精品解析：江苏省清江中学2026-2027学年高二上学期第一次阶段测试数学试题

2026-2027学年度高二上学期第一次阶段测试 数学试题 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程表示的图形是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 点 D. 线段 2. 直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 4. 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 直线和直线的位置关系是（ ） A. 相交且垂直 B. 平行 C. 相交且不垂直 D. 不确定 6. 已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，若曲线是由曲线和共同构成的，则下列结论不正确的是（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值范围是 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若曲线E与直线有公共点，则m的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 13. 已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 14. 在平面直角坐标系中，，，点P在圆O：上，若，则点P的横坐标的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求的面积． 16. 已知圆经过点，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆相交于两点，求弦长. 17. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 18. 已知点在圆C：上． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； （3）求的最大值与最小值． 19. 已知圆：，直线：，与圆交于不同的两点，点在圆上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为． （1）求曲线的方程． （2）设的中点为，求点到直线距离的最大值． （3）过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二上学期第一次阶段测试 数学试题 2026.09 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程表示的图形是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 点 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得,解方程即可判断. 【详解】方程,则,解得：,所以方程表示的图形是点； 故选：C 2. 直线的倾斜角大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设直线的倾斜角为， 则， 因为，所以. 3. 过点且斜率为的直线在轴上的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线与轴的交点坐标即可得解. 【详解】所求直线方程为，该直线交轴于点， 因此，该直线在轴上的截距是. 故选：D. 4. 若是一个圆的方程，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】的标准形式为， 圆的半径的平方大于0，故，解得， 故实数的取值范围是． 5. 直线和直线的位置关系是（ ） A. 相交且垂直 B. 平行 C. 相交且不垂直 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据和分类讨论即可． 【详解】解：当时， 当时，，， 则，则． 综上，知， 故选：A． 6. 已知点，.若直线：与线段相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线l过定点，且与线段相交，利用数形结合法，求出的斜率，从而得出l的斜率的取值范围，即可得解. 【详解】设直线过定点，则直线可写成， 令，解得. 直线必过定点． ，． 直线与线段相交， 由图象知，或，解得或， 则实数的取值范围是． 故选：A 7. 若关于的方程恰有1个实数根．则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将方程的根的个数转化为函数图象的交点个数，根据图象计算临界情况，确定实数的取值范围. 【详解】 方程恰有1个实数根，等价于函数与函数的图象只有一个交点， 由，两边平方得， 即函数的图象是圆心在原点，半径为2的上半圆，， 函数是斜率为1的平行线系，纵截距为， 直线过左端点，代入直线方程得， 直线过右端点，代入直线方程得， 直线与上半圆相切，，解得， 根据图象可得方程恰有1个实数根，或. 8. 已知实数，，，满足，，，则的最大值为（ ） A. B. 14 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】设，则在定圆上且，将所求绝对值式子转化为两点到直线距离之和的倍，又中点C在半径为的圆上，求出点到直线距离最大值进而求出结果. 【详解】设，由可知点在以原点为圆心，半径为的圆上， 又，所以，即， 设点到直线的距离分别为，则， 所以， 取的中点，则点到直线的距离， 又，即点在以原点为圆心，半径为的圆上，设点到直线的距离为， 则点到直线的距离的最大值为，即， 因为，所以，所以， 所以， 即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，若曲线是由曲线和共同构成的，则下列结论不正确的是（ ） A. 曲线围成的图形面积为 B. 若点在曲线上，则的取值范围是 C. 若圆能覆盖曲线，则的最小值为 D. 若曲线E与直线有公共点，则m的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对条件作变换得到是由4个半圆组成，作曲线的图形.对于A，由图可知面积为正方形和个半圆的面积和；对于B，由图可得的取值范围；对于C，由图可得覆盖住曲线的圆的半径；对于D，利用直线与上、下半圆的相切时计算出的值即可得的取值范围. 【详解】∵，，∴，即或. 当时，有，即， 是圆心为，半径为1的半圆． 同理可得曲线的其他部分分别是圆心为，半径为1的半圆， 圆心为，半径为1的半圆，圆心为，半径为1的半圆. 作出曲线如图所示，图中虚线部分是边长为2的正方形． 对于选项A，曲线围成图形的面积为，故A错误； 对于选项B，由图及上述分析可知的取值范围是，故B错误； 对于选项C，覆盖住曲线的圆的半径的最小值显然是2，故C正确； 对于选项D，根据曲线的对称性可知， 当直线与半圆相切时，， 解得（舍去）或． 当直线与半圆相切时，， 解得或（舍去）． 结合曲线的对称性，故要使曲线与直线有公共点， 则，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】先由已知直线斜率求出倾斜角，取其一半得到直线l的倾斜角与斜率，再用点斜式写出方程并整理为一般式． 【详解】直线的斜率，其倾斜角为，， ，故， 已知直线的倾斜角，故， 故直线的斜率， 过点的直线方程为， 故一般方程为． 13. 已知P为圆上任意一点，A，B为直线：上的两个动点，且，则面积的最大值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】首先设与直线平行的直线，再利用数形结合，根据直线与圆的位置关系，即可求最值. 【详解】设与直线平行的直线，， 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离为， 解得：或， 所以两条切线为和， 如图，两条切线中，直线到直线的距离最远， 此时切点到直线的距离最远，最远距离为， 所以面积的最大值为 14. 在平面直角坐标系中，，，点P在圆O：上，若，则点P的横坐标的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出，的坐标，代入，利用圆的方程化简不等式，再与圆的方程联立，即可得出答案. 【详解】解：根据题意，，且， ． 化简得， 联立， 解可得或， 结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值范围是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再通过两点式求出直线的方程； （2）先用两点间距离公式求出的长度，再利用点到直线距离公式求出点到的距离，最后根据三角形面积公式求解． 【小问1详解】 为边上的中线，， 为边的中点，坐标为， 又， 所在直线方程为，即， 边上的中线所在直线的一般式方程为：． 【小问2详解】 ， ， ， 边所在直线方程为：，一般式为， 点到直线的距离为：， ． 16. 已知圆经过点，且与直线相切于点. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆相交于两点，求弦长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）求出过点与切线垂直的直线方程，再求出的中垂线方程，联立两直线方程可得圆心坐标，进一步求出半径，则圆的方程可求； （2）求出圆心到直线的距离，再利用圆的弦长公式即可求弦长． 【详解】解：（1）过切点且与垂直的直线为， 即，则其经过圆心. 直线方程为直线的中垂线过圆心， 联立， 解得. 圆心为半径， 所求圆的方程为. （2）直线的方程为， 圆心到直线的距离， ， 17. 已知直线. （1）证明：直线过定点； （2）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （3）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】（1） 证明：∵， ∴直线过定点. （2） （3）最小值为4，直线方程为. 【解析】 【分析】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【小问1详解】 ∵， ∴直线过定点. 【小问2详解】 ∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. 【小问3详解】 由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 18. 已知点在圆C：上． （1）求的最大值和最小值； （2）求的最大值与最小值； （3）求的最大值与最小值． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）最大值为，最小值为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）将分式视为圆上点与定点连线的斜率，利用直线与圆相切时斜率取最值，通过圆心到切线距离等于半径求斜率范围； （2）令，将其看作动直线截距，利用直线与圆相切时截距取最值，由圆心到直线距离等于半径求的范围； （3）将式子配方为圆上点到定点距离的平方加常数，利用圆外定点到圆上点距离的最大、最小值在圆心连线与圆交点处取得，再平方求最值. 【小问1详解】 方程可化为． 表示圆上的点与连线所在直线的斜率，显然与圆相切时，斜率最大或最小． 设切线方程为由题意知，斜率一定存在，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，解得或者． 所以的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 设，则表示动直线在轴上的截距， 显然当动直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时圆心到切线的距离等于圆的半径，则，即，解得， 所以的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 ，表示圆上的点到点的距离的平方再加． 所以当点与点的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，显然点在圆的外部， 所以点与点距离的最大值，点与点距离的最小值． 又．所以的最大值为，最小值为． 19. 已知圆：，直线：，与圆交于不同的两点，点在圆上运动，且点满足（为原点），记点的轨迹为． （1）求曲线的方程． （2）设的中点为，求点到直线距离的最大值． （3）过点且不与轴重合的直线与曲线交于两点，问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）． （3）存在，点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用向量坐标运算，由反解出的坐标，再用代入法把满足的圆方程转化为的轨迹方程； （2）利用圆的弦中点性质：圆心与弦中点的连线垂直于弦，得到 ，从而在以为直径的圆上；再用圆心到直线距离加半径求最大值； （3）设直线方程联立曲线，用韦达定理；由轴平分角得两斜率互为相反数，列方程消去参数求定点坐标. 【小问1详解】 设，，由，得： 所以， 因为在圆上，代入得： 化简得因此曲线的方程为. 【小问2详解】 直线可得：， 令，得定点， 因为是弦中点，所以 ，又过，故 ， 因此在以为直径的圆上， 圆的圆心为， 该轨迹圆的圆心为中点半径 圆心到直线的距离 所以点到该直线距离的最大值为 因此最大值为. 【小问3详解】 当直线轴时，轴平分， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 由化简，得． ． 设，，，则，， 若轴平分，则，所以． 又，，所以， 即，整理，得，解得． 所以当时，轴平分．综上，存在点，使得轴平分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $