3.3 幂函数 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 知识点梳理 · 人教A版 必修第一册 第三章 一数定族 · 五谱连读版式 对应教材 P89—P91 ｜ 配套栏目：探究与发现「探究函数 y = x + 的图象与性质」（P92） ★ 本课分数集中在两处：一是「凭什么判断一个式子是不是幂函数」，二是比大小时「先认出它属于哪个幂函数」这一步。这两处丢分最冤。 3.1 学的是函数「是什么」——两个数集之间搭起的一座桥；3.2 学的是函数有哪些性质——竖着看升降，横着看对称。有了这两件工具，就可以一类一类地研究具体的函数了。 本课要研究的是一族长得很像的函数：它们的解析式只有一处不同，就是指数上那个数。这一族叫幂函数，规矩只有一条——底数是自变量，指数是常数，系数是 1。指数换一个数，就从一副面孔换成另一副面孔：有的从原点出发一路往上，有的在原点处断成两截，有的只在 y 轴右侧才有图象。 本课把这五副面孔摆开，一副一副看清楚。 本课地图 · 五谱一览 要弄清的事 一句话结论 关键式子 最容易栽在哪里 在哪一谱 什么样的式子才算幂函数 系数是 1、底数是自变量 x、指数是常数 y = 见着 前挂了系数也认 谱一 研究这类函数的固定路径 先定定义域，再画图象，最后谈性质 定义域 → 图象 → 性质 跳过定义域，把图画到外面 谱二 五个成员各自的性质 都过 (1,1)，走势只看 (0, +∞) 定义域、值域、奇偶性、单调性 顺手说成「都过原点」 谱三 怎么比出两个幂值的大小 指数相同就直比，不同就借 1 过渡 直接法、中间值法 底数是负数时忘了先翻号 谱四 性质怎么用回题目里 求解析式、证单调、解不等式 设 ；作差＋分子有理化 解不等式漏掉定义域那一头 谱五 五张谱依次铺开：谱一认人，谱二认路，谱三认脸，谱四比大小，谱五做题。 谱一 · 从五个实例里认出一族函数 教材 P89 先给了五个实例。它们有的来自买卖，有的来自几何，看起来毫不相干，但每一个都写得出一句函数关系式。 五个实例，五个函数关系式 实例说的是什么 函数关系式 指数 α 是多少 这是什么老面孔 张红以 1 元/kg 的价格买了 w kg 蔬菜，付 p 元 p = w α = 1 正比例函数 y = x 正方形的边长为 a，面积是 S S = α = 2 二次函数 y = 立方体的棱长为 b，体积是 V V = α = 3 初中见过的 y = 一个正方形场地的面积是 S，边长是 c c = α = 新面孔，本课第一次系统研究 某人 t s 内骑车行进了 1 km，平均速度是 v v = α = −1 反比例函数 y = 把五个关系式摆在一起看，共同点立刻显出来：都是幂的形式，都是以幂的底数为自变量；指数都是常数，分别是 1、2、3、、−1。也就是说，它们都是形如 y = 的函数。 幂函数的定义（教材 P89）：一般地，函数 y = 叫做幂函数（power function），其中 x 是自变量，α 是常数。 定义后面教材还留了一句话：幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数，当它们取其他实数时幂也具有各自的含义，这些会在后面学习。本课按教材的约定，只研究 α = 1、2、3、、−1 这五个成员的图象与性质。 三条特征，缺一不可 判断一个式子是不是幂函数，就看下面三处。三处都过关才是，有一处不合格就不是。 看哪一处 必须长成什么样 不合规的例子 系数 前面的系数必须是 1 y = 、y = − 都不是幂函数 底数 必须就是自变量 x 本身，不能是别的式子 y = 、y = 都不是幂函数 项数 整个式子只有这一项，不能再添别的 y = + 1、y = + 2x 都不是幂函数 像与不像，一眼分清 函数 是不是幂函数 凭什么 y = 是 系数 1、底数是 x、指数 −2 是常数 y = 是 先写成 y = ，系数 1、底数是 x、指数 是常数 y = 不是 系数是 2，不是 1 y = 不是 底数是 x + 1，不是自变量 x 本身 y = + x 不是 式子里有两项，不是单一幂的形式 y = （x ≠ 0） 是 系数 1、底数是 x、指数 0 也是常数；它的值恒为 1，但形式仍合定义 顺带说清指数的范围：α 可以取任意实数，正数、负数、整数、分数都行。所以 y = 、y = 这样的也都是幂函数，并不只有本课研究的这五个。本课之所以只挑五个，是因为它们的图象和性质在教材里最典型，也最常用。 此谱记牢：判断是不是幂函数，只看三处——系数是不是 1、底数是不是自变量 x 本身、是不是只有这一项。指数长什么样，不影响判断。 谱二 · 顺着一条路径把它研究透 认定了一族函数，接下来的问题是：从哪里下手？教材 P89 在给出定义之后留了一处「思考」——结合以往学习函数的经验，你认为应该如何研究这些函数？教材自己给出了答案，这条路子是本课最该记住的东西。 研究一类函数的固定路径 第几步 做什么 做完手里多了什么 第一步 由解析式求出定义域：把「x 取哪些值式子才有意义」写清楚 知道图象该画在 x 轴的哪一段上 第二步 在定义域内取点、描点、连线，画出图象 走势、公共点、对称性能一眼看出来 第三步 用图象和解析式谈性质，逐项讨论值域、单调性、奇偶性 这个函数的完整画像 ★ 第一步最容易被跳过，跳过它的后果很直接：把图象画到定义域外面去。y = 的图象只会出现在 y 轴右侧（含原点），左边那半张纸是空的。 先取几个点，把五个成员摆在一张表里 零图片也能把图象「读」出来——先取几个关键的自变量，把五个函数的值算出来摆在表里。表里那三处「无意义」，说的正是定义域管住的地方。 五个成员在几处关键 x 上的取值（「无意义」表示该处没有定义） x y = x y = y = y = y = −2 −2 4 −8 无意义 − −1 −1 1 −1 无意义 −1 0 0 0 0 0 无意义 1 1 1 1 1 1 2 2 4 8 ≈ 1.41 4 4 16 64 2 这张表只能给出零星的几个点，像 这样的值还只能取近似。所以描完点还得靠连线把中间补出来——这也正好说明「先求定义域」为什么必须走在最前面：表里写着「无意义」的位置，图象要么断开，要么根本不存在。 从表里先读出三件事 读出来的一件事 表里哪几格说明它 往外推一步 每个成员在 x = 1 处都取值 1 x = 1 那一行的五格全是 1 所以五个图象都过点 (1,1) x = 0 处并非人人都能取值 y = 1/x 那一格写着「无意义」 指数为负时 x = 0 没有定义，图象在原点处断开 负的 x 也不是人人都能代入 y = 在 x = −1、−2 两格都是「无意义」 定义域只有 [0, +∞) 时，图象只在 y 轴右侧 此谱记牢：研究一类函数的固定顺序是先定义域、再图象、后性质。定义域是这三步的地基——它先划定了图象该出现在哪里。 谱三 · 摆开五副面孔逐一细看 按上面那条路径走一遍：把五个成员的定义域、值域、奇偶性、单调性逐项填出来，就得到教材 P90 那张表。这是本课最该背下来的一张。 五个幂函数的图象与性质 教材 P90 原表的整理。表中五个函数依次对应 α = 1、2、3、、−1；y = 也可写成 y = ，y = 也可写成 y = 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 y = x R R 奇函数 在 R 上单调递增 y = R [0, +∞) 偶函数 在 [0, +∞) 上单调递增，在 (−∞, 0] 上单调递减 y = R R 奇函数 在 R 上单调递增 y = [0, +∞) [0, +∞) 既不是奇函数，也不是偶函数 在 [0, +∞) 上单调递增 y = {x | x ≠ 0} {y | y ≠ 0} 奇函数 在 (0, +∞) 上单调递减，在 (−∞, 0) 上单调递减 表里第三列要特别留意 y = 那一格：它的定义域是 [0, +∞)，不关于原点对称（1 在定义域里，−1 却不在），所以按 3.2 那三步判断，它既不是奇函数，也不是偶函数。 教材从图和表里得到的四条结论 教材写下的结论 怎么理解它 五个图象都通过点 (1,1) 1 的任何次幂都等于 1，与指数取什么值无关 y = x、y = 、y = 是奇函数，y = 是偶函数 按 3.2 的三步逐个代 −x 验过；y = 的定义域不对称，两者都不是 在区间 (0, +∞) 上，y = x、y = 、y = 、y = 单调递增，y = 单调递减 前四个的指数都大于 0，最后一个的指数 −1 小于 0 在第一象限内，y = 的图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近 这是「画不出来却看得出来」的一句话：曲线一直贴近两条坐标轴，却永远碰不到它们 三条几乎人人都记错的结论 常听到的说法 错在哪 正确的说法 「幂函数的图象都经过原点」 指数为负时 x = 0 处根本没有定义。y = 在原点处断开，这个点取不到 只有指数大于 0 时才过原点；任何幂函数的图象都过的，是 (1,1) 「幂函数的图象不经过第二象限」 反例就在五个成员里：y = 的图象在第二象限有整整一支 正确的是不经过第四象限——x > 0 时 恒为正，而第四象限要求 x > 0 而 y < 0 「y = 在定义域上是减函数」 它的定义域由两段组成，两段各自的结论不能并成一个区间来说，这正是 3.2 那条「单调区间不能并」的规矩 必须分开写：在 (0, +∞) 上单调递减，在 (−∞, 0) 上单调递减 图象出现在哪几段，由定义域说了算 零图片也能把教材 P90 的五个函数图象「读」出来：这张表说清了每支曲线落在哪几个象限 函数 定义域 图象出现在哪里 y = x R 一条过原点的直线，一、三象限各一段 y = R 一条过原点的曲线，一、二象限各一段 y = R 一条过原点的曲线，一、三象限各一段 y = [0, +∞) 只有 y 轴右侧（含原点）的一段，左边没有 y = {x | x ≠ 0} 原点处断开，一、三象限各一段 此谱记牢：五个成员的区别全在指数上——指数大于 0 就在 (0, +∞) 上往上走，指数小于 0 就往下走；而定义域又决定了图象能在 x 轴上伸多远。 谱四 · 借单调性比出两个幂值的大小 幂函数最实用的地方是比较大小。原理只有一句话：两个幂值只要指数相同，就可以把它们看成同一个幂函数在两个自变量处的函数值，比大小就变成了比自变量。 比大小的两条路 什么情形 走哪条路 具体怎么做 指数相同、底数不同 直接法 把两个数看成同一个幂函数 y = 在两个 x 处的值，用这个幂函数的单调性，由自变量的大小直接定出函数值的大小 底数与指数都不同 中间值法 找一个垫脚石（常用 1 或 0），把两个数分别与它比出大小，或分到它的两边，再下结论 三种情形，三条路子 情形 例子 走哪条路 关键一步 指数相同、底数不同 与 直接法 认定它们是同一个幂函数 y = 在 x = 2 与 x = 2.5 处的值 底数相同、指数不同 与 中间值法 拿 1 当垫脚石，分别与 1 比出大小 底数是负数 与 看它在负半轴上的单调性，或用奇偶性翻成正数再比 y = 是奇函数，所以 = − 例 1（直接法） 比较 与 的大小。 解： 这两个数可以看成幂函数 y = 在 x = 2 与 x = 2.5 处的函数值。 y = 的定义域是 [0, +∞)，在 [0, +∞) 上单调递增。因为 2 < 2.5，所以 < 。 方法提炼：指数相同，就认定它们是同一个幂函数的两个函数值，比大小直接化成比自变量。 例 2（底数是负数，两条路都走得通） 比较 与 的大小。（教材 P91 练习 2 第（1）题） 解： 把这两个数看成幂函数 y = 在 x = −1.5 与 x = −1.4 处的函数值。y = 在 R 上单调递增，而 −1.5 < −1.4，所以 < 。 另一条路：y = 是奇函数，所以 = −、 = −。又 1.4 < 1.5，由 y = 在 [0, +∞) 上单调递增得 < ，两边添上负号得 − < −。两条路结论一致。 方法提炼：底数是负数时，先看这个幂函数在负半轴上的单调性；如果不好判断，就用奇偶性把负号翻到括号外面，只比正数。 例 3（中间值法） 比较 与 的大小。 解： 这两个数底数相同、指数不同，不能共用同一个幂函数的单调性，得分开看。 先看 ：把它看成 y = 在 x = 0.3 处的值。该函数在 [0, +∞) 上单调递增，且 0.3 < 1，所以 < = 1。 再看 ：把它看成 y = 在 x = 0.3 处的值。该函数在 (0, +∞) 上单调递减，且 0.3 < 1，所以 > = 1。 两段合起来： < 1 < ，所以 < 。 方法提炼：底数、指数都不同时，1 是最好的垫脚石——因为任何幂函数的图象都过 (1,1)。 此谱记牢：比大小的第一步永远是「认出它属于哪个幂函数」。指数相同就用同一个函数的单调性；指数不同就找一个垫脚石，1 最常用。 谱五 · 把性质用回三类题目里 性质记牢之后，考题主要落在三类事上：由一点求解析式、用定义证单调、解不等式。三类题各有一个关键动作。 第一类：由一点求解析式（待定系数法） 第几步 做什么 一、设 设 f(x) = ，α 是待定的常数 二、代 把已知点的坐标代进去，得到一个关于 α 的等式，解出 α 三、回代 把 α 的值写回去，就得到所求的解析式 例 4（教材 P91 练习 1）：已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点 (2, )，求这个函数的解析式。 解： 设 f(x) = 。 因为图象经过点 (2, )，所以 f(2) = ，即 = 。 把 写成 ，得 = ，所以 α = 。 因此 f(x) = ，即 f(x) = 。 方法提炼：幂函数只有一个待定字母 α，所以一个点就够定下它。这一步之所以成立，是因为「幂函数」这三个字已经把式子形式锁死了；换成一族更宽的函数，一个点远远不够。 第二类：用定义证单调（作差法 ＋ 分子有理化） 3.2 学的作差四步是：取值 → 作差 → 变形 → 定号。本课在「变形」这一步多了一个新招式。 变形手法 什么时候用 怎么下手 通分 差里面是分式 把两个分式并成一个，分子分母各自整理 因式分解 差是一个多项式 提出公因式，让每个因式的符号都能由区间条件直接说出 配方 某个因式的符号看不清 凑成「平方 ＋ 非负数」的样子，由平方非负定号 分子有理化 差里面是根式相减 分子分母同乘两个根式的和，把分子上的根号搬到分母上 四个手法里前三个 3.2 都练过，最后一个是本课新添的。下面这道题就是它的用武之地。 例 5（教材 P90 例）：求证：幂函数 f(x) = 在 [0, +∞) 上是增函数。 证明： 函数 f(x) = 的定义域是 [0, +∞)。 任取 、 ∈ [0, +∞)，且 。 f() − f() = − = = 。 因为 ，所以 − < 0；又由 ≥ 0 且 ，得 > 0，所以 + > 0。 于是 f() − f() < 0，即 f() < f()。 所以幂函数 f(x) = 在 [0, +∞) 上是增函数。 方法提炼：分子上的两个根式相减，符号直接看不出来；同乘 + 之后，分子变成 − ，符号立刻清楚，而分母是两个非负数之和，符号也清楚。还要留意分母不为 0——由 保证 > 0，分母不会等于 0。 第三类：解不等式（定义域优先） 第几步 做什么 为什么必须做 一、译 用单调性把 f(A) > f(B) 翻译成 A 与 B 的大小关系 单调性成立的前提是两个自变量都落在同一个单调区间里 二、补 把「A、B 都在定义域内」写成不等式，一起列出来 落在定义域外面的自变量根本不能代入，这一头最容易漏 三、取交集 把前两步得到的几个不等式取交集 几个条件必须同时满足，缺一个答案就错了 例 6：已知幂函数 f(x) = ，求满足 f(a + 1) > f(3 − 2a) 的实数 a 的取值范围。 解： f(x) = 的定义域是 [0, +∞)，且在 [0, +∞) 上单调递增。 由 f(a + 1) > f(3 − 2a) 得 a + 1 > 3 − 2a，解得 a > 。 又要求 a + 1 与 3 − 2a 都在定义域内，即 a + 1 ≥ 0 且 3 − 2a ≥ 0，解得 a ≥ −1 且 a ≤ 。 取交集得 < a ≤ 。 所以 a 的取值范围是 (, ]。 方法提炼：最容易丢分的是第二步。只做第一步会得到 a > ，看起来很像答案，其实把 3 − 2a < 0 的那一段也放进去了——那一段里 f(3 − 2a) 根本没有意义。 此谱记牢：三类题各有一个关键动作——求解析式靠「设 」，证单调靠「作差后把根号搬到分母上」，解不等式靠「别忘了两边都要在定义域里」。 来龙去脉 · 「幂」这个字是怎么来的 幂函数的名字里，「幂」字是地地道道的中文词。 《说文解字》里说「幂，覆也」——它本来的意思是遮盖东西的布巾。魏晋时期的刘徽给《九章算术》作注，写下「凡广纵相乘谓之幂」，第一次把「幂」用在数学里，指的是长方形的面积——面积正好「覆盖」了一块平面。 元代朱世杰在《算学启蒙》里写「自相乘之曰幂」，「幂」的所指开始从一个平面转向「一个数自己相乘的结果」。再往后，「幂」就专指乘方运算的结果了：a 的二次幂、a 的三次幂。 我们今天能写 y = 、y = 这样指数取分数、取负数的式子，靠的是后来指数记号的两步推广：十七世纪笛卡尔在《几何学》里用起了现代的指数记号，此后指数又由正整数推广到分数与负数。指数能取遍更多实数，幂函数这一族才算真正连成了一片。 收束 · 一数定族速查卡 本课所有结论可以压成一张卡。考前把这张卡过一遍，五个成员的名字、性质、用法就全在手里了。 要问的事 一句话答案 最容易栽在哪里 什么样的函数叫幂函数 形如 y = ：系数是 1、底数是自变量 x、只有一项 见着 前面挂个系数，就以为也是 这一族由什么决定 只由指数 α 一个数决定，α 一换就从一副面孔换成另一副 以为底数也会跟着变 五个成员都过哪个公共点 (1,1) 顺手写成 (0,0)——指数为负时图象不过原点 走势该看哪一段 只看 (0, +∞)：指数大于 0 就递增，指数小于 0 就递减 把 y = 的两段并成一个区间说 比大小走哪条路 指数相同走直接法；指数不同走中间值法，拿 1 当垫脚石 底数是负数时忘了先把负号翻出来 拿到一个点能做什么 设 f(x) = ，代点解出 α，整个解析式就到手了 以为一个点不够用——对幂函数来说足够了 口诀：幂函数，一族亲——系数一，底数 x，指数坐得稳。 五个成员排成排，都过点 (1,1) 不例外。 指数为正，右半边上坡；指数为负，右半边下坡。 比大小，先认门：指数相同函数同，谁底数大谁值大；指数不同别犯难，拿 1 垫脚分两边。 要问解析式，先设 y = ，一个点就够它。 过关自测（满分 100 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 30 分） 1. 函数 y = 的定义域与值域分别是（ ） A. R；R B. {x | x ≠ 0}；{y | y ≠ 0} C. {x | x ≠ 0}；R D. [0, +∞)；[0, +∞) 2. 幂函数 y = 的图象一定经过的点是（ ） A. (0, 0) B. (1, 1) C. (−1, −1) D. (0, 1) 3. 下列幂函数中，图象只出现在第一象限（含原点）的是（ ） A. y = x B. y = C. y = D. y = 4. 下列结论中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象一定经过原点 B. 幂函数的图象一定关于原点对称 C. 当 α > 0 时，幂函数 y = 在 (0, +∞) 上单调递增 D. 当 α < 0 时，幂函数 y = 的图象一定经过第二象限 5. 设 a = ，b = ，c = ，则 a、b、c 的大小关系是（ ） A. a < b < c B. a < c < b C. b < a < c D. c < b < a 6. 下列函数中，在 (0, +∞) 上单调递减的是（ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 7. 已知幂函数 y = f(x) 的图象经过点 (2, )，则 f(x) = ______。 8. 幂函数 y = 在区间 [1, 4] 上的最大值是______，最小值是______。 9. 设 α ∈ {−1, 1, 2, 3}，若幂函数 y = 是奇函数，且在 (0, +∞) 上单调递减，则 α = ______。 10. 已知幂函数 f(x) = ，若 f(a) = 3，则 a = ______。 三、解答题（共 50 分） 11.（14 分）判断下列函数是不是幂函数，并说明理由： （1）y = ； （2）y = ； （3）y = + 2； （4）y = ； （5）y = 。 12.（16 分）用定义证明：函数 f(x) = 在 R 上单调递增，并判断它的奇偶性。 13.（20 分）已知幂函数 f(x) = 。 （1）求 f(4) 与 f() 的值； （2）判断 f(x) 的奇偶性，并说明理由； （3）解不等式 f(a + 3) > f(1 − 2a)，并写出 a 的取值范围。 参考答案与解析 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B D C A C 解析 1：B y = 要求分母不为零，所以定义域是 {x | x ≠ 0}。它的函数值也取不到 0——因为 = 0 要 1 = 0 才成立，这是不可能的——所以值域是 {y | y ≠ 0}。A 项把定义域写成 R，漏掉了 x = 0 这个不能取的点；C 项把值域写成 R，多算了 0；D 项是 y = 的定义域与值域，不是本题的函数。 解析 2：B 幂函数 y = 中，把 x = 1 代进去得 y = = 1，与指数取什么值无关，所以图象一定经过点 (1,1)。A 项是原点，但指数为负时 x = 0 处没有定义，例如 y = 就不过原点；C 项只有当指数为奇数（或分子分母都是奇数的分数）时才成立，比如 y = 过的是 (−1, 1)；D 项 (0, 1) 不是幂函数图象上的点：x = 0 时函数值要么是 0，要么根本没有定义。 解析 3：D 逐个看图象落在哪几个象限：y = x 过一、三象限；y = 过一、二象限；y = 过一、三象限；只有 y = ，它的定义域是 [0, +∞)，x ≥ 0 时函数值也 ≥ 0，所以图象只有 y 轴右侧那一段（含原点），全部落在第一象限。 解析 4：C A 项：指数为负时图象不过原点，例如 y = 在 x = 0 处没有定义，所以「一定经过原点」是错的。B 项：奇函数的图象才关于原点对称，而 y = 是偶函数，图象关于 y 轴对称，所以「一定关于原点对称」也是错的。C 项：指数大于 0 时，幂函数在 (0, +∞) 上单调递增，这正是本课五个成员里前四个共同的表现，正确。D 项：y = 的图象在一、三象限，并不经过第二象限，所以也是错的。 解析 5：A 先拿 2 当中转站，把 b 与 c 分开：b = = ，而 < = 2；c = = = ，而 > 3 > 2。所以 b < 2 < c，得 b < c。再看 a 与 b：它们指数相同，都是 ，可以看成同一个幂函数 y = 在 x = 2 与 x = 2.5 处的函数值。该函数在 [0, +∞) 上单调递增，而 2 < 2.5，所以 a = < b = 。两段合起来得 a < b < c。 解析 6：C A 项 y = 的指数是 > 0，在 (0, +∞) 上单调递增；B 项 y = 的指数是 2 > 0，在 (0, +∞) 上也单调递增；C 项 y = 就是 y = ，指数 −1 < 0，在 (0, +∞) 上单调递减，符合要求；D 项 y = 的指数是 3 > 0，在 (0, +∞) 上单调递增。本题考的就是「指数为负就在 (0, +∞) 上往下走」这条规律。 二、填空题答案 7. f(x) = 设 f(x) = 。因为图象经过点 (2, )，所以 = 。把 写成 ，得 = ，所以 α = −2。因此 f(x) = ，也可以写成 f(x) = 。 8. 2；1 y = 的定义域是 [0, +∞)，在 [0, +∞) 上单调递增，所以在 [1, 4] 上函数值随 x 增大而增大：x = 1 处取最小值 = 1，x = 4 处取最大值 = 2。 9. −1 先看奇函数这个条件：y = 要是奇函数，在该函数有意义的范围内必须满足 f(−x) = −f(x)。四个候选值里 α = 2 使 y = 成为偶函数，先排除；α = 1、3、−1 都使函数成为奇函数。再看在 (0, +∞) 上单调递减这个条件：只需指数为负，所以 α < 0。两个条件合起来，只有 α = −1。 10. f(x) = = 。由 f(a) = 3 得 = 3。因为 a 在定义域内，所以 a ≠ 0，两边同时乘以 a 得 1 = 3a，所以 a = 。 三、解答题答案 11.（14 分） 判断是不是幂函数，只看三处：系数是不是 1、底数是不是自变量 x 本身、是不是只有这一项。逐个小看： （1）y = ：系数是 1，底数是自变量 x，指数 −3 是常数，三处都过关，是幂函数。 （2）y = ：系数是 3 不是 1，不是幂函数。 （3）y = + 2：式子里有两项，不是单一幂的形式，不是幂函数。 （4）y = ：底数是 x − 1，不是自变量 x 本身，不是幂函数。 （5）y = ：先写成 y = ，系数是 1，底数是自变量 x，指数 是常数，是幂函数。 所以是幂函数的是（1）和（5）。 12.（16 分） 函数 f(x) = 的定义域是 R，关于原点对称。 任取 、 ∈ R，且 ，则 f() − f() = − = 。 又 = + ≥ 0，且等号只在 + = 0 且 = 0 时成立，也就是只在 = = 0 时成立；而题设是 ，不可能同时为 0，所以 > 0。 又 − < 0，所以 f() − f() < 0，即 f() < f()。 所以 f(x) = 在 R 上单调递增。 再看奇偶性：定义域 R 关于原点对称，且 f(−x) = = − = −f(x)， 所以 f(x) = 是奇函数。 13.（20 分） （1）f(4) = = = 2；f() = = = 。 （2）f(x) 既不是奇函数，也不是偶函数。理由：它的定义域是 [0, +∞)，不关于原点对称——例如 1 在定义域内，−1 却不在。定义域不对称，奇偶性就无从谈起。 （3）f(x) = 的定义域是 [0, +∞)，且在 [0, +∞) 上单调递增。 由 f(a + 3) > f(1 − 2a) 得 a + 3 > 1 − 2a，解得 a > −。 又要求 a + 3 与 1 − 2a 都在定义域内，即 a + 3 ≥ 0 且 1 − 2a ≥ 0，解得 a ≥ −3 且 a ≤ 。 取交集得 − < a ≤ ，所以 a 的取值范围是 (−, ]。 学科网（北京）股份有限公司 $