第1章 第4节 数列的应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦数列的应用，涵盖银行计息、零存整取、分期付款等经济模型及递推数列综合问题。通过存款、贷款等实际问题导入，衔接等差、等比数列知识，搭建从理论到实践的学习支架。 其亮点在于结合生活实例，如教育储蓄计算本利和、分期付款模型，培养学生用数学眼光观察现实、用模型意识解决问题的能力。通过知识辨析和典例解析强化理解，助力学生提升应用与推理能力，为教师提供系统教学资源。

　以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息之和(即本利和). 知识点 1 银行的两种计息方式 §4　数列的应用 必备知识 清单破 1.单利:单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.单利的 计算公式是S=P(1+nr). 2.复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生 的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S=P(1+r)n. 第一章 数列 高中同步 　每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整 取.规定每次存入的钱不计复利.若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,则到 期整取时本利和S=nx+ x=x 元. 知识点 2 零存整取模型 第一章 数列 高中同步 知识点 3 分期付款 1.分期付款模型 (1)分期付款中,一般规定每期付款金额相同,每期付款的时间间隔相同. (2)分期付款中,利息按复利计算,即上期的利息要计入下期的本金中. (3)分期付款中,贷款(或商品价值)在其付清之前,会随时间推移而不断增值,即分期付款的总 额高于一次性付款的总额. 第一章 数列 高中同步 2.两种分期付款的月还款数额 等额本息 每月还款金额=[贷款本金×月利率×(1+月利率)^还款月数]÷[(1+月利率)^还款月数-1] 等额本金 每月还款金额=(贷款本金÷还款月数)+(本金-已归还本金累计额)×每月利率 　　注:a^b表示ab. 第一章 数列 高中同步 　解答数列应用问题的核心是建立数学模型,有关增长率、利率以及分期付款等实际问 题,常利用数列知识建立模型.常用的数学模型有: (1)等差数列模型:一般地,如果增加(或减少)的量是同一个固定的量,那么该模型是等差数列 模型,增加(或减少)的量就是公差,其一般形式是an+1-an=d(d为常数); (2)等比数列模型:一般地,如果增加(或减少)的量是同一个固定的百分数,那么该模型是等比 数列模型,1加上(或减去)增加(或减少)的百分数就是公比; (3)生长模型:如果某一个量每一期以同一个固定的百分数增加(或减少),同时又以同一个固 定的量增加(或减少),那么称该模型为生长模型,如分期付款问题,树木的生长与砍伐问题等; (4)递推数列模型:如果容易找到该数列的任意一项an(n≥2)与它的前一项an-1(或前几项)间的 递推关系,那么可以用递推数列的知识求解. 知识点 4 数列的其它应用 第一章 数列 高中同步 1.同一笔钱用单利和复利计算的收益相同吗? 知识辨析 2.零存整取储蓄业务的数学模型是等差数列吗? 3.分期付款是一种常见的经济现象,其是否涉及指数函数和数列的知识? 4.分期付款是用单利还是用复利计算利息? 第一章 数列 高中同步 1.不相同.单利每期的本利和构成等差数列,复利每期的本利和构成等比数列. 一语破的 2.是. 3.是. 4.复利. 第一章 数列 高中同步 　　等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.例如,存款、贷款、购物(房、 车等)分期付款、保险、资产折旧等问题都与其相关.遇到此类问题,准确理解题意,构建等差 或等比数列模型是解题的关键. 定点 1 数列在日常经济生活中的应用 关键能力 定点破 第一章 数列 高中同步 小明今年上高中,小明的爸爸为他办理了“教育储蓄”.从8月1日开始,每个月的1日都 存入1 000元,共存三年.(“教育储蓄”“零存整取”均不按复利计算) (1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率为2.7‰,则3年后小明考上大学的时候,小明的爸爸 可从银行一次性支取多少元? (2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰,则小明的爸爸办理“教育储 蓄”比“零存整取”多收益多少元? 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)每1 000元“教育储蓄”存一个月得到的利息是1 000×2.7‰=2.7(元), 第1个1 000元存36个月,得利息2.7×36元, 第2个1 000元存35个月,得利息2.7×35元, …… 第36个1 000元存1个月,得利息2.7×1元, 因此,3年后小明的爸爸将获得利息2.7×36+2.7×35+…+2.7×1=2.7×(36+35+…+1)=2.7×  =1 798.2(元), 所以3年后小明的爸爸可从银行一次性支取1 000×36+1 798.2=37 798.2(元). (2)每1 000元“零存整取”存一个月得到的利息是1 000×1.725‰=1.725(元), 因此,若是“零存整取”,3年后,小明的爸爸获得的利息为1.725×36+1.725×35+…+1.725×1=1. 725× =1 148.85(元), 1 798.2-1 148.85=649.35(元). 所以小明的爸爸办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益649.35元. 第一章 数列 高中同步 　　递推数列与概率的综合是一种常见题型,对于这类题型,要先构建递推关系,设事件在第n 步时的概率为Pn,找出Pn与Pn-1(n≥2)之间的关系,再求初始条件,如n=1,2时的概率,最后解递推 公式,利用概率性质化简得结果. 定点 2 递推数列与概率的综合 第一章 数列 高中同步 棋盘上标有第0,1,2,…,100站,棋子开始时位于第0站,棋手抛掷一枚质地均匀的硬币走 跳棋游戏.若掷出正面,则棋子向前跳出一站;若掷出反面,则棋子向前跳出两站,直到跳到第99 站或第100站时,游戏结束.设棋子跳到第n站的概率为Pn. (1)抛掷硬币3次后,求棋手所走站数之和X的分布列与数学期望; (2)证明:Pn+1-Pn=- (Pn-Pn-1)(1≤n≤98); (3)求P99,P100的值. 典例 第一章 数列 高中同步 解析    (1)由题意得X的可能取值为3,4,5,6, P(X=3)= = , P(X=4)=  = , P(X=5)=  = , P(X=6)= = , ∴X的分布列为 X 3 4 5 6 P         第一章 数列 高中同步 ∴E(X)=3× +4× +5× +6× = . (2)证明:根据题意,棋子要到第(n+1)站有两种情况, 由第n站跳1站到第(n+1)站,其概率为 Pn; 由第(n-1)站跳2站到第(n+1)站,其概率为 Pn-1, 所以Pn+1= Pn+ Pn-1. 等式两边同时减去Pn,得Pn+1-Pn=- Pn+ Pn-1=- (Pn-Pn-1)(1≤n≤98). (3)由题意及(2)可得P0=1,P1= ,P2= P1+ P0= . 由(2)可知,数列{Pn+1-Pn}是首项为P2-P1= ,公比为- 的等比数列, 第一章 数列 高中同步 ∴Pn+1-Pn= · = , ∴P99=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+…+(P99-P98) = + + +…+  = + =  , 又P99-P98= =- , 所以P98=  , 因为跳到第99站时,游戏结束, 所以P100= P98=  . 第一章 数列 高中同步 $