精品解析：重庆市西南大学附属中学校2027届高三上学期九月联合诊断考试数学试题

高2027届高三上学期九月联合诊断考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为在上单调递增，所以由可得， 故充分性成立； 若为负数，则无意义，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】分子分母同乘分母的共轭复数实现分母实数化，求出对应的点的坐标后判断对应点所在象限. 【详解】. 所以复数对应的点为，横坐标，纵坐标均为负数，该点位于第三象限. 3. 已知点，，则与方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由、，可得： . 又. 所以与方向相反的单位向量为. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以， 根据余弦定理有， 根据正弦定理有， 因为，， 则有， 因此. 5. 若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 令，得，所以切点坐标为， 代入曲线得，所以. 6. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系得到和的关系，利用基本不等式得到的最大值. 【详解】因为不等式的解集为，所以二次函数图象开口向上，所以， 方程的两个根为，， 所以，解得，， 因此， 因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，最大值是. 7. 已知是定义在上的函数，且，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期为且为偶函数，再求得，，据此可得． 【详解】，， 又，则， ，即函数的周期为， ，即函数为偶函数， 由可得，，又，可得， ，则， ． 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先由判定单调递增，把等价转化为，再构造并用导数研究其单调性，由"先增后减且两端趋于、峰值大于零"得出两个零点. 【详解】的定义域为，，故在上单调递增. 对单调递增的函数，若，则； 若同理可得，所以当且仅当. 于是的零点个数即为（）的零点个数. ，当时，当时. 所以在上单调递增、在上单调递减，最大值为. 又当时，当时， 故在与上各有一个零点，共个. 所以函数的零点个数为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】选项：取特殊值，，满足，此时，，可得，错误； 选项：由可得，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，可得，该不等式恒成立，正确； 选项：取特殊值，，满足，此时，，可得，错误； 选项：指数函数是定义域为的增函数，当时，必然有，正确. 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合五点法作图求出函数的解析式，进而求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质逐项求解判断. 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 11. 如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（ ） A. 点到直线的距离为定值 B. 的最小值为 C. D. 有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】以为原点建系，设，根据重心坐标公式判断A；利用坐标计算模长，再结合基本不等式求最值判断B；利用极化恒等式判断C；利用坐标计算，再结合不等式求最值判断D. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，则， 因为，所以， 因为为的重心，所以，故点到直线的距离为定值， 故A正确； 因为，所以， 等号成立时， 故的最小值为，则B错误； 设交于点，所以为线段的中点， 则， 同理， 所以，故C正确； 因为， 所以 ，等号成立时， 则有最大值，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】， ，则不是空集， 由于，故且，解得. 13. 已知，且，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先缩小的范围，从而求出，再求出，再由结合两角和的正弦公式求出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 则， ， . 14. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合数量积的运算律及投影向量的定义求解. 【详解】在中，，，为与的交点， 设，即，即， 则， 因为、、三点共线，设，即， 所以， 因为、不共线，所以， 于是，解得，因此， 又，则向量在上的投影向量的模长 ， 当且仅当时取等号，故此时. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了了解周末学生课外阅读的情况，选取了400名学生的课外阅读时间进行分析，将所得数据按照，，，，，分组，得到以下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值并估计400名学生周末课外阅读时间的平均数以及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （2）从周末课外阅读时间超过的同学中，按照，，的人数比例，采用分层随机抽样抽取12人，再从12人中随机抽取2人进行阅读分享，求这2人的课外阅读时间都在的概率． 【答案】（1），，中位数为 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的特征求即可，根据平均值和中位数的求解方式计算； （2）先由分层抽样计算出各组抽样人数，再利用组合数求概率． 【小问1详解】 由图可知：，解得； ， 的频率为；的频率为； 中位数在之间，等于； 【小问2详解】 的频率为，的频率为， 的频率为， 抽取12×人，抽取12×人， 抽取12×人 从12人中随机抽取2人进行阅读分享， 这2人的课外阅读时间都在的概率为． 16. 已知分别为三个内角的对边，且； （1）求C； （2）若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）；利用正弦定理及两角差的正弦公式化简得到，再根据辅助角公式得，解方程即可求解； （2）根据结合三角形的面积公式得到，利用余弦定理求出，结合基本不等式即可求出答案. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 又， 则， 所以， 因为，所以，故， 即， ，，. 【小问2详解】 由题可知：， 即，即； 由余弦定理知：， 即，当且仅当时取等， ， 即，当且仅当时等号成立， 所以线段长度的最大值为. 17. 如图，四棱锥中，，底面，，且，，． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）底面，平面， ； 在四边形中，，，， ， ； 在中，， ， ，且，平面． 平面； （2）存在， 【解析】 【分析】小问（1）运用线面垂直的判定定理；小问（2）根据第一问建立空间直角坐标系得出相关坐标点及相关向量再设，因为P，E，C三点共线，所以求出就是题目的比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图建立空间直角坐标系，由题可知：，，， ，，，，； ，，， 设，； 设平面的法向量为，则， 所以平面的一个法向量为，，； 由题可得平面的一个法向量为；设二面角的平面角为， 解得所以 18. 已知函数，，． （1）若函数的导函数为，当时，试讨论的单调性； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）关于x的方程的两根，满足，且，求的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分为和两种情况，分别讨论的正负，从而得到的单调性； （2）分为和两种情况，结合导数证明时成立，时不成立，即可求出答案； （3）对方程进行转化得到，通过构造函数说明，令，即，构造函数求出的值域即可求出的取值范围. 【小问1详解】 ．①当时，由， 由， 在单调递减，在单调递增 ②当时，．由或，由， 在和上单增，在上单减 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 即， 1°当时，， 令，． 则，在单减． ，故恒成立． 即符合题意． 2°当时，令，． 则， 令在上单调递减． 又，是连续的， ，使得当时，有．在上单调递增． 当时，． 在上单调递增．故当时，．不符合题意． 综上，实数m的取值范围为． 【小问3详解】 等价于， 等价于， 由题意知， 令， 令，解得，令，解得， 在在单调递减，在在单调递增． ， 设， 在上单调递增， 所以． 于是． 令，则．，即． 令．则， 令． 则． 在单调递增． ．在上单调递增， ． 在上单调递增． 又．当时，． ．． 19. 已知椭圆经过点，过左焦点且垂直于长轴的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，不垂直于坐标轴的直线经过点，且与椭圆相交于点，． ①若直线的斜率是直线的斜率的倍，试探究是否为定值．若是，求出该定值，若不是，求出的取值范围； ②已知直线经过点，过点作直线，使得，且与椭圆相交于点，，设点，均位于轴上方，直线与交于点．若，，求面积的最小值． 【答案】（1）； （2）①是，定值为；②. 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出方程，求得，即可得椭圆方程； （2）①直线与椭圆联立，结合韦达定理和斜率公式，化简整理即可求解；②将直线和椭圆联立，根据韦达定理，将弦长表示出来，再结合三角形面积公式和不等式性质，即可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由题知，，所以， 所以椭圆方程为． 【小问2详解】 ①设直线，，， 联立，化简得， 由韦达定理且， 又，， 所以 所以 ， 所以为定值3． ②由题意，，， 所以 由①知，，， 所以 用换有， 所以， 取等条件：，解得． 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高三上学期九月联合诊断考试 数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整． 3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生留存，以备评讲）． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知点，，则与方向相反的单位向量为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线相切，则实数a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的函数，且，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（ ） A. B. 函数在上有个极值点 C. 函数在区间上的最大值为，最小值为 D. 函数在区间上单调递增 11. 如图，已知四边形是边长为3的正方形，点为线段上靠近点的三等分点，点分别为线段和线段上的两个动点（不含端点），且满足，点为的重心，则（ ） A. 点到直线的距离为定值 B. 的最小值为 C. D. 有最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，且，则实数a的取值范围为__________． 13. 已知，且，则__________． 14. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校为了了解周末学生课外阅读的情况，选取了400名学生的课外阅读时间进行分析，将所得数据按照，，，，，分组，得到以下频率分布直方图： （1）求频率分布直方图中a的值并估计400名学生周末课外阅读时间的平均数以及中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）； （2）从周末课外阅读时间超过的同学中，按照，，的人数比例，采用分层随机抽样抽取12人，再从12人中随机抽取2人进行阅读分享，求这2人的课外阅读时间都在的概率． 16. 已知分别为三个内角的对边，且； （1）求C； （2）若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 17. 如图，四棱锥中，，底面，，且，，． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点E，使得二面角的平面角的正弦值为；若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，，． （1）若函数的导函数为，当时，试讨论的单调性； （2）当时，，求实数m的取值范围； （3）关于x的方程的两根，满足，且，求的取值范围． 19. 已知椭圆经过点，过左焦点且垂直于长轴的弦长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右顶点为，不垂直于坐标轴的直线经过点，且与椭圆相交于点，． ①若直线的斜率是直线的斜率的倍，试探究是否为定值．若是，求出该定值，若不是，求出的取值范围； ②已知直线经过点，过点作直线，使得，且与椭圆相交于点，，设点，均位于轴上方，直线与交于点．若，，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $