3.3 幂函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1幂函数讲义 知识点 幂函数形式为y=x(α为常数，底数为自变量，指数为常数)，幂函数所有性质 优先看第一象限图像，再结合奇偶性拓展到全部定义域。 两条核心原则： (1)定义域优先原则：研究单调性、奇偶性、值域，必先写出定义域： (2)第一象限图像规律： ①a>0:在(0，+∞)单调递增： ②a<0:在(0，+∞）单调递减： 需要熟记5个经典幂函数： y=x,y=x,y=x,y=x2,y=x 图1：五大基础幂函数图像 题型归纳一一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一：幂函数的概念辨析（判断是否幂函数、求参数） 典例1【2025-2026某省高一期末真题改编】下列函数是幂函数的是() A.y=2x B.y=x2 C.y=x2+1 D.y=(2x月 变式1-1【2025高一期中】己知幂函数f(x)=(m2-2m-2x-1,则实数m=一。 变式1-2【高考真题改编】若函数f(x)=(a-2)x-1为幂函数，且为偶函数，则 a=() A.2 B.-2 C.3 D.-3 变式1-3已知f(x=(k2-k-1)x*+2是幂函数，则k= 题型二：幂函数定义域、奇偶性判定 典例2【2026高一期末】判断下列幂函数的奇偶性： (1)fx=;(2)fx)=x:(3)f(x)=x2。 变式2-1函数y=x立的定义域是() A.R B.(0,+o C.[0,+o) D.{x|x≠0} 变式2-2幂函数y=x3的奇偶性为 变式23下列幂函数中，定义域为R且是奇函数的是() A.y=x1 B.y=x C.y=x3 D.y=x 题型三：幂函数单调性（第一象限性质，结合奇偶性拓展） 题型模版： 典例3【2025高一期末改编】下列说法正确的是() A.y=x在R单调递减 B.y=x1在(-o,0）单调递减 C.y=x2在R单调递增 D.y=x2在R单调递增 变式3-1幂函数y=xm在区间(0，+o)单调递减，则实数m的取值范围 变式3-2【真题改编】（多选）已知幂函数fx)=x,满足x1<x2<0时， f(x)>f(x2),则a可以是() A.2 B.-1 C.3 D.2 变式3-3比较大小：0.78 0.68(填>，<，=)。 题型四：利用幂函数比大小 2 典例4【2026高一期中】比较a=1.2,b=1,4,c=0.8号的大小。 变式41a=0.93,b=0.83,则a和b的大小：。 题型五：幂函数解答综合题（基础中档，真题改编） 典例5【2025-2026高一期末解答真题】 已知幂函数f(x)=x-2m-3(m∈Z),且 fx)在(0，+∞）单调递减。 (1)求m的值： (2)若m=1,判断f(x)的奇偶性。 变式5-1已知幂函数y=f(x)的图像过点(8,2). (1)求f(x)的解析式： (2)判断函数fx)的单调性，写出定义域。 变式5-2已知幂函数f(x)=x,且f(2a-1)<f(a,求a的取值范围 压轴挑战一一攻克高难中档拔高小题 1.(多选)【改编全国高一期末】下面关于幂函数说法正确的是() A.幂函数图像一定过定点(1,1) B.若幂函数y=x在(0，+o)递减，则a<0 C.幂函数图像不可能出现在第四象限 D.幂函数若为偶函数，一定在R单调递减 2.己知幂函数f(x)=x-2(t∈Z)图像与坐标轴无交点，则t= 课后练习 一、单项选择题 1.【2025高一期中】下列函数属于幂函数的是() A.y=3x2 B.y=x3 C.y=x+2x D.y=( 2.幂函数y=xm-2的图像过点(2,8)，则m=() A.5 B.4 C.3 D.2 3.函数y=x号的定义域为《) A.R B.(0,+o C.{x|x≠0} D.[0,+o 4.下列幂函数，在(0，+∞)上单调递减的是() A.yx B.y=x C.y=x2 D.yxi 5.比较大小：1.54与1.64，下列正确的是() A.1.504>1.604 B.1.54<1.604 C.1.504=1.64 D.无法判断 6.幂函数f(x=x满足f(-2)<f(-1),则a可能是() A.2 B.-1 c 7.已知幂函数f(x=X,若f(a+1)<f3-2a，,m=2,则实数a的取值范围（） A【-1,3) B.（-号 C.[-1,+∞) D.0 8.下列关于幂函数说法正确的是() A.幂函数一定过(0,0 B.幂函数一定不过第四象限 C.幂函数都是单调函数 D.幂函数都是奇函数或者偶函数 二、多项选择题 9.下列函数中，是幂函数且为偶函数的有() A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y=xi 10.若幂函数y=x“,ax∈Q,在(0，+oo)单调递增，则下面a可取() B.0.6 1 c.3 D.2 11.已知0<a<b<1,幂函数相关大小关系正确的是() A.a05<b05 B.a0.5>b05 C.a'>b2 三、填空题 12. 己知幂函数f(x)=(t2-3t+3)x2-1,则t=口。 13. 幂函数y=X过点4，， 则k=口。 14. 比较大小：0.8号 0.93(填>，<，=)。 15.幂函数f(x)=x”,m∈Z,图像与坐标轴无交点，且图像关于y轴对称，则一 个m的值可以为 16. 已知幂函数f(x)=x,若f(2x-1)<f(x),则x的取值范围是 四、解答题 17.已知幂函数f(x)=x-2-3(k∈Z),且f(x)在(0，+oo)单调递减。 (1)求k可取的整数值： (2)写出一个满足条件且为偶函数的f(x)解析式。 18.已知幂函数y=f（x)经过点(27,3)。 (1)求f(x)解析式： (2)判断f(x)的奇偶性与单调性。3.1幂函数讲义 知识点 幂函数形式为y=x(α为常数，底数为自变量，指数为常数)，幂函数所有性质 优先看第一象限图像，再结合奇偶性拓展到全部定义域。 两条核心原则： (1)定义域优先原则：研究单调性、奇偶性、值域，必先写出定义域： (2)第一象限图像规律： ①a>0:在(0，+∞)单调递增： ②a<0:在(0，+∞）单调递减： 需要熟记5个经典幂函数： y=x,y=x,y=x,y=x2,y=x 图1：五大基础幂函数图像 题型归纳一一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一：幂函数的概念辨析（判断是否幂函数、求参数） 典例1【2025-2026某省高一期末真题改编】下列函数是幂函数的是() A.y=2x B.y=x2 C.y=x2+1 D.y=(2x月 答案：B 详解：A:系数为2，不是幂函数： B:y=x2,系数为1，指数常数，是幂函数； C:存在常数项，不是幂函数： D:底数为2x,不是x,不是幂函数。 故选B。 变式1-1【2025高一期中】已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm-1,则实数m= 答案：3或-1 详解： 根据幂函数的定义，系数等于1，所以： m2-2m-2=1一m2-2m-3=0=m-3)(m+1)=0 解得：m=3或m=-1。 变式1-2【高考真题改编】若函数f(x)=(a-2)x-1为幂函数，且为偶函数，则 a=() A.2 B.-2 C.3 D.-3 答案：C 详解：幂函数系数a-2=1一a=3,此时f(x)=x,是偶函数。 变式1-3已知f(x)=(k2-k-1)x+2是幂函数，则k= 答案：2或-1 详解：k2-k-1=1一k2-k-2=0一(k-2)(k+1)=0 当k=2,f(x)=x:当k=-1,f(x)=x=x,两者均为幂函数。 题型二：幂函数定义域、奇偶性判定 典例2【2026高一期末】判断下列幂函数的奇偶性： (1)fx)=x:(2)f(x)=x;(3)f(x)=x2。 答案：(1)奇函数；(2)非奇非偶函数：(3)偶函数 详解： (1)fx)=x=x,定义域R,关于原点对称。f(-x=x=-x=-f(x,奇函 数。 (2)f(x)=x2-Vx,定义域[0，+o),不关于原点对称，非奇非偶函数。 （8)fx=x一京，定义城xx40.fx☆文f,偶函数 变式2-1函数y=x的定义域是() A.R B.（0,+oo】 C.[0,+oo) D.{xx≠0} 答案：B 详解：y=x1 要求x>0,定义域(0，+o)。 变式2-2幂函数y=x3的奇偶性为 答案：偶函数 详解：y=x,定义域R,f(-x)=-x=R=f(x),是偶函数。 变式2-3下列幂函数中，定义域为R且是奇函数的是() A.y=x B.y=x3 C.y=x3 D.y=x 答案：C 详解：A.定义域x≠0；B.偶函数；D.定义域x≥0，非奇非偶函数：只有C符合， 选C。 题型三：幂函数单调性（第一象限性质，结合奇偶性拓展） 题型模版： 典例3【2025高一期末改编】下列说法正确的是() A.y=x在R单调递减 B.y=x1在(-o,0）单调递减 C.y=x2在R单调递增 D.y=x在R单调递增 答案：B 详解：4：y=在R递增；B:y=X是，（←0,0单调递诚，正确；C: y=x2在(-o,0)递减，(0，+∞）递增；D:定义域只有x≥0。 变式3-1幂函数y=x"在区间(0，+∞)单调递减，则实数m的取值范围 答案：m<0 详解：在区间0，+∞)单调递减，所以m<0。 变式3-2【真题改编】（多选）已知幂函数f(x)=x,满足1<x,<0时， fx1)>f(x2),则a可以是() A.2 B.-1 C.3 答案：AB 详解：X<x2<0,f(x)>f(x2),即在(-∞，0)单调递减。y=x2在x<0单调递减， A正确；y=x也在x<0单调递减，B正确；CD不符合题意；所以选AB 变式3-3比较大小：0.78 0.68(填>，<，=)。 答案：> 详解：幂函数y=x8,指数大于0，(0，+o∞)单调递增，0.7>0.6，故0.78>0.68。 题型四：利用幂函数比大小 2 2 典例4【2026高一期中】比较a=1.23,b=1.43,c=0.83的大小。 答案：b>a>c 2 详解： 将造系函敦y=,指数子0，在0，+四单调隧增。14>12>08>0， 故1.43>1.2>0.8，即b>a>C。 变式41a=0.93,b=0.83,则a和b的大小：。 答案：a<b 详解：y=x3,指数-0.3<0，(0，+∞)单调递减，0.9>0.8，所以0.93<0.83。 题型五：幂函数解答综合题（基础中档，真题改编） 典例5【2025-2026高一期末解答真题】已知幂函数f(x)=xm-2m-3(m∈z),且 f(x)在(0，+o∞)单调递减。 (1)求m的值： (2)若m=1,判断f(x)的奇偶性。 答案：(1)m=0,1,2;(2)偶函数 详解：(1)幂函数在(0，+∞)单调递减，指数小于0： m2-2m-3<0一(m-3)(m+1)<0;解得：-1<m<3,m∈Z,所以m=0,1,2。 2)当m=1f7.定义城xx0,f对，数为 偶函数。 变式5-1已知幂函数y=f(x)的图像过点(8,2)。 (1)求f(x)的解析式： (2)判断函数f(x)的单调性，写出定义域。 答案： (1)f(x)=x3;(2)定义域R,R上单调递增 详解：(1)设f(x)=x,代入(8,2， 8°=2一230=2一3a=1一aw= 3 解析式fx)=x。 (2)fx-,定义域R,a0,R上单调遂销。 变式5-2已知幂函数fx=x,且f2a-1)<f(a,求a的取值范围 答案：s0<1 详解：f(x)=x2=x,定义域x≥0，在[0，+o)单调递增。 2a-1≥0 1 a≥0= /a Γ2 2a-1<aa<1 得2 ≤a<1. 压轴挑战一一攻克高难中档拔高小题 1.（多选)【改编全国高一期末】下面关于幂函数说法正确的是（) A.幂函数图像一定过定点(1,1) B.若幂函数y=x在(0，+oo)递减，则<0 C.幂函数图像不可能出现在第四象限 D.幂函数若为偶函数，一定在R单调递减 答案：ABC 详解：A:任意幂函数代入x=1,1“=1,恒过(1,1：B:第一象限性质；C: x>0,x>0,y恒大于0，第四象限无图像；D:反例：y=x,偶函数，不是全体 实数递减。 2.已知幂函数f(x)=x2(t∈Z)图像与坐标轴无交点，则t=一。 答案：t=-1,0,1,2 详解：图像和坐标轴无交点，指数小于等于0，所以 t2-t-2≤0=(t-2)(t+1)≤0=-1≤t≤2，t∈Z 所以t=-1,0,1,2。 课后练习 一、单项选择题 1.【2025高一期中】下列函数属于幂函数的是() A.y=3xi B.y=x3 C.y=x2+2x D.y-(2x 答案：B 详解：幂函数定义y=x“,系数必须为1。A系数为3：C有一次项：D底数为2x:只 有B满足。 2.幂函数y=xm-2的图像过点(2,8)，则m=() A.5 B.4 C.3 D.2 答案：A 详解：2m-2=8=23一m-2=3一m=5。 3.函数y=x的定义域为() A.R B.(0,+0 C.{x|x≠0} D.[0,+oo) 答案：C 详解：y交，分母不为零，故x0。 4.下列幂函数，在(0，+∞)上单调递减的是() A.y=xi B.y=x C.y=x2 D.y=x 答案：B 详解：指数小于0，在(0，+∞)单调递减，只有y=x指数-1<0。 5.比较大小：1.54与1.64，下列正确的是() A.1.50.4>1.604 B.1.504<1.604 C.1.504=1.604 D.无法判断 答案：B 详解：y=x°4，Q>0,(0,+0)递增；1.5<1.6，故1.504<1.64。 6.幂函数f(x)=x满足f(-2)<f(-1),则a可能是() A.2 B.-1 答案：C 详解：f(-2)<f(-1),即x<0函数递增。y=x为奇函数，R单调递增，满足条件。 7. 已知幂函数f(x)=x,若f(a+1)<f(3-2a,m=), 则实数a的取值范围() -1,》 B,,3 C.[-1,+oo) D.0 答案：A 详解：f(x)=Vx,定义域x≥0，[0，+∞)单调递增。所以 a≥-1 a+1≥0 a 3-2a≥0 32 a+1<3-2a 03 得-1sa<2 。选A。 8.下列关于幂函数说法正确的是() A.幂函数一定过0,0) B.幂函数一定不过第四象限 C.幂函数都是单调函数 D.幂函数都是奇函数或者偶函数 答案：B 详解：A:y=x'不过(0,0)：C:y=x不是R单调；D:y=x2非奇非偶。 二、多项选择题 9.下列函数中，是幂函数且为偶函数的有() A.y=x B.y=x2 C.y=x3 D.y=x 答案：ABD 详解：C是奇函数：A、B、D既是幂函数又是偶函数。 10.若幂函数y=x“,a∈Q,在(0，+oo)单调递增，则下面a可取() B.0.6 1 C.3 D.2 答案：ABD 详解：a>0时(0，+o∞)递增；c选项指数小于0，单调递减。 11.已知0<a<b<1,幂函数相关大小关系正确的是() A.a5<b05 B.a05>b05 C.a2>b2 D.aibi 答案：ABD 详解：A:y=x5递增，a<b→a5<b5;B:y=x5递减，a<b→a5>b05;C: 1.1 y=x在(0，+0递增，a<b；D:y=x递减，a<b→a>b。 三、填空题 12. 己知幂函数f(x)=(t2-3t+3)x2-1,则t=口。 答案：1或2 详解：幂函数系数t2-3t+3=1,解得t=1或t=2。 13。幂函数y=x过点(4，》，则k=口。 1 答案：2 详解：4华2”=2→2k=-1k= 2。 14比较大小：0.8号 —0.9(填>，<，=)。 答案：> 1 详解：y=x在0，+o0单调递减，0.8<0.9，故0.8>0.9。 15.幂函数f(x)=x”,m∈Z,图像与坐标轴无交点，且图像关于y轴对称，则一 个m的值可以为 答案：~2（答案不唯一，负偶数均可） 详解：指数为负偶数，如m=-2,-4等。 16. 已知幂函数f代x)=x,若f(2x-1)<f(x),则x的取值范围是」 答案：x<1 详解：f(x)=x在R单调递增，定义域是R,则2x-1<x一x<1。 四、解答题 17.已知幂函数f(x)=x2k-3(k∈Z),且f(x在(0，+o∞)单调递减。 (1)求k可取的整数值； (2)写出一个满足条件且为偶函数的fx)解析式。 答案：(1)k=0,1,2;(2)fx)=x4。 详解：(1)k2-2k-3<0一-1<k<3,k∈Z,k=0,1,2。(2)当k=1,指数为 -4,f(x)=x4,为偶函数。 18.已知幂函数y=f(x)经过点(27,3). (1)求f(x)解析式： (2)判断f(x)的奇偶性与单调性。 答案： (1)fx)=x3;(2)奇函数，在R上单调递增。 详解： (1)设f(x=x,27”=3一33a=3== 3 (2)f(x)=x,定义域R，,f(-x)=-f(x)奇函数；a>0,R单调递增。