第1章 3.2 第2课时 等比数列前n项和的综合应用(习题课)（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（北师大版）

第一章　数列 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 §3　等比数列 §3．2　等比数列的前n项和 第2课时　等比数列前n项和的综合应用(习题课) 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 目录 contents Part 01 课 前 预 习 课 堂 互 动 Part 02 课时作业（十） Part 03 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 前 预 习 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 常 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课 堂 互 动 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 课时作业（十） 点击进入word 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 谢谢观看 第一章　数列 选择性必修第二册 数学 学习目标 素养要求 1.通过实例理解并掌握数列求和的常用方法． 2．能综合运用等比数列的知识解决一些实际问题． 1.通过数列求和培养数学运算、逻辑推理的核心素养． 2．通过等比数列知识的实际应用，提升数学建模的核心素养． [自主梳理] 知识点一　从函数的角度认识等比数列的通项公式 [问题]　已知数列{an}的通项公式为an＝2n-1. (1)作出数列{an}的图象． (2)指出数列{an}的增减性． 答：(1)显然数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．又an＝2n-1＝ eq \f(1,2)×2n.其图象为 (2)数列{an}为递增数列． ►知识填空 从函数角度认识等比数列 (1)等比数列的图象 等比数列{an}的通项公式an＝a1qn-1，还可以改写为an＝ eq \f(a1,q)·qn，当q≠1，且a1≠0时，y＝qx是一个指数函数，而y＝ eq \f(a1,q)·qx是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此等比数列{an}的图象是函数y＝ eq \f(a1,q)·qx的图象上一些孤立的点． (2)等比数列的增减性 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 ①当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))时，等比数列{an}为递增数列； ②当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))时，等比数列{an}为递减数列； ③当q＝1时，等比数列{an}为 数列(这个常数列中各项均不等于0)； ④当q<0时，等比数列{an}的所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但是奇数项与偶数项异号． 显然等比数列的单调性要比等差数列的单调性复杂得多． 知识点二　错位相减法 ►知识填空 错位相减法求和的步骤 　步骤1→写出Sn＝a1＋a2＋…＋an； 步骤2→等式两边同乘等比数列的公比q，即qSn＝qa1＋qa2＋…＋qan(q≠1)； 步骤3→两式错位相减转化成等比数列求和； 步骤4→两边同除以1－q，求出Sn. [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列{22-n}是递减数列．(　　) (2)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2n＋1,3n)))的前n项和不能用错位相减法求和．(　　) (3)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,n(n＋1))))的前5项和为 eq \f(4,5).(　　) (4)数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n)))的最大值为 eq \f(1,4)，最小值为－ eq \f(1,2).(　　) 提示：：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n-1，…的前99项和为(　　) A．2100－101　　　 　　B．299－101 C．2100－99 D．299－99 解析：选A　由数列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n-1＝ eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1， 所以，前99项的和为S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝ eq \f(2(1－299),1－2)－99＝2100－101. 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中 的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 解析：选B　每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列， 记为{an}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2， 依题意，得 eq \f(a1(1－27),1－2)＝ 381，解得a1＝3. 4．已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2 ＋a4，则数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前4项和为________． 解析：∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4， ∴3q2＝2q＋q3. 又∵q≠1，∴q＝2，∴an＝2n-1， ∴ eq \f(1,anan＋1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up12(2n－1)， 即 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))是首项为 eq \f(1,2)，公比为 eq \f(1,4)的等比数列， ∴数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前4项和为 eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))\s\up12(4))),1－\f(1,4))＝ eq \f(85,128). 答案： eq \f(85,128) 题型一　等比数列前n项和的实际应用 [例 1]　我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而莞草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和莞草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第_______天，蒲草和莞草高度相同．(已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，结果精确到0.1) 解：设第n天蒲草和莞草高度相同． 由题意可得 eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝ eq \f(2n－1,2－1)，即2n＋ eq \f(6,2n)＝7， 解得2n＝6，2n＝1(舍去). 所以n＝ eq \f(lg 6,lg 2)＝1＋ eq \f(lg 3,lg 2)≈2.6. 所以估计第2.6日蒲草和莞草高度相同． 答案：2.6 [反思感悟] 应用等比数列前n项和公式解决 实际问题的步骤 (1)构建数列模型． (2)由题设确定数列为等比数列，并求公比q，或建立数列递推关系，并化归为等比数列，求出公比q. (3)利用等比数列前n项和公式进行计算． 　　国家计划在西部地区退耕还林6 370万亩，2015年底西部已退耕还林的土地面积为515万亩，以后每年退耕还林的面积按12%递增．试问从2015年底，到哪一年底西部地区才能完成退耕还林计划？(1.128≈2.476，1.127≈2.211)(精确到年) 解：设从2015年底起以后每年的退耕还林的土地依次为a1，a2，a3，…，an万亩． 则a1＝515(1＋12%)，a2＝515(1＋12%)2，…， an＝515(1＋12%)n，…． Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝ eq \f(515(1＋0.12)(1－1.12n),1－1.12)＝6 370－515， 所以515×1.12×(1.12n－1)＝5 855×0.12， 即1.12n≈2.218. 又因为n∈N＋，当n＝7时，1.127≈2.211，此时完不成退耕还林计划，所以n＝8. 故到2023年底西部地区才能完成退耕还林计划． 题型二　错位相减法求和 [例 2]　已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N＋)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3 ＝12，b3＝a4－2a1 ，S11＝11b4. (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N＋). 解：(1)设等差数列{an}的公差为d， 等比数列{bn}的公比为q. 由已知得：b2＋b3＝12，即b1(q＋q2)＝12， 又b1＝2，所以q2＋q－6＝0， 因为q>0，所以q＝2，所以bn＝2n. 由b3＝a4－2a1，S11＝11b4， 得3d－a1＝8，a1＋5d＝16， 联立解得，a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2， 所以，{an}和{bn}的通项公式分别为an＝3n－2，bn＝2n. (2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn， 由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n-1， 有a2nb2n－1＝(3n－1)×4n， 故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n， 4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n+1， 上述两式相减，得－3Tn ＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n+1 ＝ eq \f(12×(1－4n),1－4)－4－(3n－1)×4n+1 ＝－(3n－2)×4n+1－8. 得Tn＝ eq \f(3n－2,3)×4n+1＋ eq \f(8,3). 所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为 eq \f(3n－2,3)×4n+1＋ eq \f(8,3). [反思感悟] 错位相减法求和的注意点 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N*). (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)证明：由已知，得(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)＝1(n≥2，n∈N*)， 即an＋1－an＝1(n≥2，n∈N*)，且a2－a1＝1. ∴数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n＋1. (2)由(1)知bn＝(n＋1)·3n，则 Tn＝2·3＋3·32＋4·33＋…＋n·3n-1＋(n＋1)·3n，① 3Tn＝2·32＋3·33＋4·34＋…＋n·3n＋(n＋1)·3n+1，② ①－②，得－2Tn＝2·3＋32＋33＋34＋…＋3n－(n＋1)·3n+1＝3＋ eq \f(3(1－3n),1－3)－(n＋1)·3n+1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3n－\f(3,2)))·3n＋ eq \f(3,2)， ∴Tn＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)n＋\f(3,4)))·3n－ eq \f(3,4). 题型三　分组求和法 [例 3]　在等比数列{an}中，已知a1＝3，公比q≠1；等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a2，b13＝a3. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式； (2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前n项和Sn. 解：(1)设等差数列{bn}的公差为d. 由已知，得a2＝3q，a3＝3q2，b1＝3，b4＝3＋3d，b13＝3＋12d， 故 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3q＝3＋3d，,3q2＝3＋12d，)) 解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝3，,d＝2，))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(q＝1，,d＝0.))(舍去) 所以an＝3n，bn＝2n＋1. (2)由题意，得cn＝(－1)nbn＋an＝(－1)n(2n＋1)＋3n， 当n为偶数时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n-1(2n－1)＋(－1)n(2n＋1)]＋3＋32＋…＋3n＝n＋ eq \f(3n+1,2)－ eq \f(3,2)＝ eq \f(3n+1,2)＋n－ eq \f(3,2)； 当n为奇数时，Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[(－1)n-2(2n－3)＋(－1)n-1(2n－1)]＋(－1)n(2n＋1)＋3＋32＋…＋3n＝(n－1)－(2n＋1)＋ eq \f(3n+1,2)－ eq \f(3,2)＝ eq \f(3n+1,2)－n－ eq \f(7,2). 所以Sn＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3n+1,2)＋n－\f(3,2)，n为偶数，,\f(3n+1,2)－n－\f(7,2)，n为奇数．)) [反思感悟] 分组转化法求和的常见类型 (1)an＝bn±cn，{bn}，{cn}为等差或等比数列． (2)an＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(bn，n为奇数，,cn，n为偶数，)){bn}，{cn}为等差或等比数列． [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 　已知数列{an}的前n项和Sn＝ eq \f(n2＋n,2)，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ eq \f(n2＋n,2)－ eq \f((n－1)2＋(n－1),2)＝n. a1＝1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝ eq \f(2(1－22n),1－2)＝22n+1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n+1＋n－2. [课堂小结] 1．等比数列{an}的图象是函数y＝ eq \f(a1,q)·qx的图象上一些孤立的点，因此可借助函数y＝ eq \f(a1,q)·qx来研究数列{an}的增减性． 2．求数列的前n项和，一般有下列几种方法． (1)错位相减法 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (2)分组求和法 把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)奇偶并项法 当数列通项中出现(－1)n或(－1)n+1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论． $$