1.3.1等比数列课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第二册

第一章 数列 1.3.1 课时1 等比数列的概念及其通项公式 问题1：拉面的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条. 这样拉抻、捏合 8 次后可拉出多少根细面条？ 第 1 次：1（根）； 第 2 次：2×1 = 2（根）； 第 3 次：2×2 = 22 = 4（根）； ··· 第 8 次：2×26 = 27 = 128（根）. 思考：观察上述拉面过程中面条的根数，说说你有什么发现？ 发现：前 8 次面条的根数构成数列 ①：1，2，4，8，16，32，64，128. 规律：对于数列 ①，从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都是 2，且这个比值是一个与项数 n 无关的常数. 第 1 次：1（根）； 第 2 次：2×1 = 2（根）； 第 3 次：2×2 = 22 = 4（根）； ··· 第 8 次：2×26 = 27 = 128（根）. 等比数列的概念 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比值都是同一个常数，那么称这样的数列为等比数列，称这个常数为等比数列的公比，用字母 q 表示（q ≠ 0）. 例：数列 ① 的公比 q1 = 2. 公比 = 练一练1：判断下列数列是否是等比数列；如果是，写出它的公比. （1）3，9，15，21，27，33； （2）1，1.1，1.21，1.331，1.4641； （3）4，– 8，16，– 32，64，– 128. 解：（1）不是；∵ ≠ ，即后一项与前一项的比不等于同一个常数； （2）是；∵ = = = = 1.1 = q； （3）是；q = – 2. 问题 2：如果已知一个数列是等比数列，且已知它的首项 a1 和公比 q，怎样求出它的通项公式？ 根据定义可得：an+1 = an · q， 故 a2 = a1 · q ， a3 = a2 · q = (a1 · q) · q = a1 · q2， a4 = a3 · q = (a1 · q2) · q = a1 · q3， ··· 归纳可得：an= a1 · qn – 1（n ≥ 2）. 又 a1= a1 · q0 = a1 · q1 – 1，即当 n = 1 时，上式同样成立. 首项为 a1，公比为 q 的等比数列{an}的通项公式为： an= a1 · qn – 1 (a1 ≠ 0，q ≠ 0). 例 1：若等比数列{an}的第 4 项和第 6 项分别为 48 和 12，求{an} 的第 5 项. 的两边同时除以 ① 的两边，得：q2 = ， 解得：q = 或 – . 把 q = ± 代入 ① 中，得：a1 = ±384， 又 a5= a1 · q4， ∴ a5= 24 或 – 24. 解：由 a4 = 48，a6 = 12，得： ① ② ∴ {an} 的第 5 项是 24 或 – 24. 基本量法求等比数列某一项步骤： ① 设：a1，q； ② 列：列关于 a1，q 方程组； ③ 解：a1，q； ④ 回代：求某项. 练一练2：已知{an}是一个公比为 q 的等比数列，完成下表. a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 50 4 0.08 16 0.0032 或 – 问题 3：类比等差数列与一次函数的关系，猜想等比数列的通项公式与哪类函数有关？ 由 an = · qn 可知：当 q > 0 且 q ≠ 1 时，等比数列 {an} 的第 n 项 an 是指数函数 f (x) = · qx (x∈R) 当 x = n 时的函数值，即 an = f (n)（如图）. f (x) O x 3 4 5 1 2 a1 (1, a1) (2, a2) (3, a3) (4, a4) (5, a5) f (x) = · qx (x∈R) a5 a3 a2 a4 任给指数函数 f (x) = kax (k，a为常数，a > 0且a ≠ 1)，则 f (1) = ka，f (2) = ka2，…， f (n) = kan，··· 构成一个等比数列{kan}，其首项为 ka，公比为 a. 1. 等比数列的定义是什么？什么是等比中项？ 3. 仔细说说，等比数列与指数函数的关系？ 回顾：结合本节课所学，回答下列问题 ？ 2. 等比数列的通项公式有什么意义？ 课时2 等比中项及等比数列的应用 首项为 a1，公比为 q 的等比数列{an}的通项公式为： an= a1 · qn – 1 (a1 ≠ 0，q ≠ 0). 回顾：等比数列的通项公式. 情 景 导 入 问题 1：类比指数函数的性质，探究公比不同情况下的等比数列的单调性. a1 a1 > 0 a1 < 0 q 的范围 0 < q < 1 q = 1 q > 1 0 < q < 1 q = 1 q > 1 图象 等比数列 {an} 的 单调性 单调递减 不变 单调递增 单调递增 不变 单调递减 an O x q > 1 0 < q < 1 q = 1 q > 1 0 < q < 1 q = 1 an O x 问 题 探 究 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 练一练1：判断下列数列是不是等比数列，并分析数列的增减性. （1）1，3，5，7，9，… （2）8，4，2，1， （3）4，4，4，4，4，4，4，… （4）1，-1，1，-1，1，-1，1，… 不是等比数列； 是，公比 q = ； 是，公比 q = 1； 是，公比 q = -1； 当 堂 检 测 问题 2：若 G2 = ab，则 a，G，b 是否成等比数列？ 若 G2 = ab = 0，则 a，G，b 不成等比数列. 若 G2 = ab ≠ 0，则 ，由等比数列的定义可知，a，G，b 成等比数列； 等比中项：如果在 a 与 b 之间插入一个数 G，使得 a，G，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义， ，我们称 G 为 ab 的等比中项. 在一个等比数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项. 问 题 探 究 例1：在等比数列 {an} 中，a1a3 = 36，a2 + a4 = 60. 求 a1 和公比 q . 解：∵ a2 是 a1 与 a3 的等比中项，∴ a22 = a1 · a3 = 36，即 a2 = 6 或 – 6； 又∵ a2 + a4 = 60， 当 q = 3 时，a1 = 2；当 q = – 3 时，a1 = – 2； ∴ ② 当 a2 = – 6 时，a4 = 66； ∴ ① 当 a2 = 6 时，a4 = 54，∴ q2 = 9，即 q = 3 或 – 3； 综上，a1 = 2，q = 3 或 a1 = – 2，q = – 3. 在等比数列中 a2，a4 符号一致，故 a2 = – 6 舍去； 注意：等比数列问题多解情况时，有时要通过隐含条件取舍. a2 = a1·q a4 = a1·q3 符号一致 典 型 例 题 问题 3：若一个等比数列的前五项为：1，2，4，8，16，可以发现以下规律：a1·a5 = a2·a3 = a4·a4， 即在等比数列{an}中，若 m + n = p + q (m，n，p，q∈N+)，则am·an = ap·aq. 试着利用等比数列的定义，证明上述结论. 已知等比数列{an}的通项公式为 an= a1 · qn – 1 (a1 ≠ 0，q ≠ 0)，将公式代入 am·an = ap·aq可得： a1 · qm – 1 · a1 · qn – 1 = a1 · qp – 1 · a1 · qq – 1 因为 a1 ≠ 0，所以 qm – 1 · qn – 1 = qp – 1 · qq – 1 根据指数的运算性质 qm + n – 2 = qp + q – 2 因为 q ≠ 0，所以 m + n = p + q 即在等比数列{an}中，若 m + n = p + q (m，n，p，q∈N+)，则am·an = ap·aq. 问 题 探 究 等比数列的性质 在等比数列{an}中，若 m + n = p + q (m，n，p，q∈N+)，则 am·an = ap·aq. ② 对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即 a1·an = a2·an - 1 = … = ak·an - k + 1 = …；如 a4·a6 = a3·a7 = a2·a8. ① 特别地，当 m + n = 2k (m，n，k∈N*) 时，am·an = ak2，ak 为 am·an 的等比中项；如 a4·a6 = a52. a4·a8 = a62. 知 识 梳 理 练一练2：如果 -1，a，b，c，-9 成等比数列，那么下列选项正确的是 (　　) A. b = 3，ac = 9 B. b = -3，ac = 9 C. b = 3，ac = -9 D. b = -3，ac = -9 B 技巧分析：① 等比数列“等距离”的两项之积相等，如 a·c = b2 = -1×(-9)； ② 等比数列间隔项的符号相等，如 a1，a3，a5； 当 堂 检 测 解：（1）因为 2an = 3an+1，且 an ≠ 0，所以 ， 又 a2a5 = ，则 a1q·a1q4 = ，即 故数列 {an} 是公比 q = 的等比数列， 又数列各项为负数，则 a1 = ，所以 an = . 例2：在各项为负数的数列 {an} 中，已知 2an = 3an+1，且 a2a5 = . （1）求证：数列 {an} 是等比数列，并求出它的通项公式； （2）试问 是数列 {an} 中的项吗？如果是，指出是 {an} 中的第几项；如果不是，请说明理由. 典 型 例 题 （2）设 ，由等比数列的通项公式得， 根据指数函数的性质，得 4 = n-2，即 n = 6， 因此， 是数列 {an} 的第 6 项. ，即 ， （2）试问 是数列 {an} 中的项吗？如果是，指出是 {an} 中的第几项；如果不是，请说明理由. 典 型 例 题 例3：据报载，在 20 世纪 80 年代末，中美洲地区毁林严重，森林面积还剩1.9×107 hm2. 请回答以下几个问题： （1）如果以每小时平均毁林约 48 hm2 计算，剩下 的森林经过多少年将被毁尽？(1年按365天计) 解：（1）如果每小时平均毁林约 48 hm2，则每年平均毁林 48×24×365 = 420 480 （hm2）， 列出比式 ，故剩下的森林大约经过 45 年将被毁尽. 典 型 例 题 （2）根据（1）计算出的年数 n，如果以每年 3.6% ~ 3.9% 的速度减少，计算 n 年后还剩的森林面积 (结果写成 a×10n (l ≤ a < 10，n∈N+) 的形式，a 精确到0. 01). （2）若以 3.6 % 的速度减少，45 年后还剩的森林面积为 1.9×107 ×(1-3.6%)45 ≈ 3.65×106（hm2）； 若以 3.9 % 的速度减少，45 年后还剩的森林面积为 1.9×107 ×(1-3.9%)45 ≈ 3.17×106（hm2）. 典 型 例 题 （3）若按 3.6 % 的速度减少，计算经过 150 年后、经过 200 年后、经过 250 年后及经过 300 年后森林面积的情况，经过多少年森林将被毁尽？ （3）1.9×107×(l-3.6%)150 ≈ 77680（hm2）；1.9×107×(l-3.6%)200 ≈ 12421（hm2）； 1.9×107×(l-3.6%)250 ≈ 1986（hm2）； 1.9×107×(l-3.6%)300 ≈ 318（hm2）； 1.9×107×(l-3.6%)512 ≈ 0.134（hm2）. 经过 150 年后，约剩 77 680 hm2； 经过 200 年后，约剩 12 421 hm2； 经过 250 年后，约剩 1 986 hm2； 经过 300 年后，约剩 318 hm2； 经过 512 年后，约剩 0.134 hm2，森林几乎毁尽. 典 型 例 题 根据今天所学，回答下列问题： 1. 等比数列中等比中项是什么？ 2. 等比数列的性质有哪些？ 课 堂 总 结 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $