6.1 用树状图或表格求概率 同步讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦“用树状图或表格求概率”核心知识点，系统梳理游戏公平性判断（计算事件概率比较大小）、概率公式应用（随机事件、必然事件、不可能事件概率）、几何概率（长度或面积等测度比）、列表法与树状图法（列举所有可能结果）的递进学习支架，构建从概念到方法再到应用的完整知识脉络。 该资料以题型为纲，典例与变式结合，融入抢凳子、航天竞赛等生活情境，通过具体实例培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，借助列表与树状图训练数学思维中的推理能力，几何概率题强化几何直观。课中辅助教师分层教学，课后过关验收助力学生查漏补缺，提升概率计算与应用能力。

6.1 用树状图或表格求概率 内 容 导 航 题型1 游戏公平性 题型2 概率公式 题型3 几何概率 题型4 列表法与树状图法 考 点 演 练 题型1 游戏公平性 解｜题｜知｜识 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率． 【典例1】在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【变式1】小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【变式2】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【变式3】“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 题型2 概率公式 解｜题｜知｜识 （1）随机事件A的概率P（A）． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【典例1】2026年元旦假期在即，九年级学生小明要从即将上映的四部国产影片：《过家家》、《寻秦记》、《用武之地》和《无名之辈：意义非凡》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《寻秦记》的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（　　） A．12 B．6 C．4 D．不能确定 【变式2】某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3】现有维生素A，维生素B1，维生素C，维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为　　 ． 题型3 几何概率 解｜题｜知｜识 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 【典例1】如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，nm，则估计图中a的值为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式2】在如图图形中进行撒豆子试验，把豆子落在区域C中的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　） A． B． C． D． 题型4 列表法与树状图法 解｜题｜知｜识 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【典例1】从实数1、、2中随机选择一个数，再从剩下的两个数中随机选择一个，则第一次选择的数大于第二次选择的数的概率为（　　） A． B． C． D． 【变式1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式2】小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 【变式3】在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让红灯发光的概率是（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．实验中学校开设的活动课程受到同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的芦苇席编织课程更是火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级5班的小俊、小珂和家乐都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小俊先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小珂再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小俊胜；若和小于4，则小珂胜；若和等于4，则家乐获胜． （1）请用列表或画树状图的方法，说明小俊参加活动课程的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？为什么？ 2．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）求抽查学生总数． （2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数） （3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 3．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的均匀的转盘做游戏（甲转盘被平均分成五份，乙转盘被平均分成三份），任意转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）求甲转盘指针指向偶数区域的概率； （2）若转得的两个数字之和为3、4或5，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 4．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则平局（即小明和小红都不胜）． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 　　 ； （2）请用列表格或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 5．如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回），小尼接着再随机地抽取一张． （1）小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是 　 ； （2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撒获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由． 6．一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 　　 ． 7．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是　 ． 8．如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是　 ． 9．小明制作了九张卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．从中随机抽取一张，所标数字恰好是2或3的倍数的概率是　 ． 10．一个口袋装有红球、黄球共50枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为，则这个口袋中有　　 个红球． 11．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　　 个． 12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 　　 ． 13．如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点的概率是　　 ． 14．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 15．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新掷一次），则击中阴影区域的概率是　 ． 16．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 　 　 ． 17．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　　 ． 18．随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在图中阴影小方格中的概率为　 　 ． 19．如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 　　 ． 20．如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 　　 ． 21．已知电流在一定时间段内正常通过每个电子元件的概率是．（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是　　 ． 22．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是　　 ． 23．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 　　　 ． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 24．“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 25．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级．其等级对应的分值分别为100分﹣91分、90分﹣81分、80分﹣71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共　　 名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是　　 人； （2）由图可知m的值为　　 ； （3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率． 26．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　 ； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 27．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到C（冲浪）的概率是 　 　 ； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是A（霹雳舞）和B（滑板）的概率． 28．某校计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查的学生共有 　　 人，并补全条形统计图；“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为 　　 度； （2）学校体育老师从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法，求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.1 用树状图或表格求概率 内 容 导 航 题型1 游戏公平性 题型2 概率公式 题型3 几何概率 题型4 列表法与树状图法 考 点 演 练 题型1 游戏公平性 解｜题｜知｜识 （1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （2）概率． 【典例1】在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【解答】解：由题意可得：要使游戏公平，那么凳子到三个人的距离相等才行， ∴凳子应放的最适当的位置是在△ABC的三边垂直平分线的交点． 故选：D． 【变式1】小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】这个游戏对双方是公平的． 【解答】解：这个游戏对双方是公平的，理由如下： 列表如下： 共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，两球编号之和为偶数的有5种结果， ∴小冰获胜的概率为，小雪获胜的概率为， ∴小冰获胜的概率＝小雪获胜的概率， ∴这个游戏对双方是公平的． 【变式2】小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：这个游戏对双方不公平．理由如下： 画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4， 所以小明胜的概率，小亮胜的概率， 而， 所以这个游戏对双方不公平． 【变式3】“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药、D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好． （1）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率． （2）小强和小刚玩游戏，在（1）的规则上，若两人抽到的卡片有指南针，则小强胜，否则小刚胜，请判断上述游戏是否公平，并说明理由． 【答案】（1）；（2）公平，理由见解答． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果有2种， 所以两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为； （2）公平， 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片有指南针的有6种结果，没有指南针的有6种结果， 所以小强胜的概率为，小刚胜的概率为， 所以此游戏公平． 题型2 概率公式 解｜题｜知｜识 （1）随机事件A的概率P（A）． （2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0． 【典例1】2026年元旦假期在即，九年级学生小明要从即将上映的四部国产影片：《过家家》、《寻秦记》、《用武之地》和《无名之辈：意义非凡》．若小明从这四部影片中随机选择两部影片观看，则这两部影片中有《寻秦记》的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设《过家家》、《寻秦记》、《用武之地》和《无名之辈：意义非凡》这四部电影分别为A、B、C、D，从中随机选择两部，所有等可能的结果有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{B，C}，{B，D}，{C，D}，共6种等可能性结果．其中包含《寻秦记》（设为B）的结果有{A，B}，{B，C}，{B，D}，共3种． 所以这两部影片中有《寻秦记》的概率是． 故选：D． 【变式1】如果一个袋子里有16个除颜色外其他完全相同的球，若摸到黑球的概率为，则可估计袋中黑球的个数为（　　） A．12 B．6 C．4 D．不能确定 【答案】A 【解答】解：设黑球的个数为x，根据题意， 得， 解得：x＝12． 所以黑球的个数为12个． 故选：A． 【变式2】某电视台举行的歌手大奖赛，每场比赛都有编号为1～10号共10道综合素质测试题供选手随机抽取作答．在某场比赛中，前两位选手已分别抽走了2号、7号题，第3位选手抽中8号题的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：前两位选手抽走2号、7号题，第3位选手从1、3、4、5、6、8、9、10共8位中抽一个号，共有8种可能， 每个数字被抽到的机会相等，所以抽中8号的概率为． 故选：B． 【变式3】现有维生素A，维生素B1，维生素C，维生素D这四种维生素，从中任选一种，若每一种被选中的可能性相同，则恰好选中可治疗维生素C缺乏症（又称坏血病）的维生素的概率为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵共有四种维生素， ∴恰好选中可治疗维生素C缺乏症维生素的概率为． 故答案为：． 题型3 几何概率 解｜题｜知｜识 所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度 简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等． 【典例1】如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a， ∴点P落在阴影部分的概率为， 故选：B． 【变式1】在如图所示的图形中随机撒一把豆子，计算落在A，B，C三个区域中的豆子数，若落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，nm，则估计图中a的值为（　　） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【解答】解：∵A区域面积为π×22＝4π（cm2），B区域面积为π×（2+2）2﹣4π＝12π（cm2）， C区域面积为π×（2+2+a）2﹣π×（2+2）2＝（8πa+πa2）（cm2）， 又∵落在这三个区域中的豆子数依次为m，n，， ∴，即n＝3m， ∴， 解得：a1＝1，a2＝﹣9（不合题意，舍去）， 故选：B． 【变式2】在如图图形中进行撒豆子试验，把豆子落在区域C中的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：落在A，B，C三个区域中的豆子数的比等于A，B，C的面积比． “豆子落在C中”记作事件A，估计A的概率P（A）的值， 故选：B． 【变式3】如图，在5×6的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵总面积为5×6＝30，其中阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影部分的概率是， 故选：A． 题型4 列表法与树状图法 解｜题｜知｜识 （1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率． （2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率． （3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图． （4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n． （5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举． 【典例1】从实数1、、2中随机选择一个数，再从剩下的两个数中随机选择一个，则第一次选择的数大于第二次选择的数的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：∵从实数中先随机选一个数，再从剩下的两个数中选一个， ∴所有等可能的结果有：、（1，2）、、、（2，1）、，共6种． ∵第一次选择的数大于第二次选择的数的情况为：、（2，1）、，共3种， ∴可得． 故选：D． 【变式1】中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》与《四元玉鉴》的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：将四部数学名著《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》分别记为A，B，C，D． 从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，作树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》的结果有2种． ∴P（恰好选中《算学启蒙》和《四元玉鉴》）． 故选：D． 【变式2】小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时C座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮和爸爸相邻而坐的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：列表如下： A B D F A （A，B） （A，D） （A，F） B （B，A） （B，D） （B，F） D （D，A） （D，B） （D，F） F （F，A） （F，B） （F，D） 共有12种等可能的结果，其中小亮和爸爸相邻而坐的结果有；（A，B），（B，A），（D，F），（F，D），共4种， ∴小亮和爸爸相邻而坐的概率为． 故选：C． 【变式3】在如图所示的电路中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让红灯发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况， ∴能让红灯发光的概率为． 故选：A． 过 关 验 收 1．实验中学校开设的活动课程受到同学的热烈欢迎，其中在九年级开设的芦苇席编织课程更是火爆，因名额有限，每班只能派一个同学参加．九年级5班的小俊、小珂和家乐都想参加，于是三人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小俊先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小珂再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小俊胜；若和小于4，则小珂胜；若和等于4，则家乐获胜． （1）请用列表或画树状图的方法，说明小俊参加活动课程的概率是多少？ （2）你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】（1）； （2）游戏公平， 由（1）可知，一共有9种等可能性的结果数，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， ∴家乐获胜的概率为，小俊获胜的概率为；小珂获胜的概率为； ∵， ∴游戏公平． 【解答】解：（1）画树状图如下所示： 两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，一共有9种等可能性的结果数， ∴小俊获胜的概率为， 答：小俊参加活动课程的概率是； （2）游戏公平；理由： 由（1）可知，一共有9种等可能性的结果数，两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和等于4的结果数有3种， ∴家乐获胜的概率为，小俊获胜的概率为；小珂获胜的概率为； ∵， ∴游戏公平． 2．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分． （1）求抽查学生总数． （2）求所抽查学生读课外书册数的平均数．（结果保留整数） （3）老师手里有1本课外读物，七、八年级两位同学都想借阅，为此九年级的一位同学设计了一个转盘游戏，如图，指针固定不动，分别旋转两个转盘，若先后两次转动出现字母A与B的混合结果，就借给七年级的同学，否则就借给八年级的同学，你认为这个游戏公平吗？为什么？ 【答案】（1）24人； （2）5册； （2）这个游戏不公平，理由见解析． 【解答】解：（1）抽查学生总数为：6÷25%＝24（人）； （2）读5册的学生人数为：24﹣5﹣6﹣4＝9（人）， ∴所抽查学生读课外书册数的平均数为（5×4+9×5+6×6+4×7）≈5（册）； （3）这个游戏不公平，理由如下： 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中出现字母A与B的混合结果有5种，不出现字母A与B的混合结果由4种， ∴借给七年级的同学的概率，借给八年级的同学的概率， ∵， ∴这个游戏不公平． 3．小明和小亮用如图所示的两个可以自由转动的均匀的转盘做游戏（甲转盘被平均分成五份，乙转盘被平均分成三份），任意转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）求甲转盘指针指向偶数区域的概率； （2）若转得的两个数字之和为3、4或5，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】（1）； （2）此游戏不公平． 【解答】解：（1）甲转盘指针指向偶数区域的概率为； （2）此游戏不公平， 理由：列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 由表可知，共有15种等可能结果，其中两次数字之和为3，4或5的有8种结果，两次数字之和不是3，4或5的有7种结果， 所以小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为， ∴此游戏不公平． 4．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则平局（即小明和小红都不胜）． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 　　 ； （2）请用列表格或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1）； （2）树状图见解析，该游戏对双方公平． 【解答】解：（1）∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 5．如图是同一副扑克牌中的两张牌“黑桃Q”和“黑桃K”，现在把这两张牌从中间剪断，分成如图的4张背面形状相同的半张牌，并背面向上混合在一起搅匀．小撤和小尼做游戏，小撤先从这4张半张牌中随机地抽取一张（不放回），小尼接着再随机地抽取一张． （1）小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是 　 ； （2）游戏规定：所抽取的两张中，能拼成一张完整的扑克牌，那么小撒获胜；否则小尼获胜，你认为这个游戏公平吗？并请用列表法或画树状图法说明理由． 【答案】（1）； （2）游戏不公平，理由见解析． 【解答】解：（1）∵小撤从这4张半张牌中随机地抽取一张， ∴小撒抽到半张“黑桃Q”的概率是， 故答案为：； （2）游戏不公平，理由如下： 设4张半张牌分别用A、a，B、b表示， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中能拼成一张完整的扑克牌的结果有4种，不能拼成一张完整的扑克牌的结果有8种， ∴小撒获胜的概率，小尼获胜的概率， ∵， ∴游戏不公平． 6．一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 　　 ． 【答案】6 【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为， ∴摸到黑球的概率为， ∵袋子中有4个黑球和n个白球， ∴由简单概率公式可得，解得n＝6， ∴白球有6个， 故答案为：6． 7．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．若从这四部著作中随机抽取1本，则抽到《论语》的概率是　 ． 【答案】 【解答】解：∵从这四部著作中随机抽取1本，共有4种等可能的结果， ∴抽到《论语》的概率， 故答案为：． 8．如图，将四种化学元素制作成无差别的卡片，从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是　 ． 【答案】． 【解答】解：根据简单的概率计算公式计算可知： 随机抽取一张卡片有4种结果，是非金属元素的结果有两种，所以从中随机抽取一张卡片，是非金属元素的概率是． 故答案为：． 9．小明制作了九张卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字．从中随机抽取一张，所标数字恰好是2或3的倍数的概率是　 ． 【答案】． 【解答】解：九张卡片，上面分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字． 是2的倍数的数字有：2，4，6，8，共4个；是3的倍数的数字有：3，6，9，共3个，但数字6同时是2和3的倍数，因此根据容斥原理，是2或3的倍数的数字个数为4+3﹣1＝6． 所以所标数字恰好是2或3的倍数的概率是． 故答案为：． 10．一个口袋装有红球、黄球共50枚，“若从中任取一球，是红球”的概率为，则这个口袋中有　　 个红球． 【答案】15． 【解答】解：这个口袋中红球有5015（个）． 故答案为：15． 11．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒中棋子的总个数是 　　 个． 【答案】12． 【解答】解：由题意：312（个）， 故答案为：12． 12．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 　　 ． 【答案】 【解答】解：蚂蚁获得食物的概率． 故答案为． 13．如图，一个小球从A点沿制定的轨道下落，在每个交叉口都有向左或向右两种机会均等的结果，小球最终到达H点的概率是　　 ． 【答案】 【解答】解：小球最终到达H点的概率是． 14．一只蚂蚁在如图所示的正方形地砖上爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由题意可得出：图中阴影部分占整个面积的， 因此一只蚂蚁在如图所示的矩形地砖上爬行，蚂蚁停在阴影部分的概率是：． 故选：B． 15．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新掷一次），则击中阴影区域的概率是　 ． 【答案】． 【解答】解：阴影部分的面积为， 根据飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值可得： 飞镖停留在阴影部分的概率是． 故答案为：． 16．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 　 　 ． 【答案】 【解答】解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a， 所以针尖落在黑色区域内的概率． 故答案为． 17．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：若将每个方格地砖的面积记为1，则图中地砖的总面积为3，其中阴影部分的面积为1， ∴该小球停留在黑色区域的概率为． 故答案为：． 18．随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在图中阴影小方格中的概率为　 　 ． 【答案】 【解答】解：∵共有9个方格，其中黑色方格占4个， ∴这枚骰子停在黑色方格中的概率是 ． 故答案为：． 19．如图，在圆形转盘中，指针转动时恰好落在阴影部分的概率为，则阴影部分的圆心角是 　　 ． 【答案】90°． 【解答】解：设圆心角的度数为x°， 根据题意得：， 解得：x＝90， 故答案为：90°． 20．如图，电路图上有3个开关S1，S2，S3和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：记S1为A，S2为B，S3为C， 列表如下： A B C A （A，B） （A，C） B （B，A） （B，C） C （C，A） （C，B） 共有6种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：（A，B），（A，C），（B，A），（C，A），共4种， ∴随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 21．已知电流在一定时间段内正常通过每个电子元件的概率是．（在一次试验中，每个电子元件的状态有两种可能：通电，断开，并且这两种状态的可能性相等）．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是　　 ． 【答案】． 【解答】解：画树状图如下： 共有4种等可能的结果，A、B之间电流能够正常通过的结果有1种， ∴概率为， 故答案为：； 22．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出1个球，则两次摸到的球都是白球的概率是　　 ． 【答案】． 【解答】解：画出树状图如下： 共有9种等可能出现的结果，其中两次摸到的球都是白球的情况有1种， 故概率为， 故答案为：． 23．甲骨文是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张卡片分别用字母A，B，C，D表示，正面文字依次是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的文字是“文”的概率为 　　　 ． （2）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法计算两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）共有文、明、自、由四张卡片， ∴抽取卡片上的文字是“文”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如解图， 由树状图知，共有12种等可能的结果，两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的结果有2种， 则两人抽取的卡片恰好组成“文明”一词的概率为． 24．“爱你老己”是2025年底流行的网络热梗，“爱你老己”是“爱你自己”的意思，称自己为“老己”，仿佛在与一位相识多年的老朋友对话，亲切又幽默．九年级学生小明选用材质、颜色、大小均相同的四张卡片，分别将“爱”、“你”、“老”、“己”四个字书写在上面，并背面朝上反扣在桌上． （1）小明随机在四张卡片中抽取一张，求小明抽取到写有“爱”字卡片的概率． （2）小明随机在四张卡片中抽取两张，请用树状图或者表格分析，能凑成“老己”这个词的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）根据题意得：小明抽取到写有“爱”字卡片的概率为； （2）根据题意，列出表格，如下： 爱 你 老 己 爱 你、爱 老、爱 己、爱 你 爱、你 老、你 己、你 老 爱、老 你、老 己、老 己 爱、己 你、己 老、己 一共有12种等可能结果，其中能凑成“老己”这个词的有2种， 所以能凑成“老己”这个词的概率． 25．某校开展了学习党史的知识竞赛活动．初三年级学生的比赛成绩根据结果分为A，B，C，D四个等级．其等级对应的分值分别为100分﹣91分、90分﹣81分、80分﹣71分、70分及以下．现将初三学生的最后等级成绩分析整理绘制得到了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解决下面的问题． （1）由图可知该校初三共　　 名学生，比赛成绩等级为C级的学生人数是　　 人； （2）由图可知m的值为　　 ； （3）初三年级本次比赛获得满分的4人中有2个男生和2个女生，现从这4个学生中随机选2人参加学校决赛，若每个学生被抽取的可能性相等，请用画树状图或者列表法求抽取的2人中至少有1个女生的概率． 【答案】（1）500，210； （2）18； （3）． 【解答】解：（1）80÷16%＝500（名）， 比赛成绩等级为C级的学生人数为500×42%＝210（名）； 故答案为：500，210； （2）D等级人数所占的百分比为1﹣42%﹣24%﹣16%＝18%， 所以m＝18， 故答案为：18； （3）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的2人中至少有1个女生的结果数为10种， 所以抽取的2人中至少有1个女生的概率． 26．一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　 ； （2）若从盒子中任意抽取2张书签，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表的方法说明理由） 【答案】（1）； （2），理由见解析． 【解答】解：（1）∵一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种， ∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为． 27．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D．体育老师把这四个项目分别写在四张背面完全相同的卡片上，将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）体育老师想从这四张卡片中随机抽取一张，了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到C（冲浪）的概率是 　 　 ； （2）体育老师想从中选出两个项目，做成手抄报在学校进行普及．他先从这四张卡片中随机抽取一张不放回，再从剩下的三张卡片（洗匀后）中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是A（霹雳舞）和B（滑板）的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）恰好抽到C（冲浪）的概率； 故答案为：； （2）画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是A（霹雳舞）和B（滑板）的结果数为2， 所以体育老师抽到的两张卡片恰好是A（霹雳舞）和B（滑板）的概率． 故答案为：． 28．某校计划开设五项活动：跳绳、篮球、乒乓球、跑步、踢毽子．为了解学生对这五项活动的喜爱情况，在全校随机抽取部分学生进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择且只能选择其中一项），统计整理并绘制了如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查的学生共有 　　 人，并补全条形统计图；“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为 　　 度； （2）学校体育老师从喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法，求抽取的两人恰好是甲和乙的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）本次问卷调查的学生共有48÷16%＝300（人）． “跳绳”的人数为300﹣78﹣105﹣24﹣48＝45（人）． 补全条形统计图如图所示． 在扇形统计图中，“乒乓球”所对应的扇形圆心角的度数为360°126°． 故答案为：300、126． （2）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中抽取的两人恰好是甲和乙的结果有：（甲，乙），（乙，甲），共2种， ∴抽取的两人恰好是甲和乙的概率为． 学科网（北京）股份有限公司 $