方程，化简可得点的轨迹方程； （2）设点，，由（1）得，根据，用含的式子表达出，代入上式求出点的轨迹的方程； （3）设圆心到直线，的距离分别为，则，表达出，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设点，点满足， 所以可得， 化简可得． 【小问2详解】 设点，，由（1）可知点满足方程：， ，， 即 ，， 代入上式消去可得的轨迹方程为． 【小问3详解】 设圆心到直线，的距离分别为，则， ， ， 当且仅当时，等号成立， 因此，四边形面积的最大值为7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中东部分校 2026-2027 学年第一学期第一次教、学、评学科练习 高二年级数学学科 （时间：120分钟 满分150分） 命题人：张兴国 2026年10月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线， 则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若直线与圆相交于，两点，且（为原点），则的值为（    ） A. B. C. D. 6. 已知直线，圆，直线与圆交于两点，则弦长的最小值为（　　） A. 2 B. C. D. 2 7. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，直线与交于点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是3 D. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是 10. 设圆，直线，为上的动点，过点作圆的两条切线，，切点为，为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ） A. 的取值范围是 B. 四边形面积的最小值为 C. 满足的点有两个 D. 的面积最大值为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（ ） A. 曲线围成的图形有条对称轴 B. 曲线围成的图形的周长是 C. 曲线上的任意两点间的距离不超过 D. 若是曲线上任意一点，的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线和之间的距离是 _____________. 13. 曲线与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是________． 14. 设为直线：上的任一点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则直线恒过定点______. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点和直线. （1）若直线经过点P，且，求直线的方程； （2）若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）过三点、、的圆； （2）圆经过点，，且圆心在直线上 17. 已知圆的圆心在直线上，且截x轴的弦长为2，截y轴的弦长为. （1）求圆C的方程； （2）若一光线从点出发，经直线反射后恰好与圆C相切，求反射光线所在的直线方程. 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点与圆相切的直线方程； （2）求过点且被圆截得的弦长为的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 19. 已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为． （1）求点的轨迹方程； （2）若，求点的轨迹的方程； （3）过A作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $