奥数思维培优 第13讲 植树问题·间隔模型（讲义）-2026-2027学年四年级上册数学人教版

【人教课标版 · 四年级奥数思维培优】 第13讲 植树问题 · 间隔模型 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第13讲 专题 植树问题——间隔模型 适用年级 小学四年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★☆☆ 前置知识 除法、乘法、间隔概念 核心方法 间隔数=总长÷间距，按栽法定棵数 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握两端都栽、只栽一端、两端都不栽与封闭图形的棵数规律。 过程与方法 借助线段图理解间隔与棵数的关系，建立间隔模型。 思维品质 培养数形结合思想与逆向推理能力。 情感应用 感受植树问题在生活中的广泛应用（路灯、插旗、装花）。 三、数学史话导入 【数学史话】古人很早就用“间隔”管理植树：周代道路两旁“列树以表道”，以树木标记里程；秦代驰道“三丈而树”，每隔三丈栽一棵。植树间距与棵数的学问，两千多年前就写进了国家制度。 植树节到了，同学们在一条60米长的小路一边植树，每隔5米栽一棵。小路的两端也要栽上树。老师问：“一共要栽多少棵？”有的同学直接用，却被老师摇摇头说不对。到底错在哪里呢？ 想一想：数一数，12个间隔对应几棵树？ 悬念：树与树之间的空当叫“间隔”，棵数和间隔数之间藏着秘密。 图1 植树情境 今天我们就来探索植树问题中的“间隔模型”。 四、六大考点导航 图2 三种栽法对比 要素 含义 公式 对应题 间隔数 总长÷间距 总长÷间距=间隔数 例1~6、A1~C15 两端都栽 棵数比间隔数多1 棵数=间隔数+1 例1、A1 只栽一端 棵数等于间隔数 棵数=间隔数 例3、A3 两端都不栽 棵数比间隔数少1 棵数=间隔数-1 例2、A2 反向求长 棵数-1得间隔，再乘间距 间隔数=棵数-1；路长=间隔数×间距 例5、A5 封闭图形 圆形首尾相接 棵数=间隔数 例4、A4 五、易错辨析 常见错误 正确做法 忘加1或减1 先看栽法再定“棵数=间隔数±1” 两端都栽当只栽一端 两端都栽要加1 封闭图形当直线 圆形不加不减 反向题乱乘 先算间隔数再乘间距 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从三种栽法到封闭图形、反向求距离与路灯综合；每例后附一道变式练习。 例1【两端都栽】 题目：在一条长60米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵？ 分析：先算间隔数：；两端都栽，棵数比间隔数多1。 详解： 间隔数：。 两端都栽：棵数=间隔数+1=。 答：一共要栽13棵。 图3 两端都栽 方法点睛：两端都栽：棵数=间隔数+1。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在一条长80米的小路一边植树，每隔8米栽一棵（两端都栽），共栽多少棵？ 解答： 间隔数：；棵数。答：11棵。 点拨：与例1同法。 例2【两端都不栽】 题目：在一条长60米的小路一边种树，每隔5米种一棵（两端都不种），一共种多少棵？ 分析：先算间隔数；两端都不种，棵数比间隔数少1。 详解： 间隔数：。 两端都不栽：棵数=间隔数-1=。 答：一共种11棵。 图4 两端都不栽 方法点睛：两端都不栽：棵数=间隔数-1。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在一条长90米的小路一边种树，每隔9米种一棵（两端都不种），共种多少棵？ 解答： 间隔数：；棵数。答：9棵。 点拨：与例2同法。 例3【只栽一端】 题目：在一条长60米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（一端栽一端不栽），共栽多少棵？ 分析：一端栽一端不栽：棵数正好等于间隔数。 详解： 间隔数：。 只栽一端：棵数=间隔数=12（棵）。 答：共栽12棵。 图5 只栽一端 方法点睛：只栽一端：棵数=间隔数，不加也不减。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在一条长100米的小路一边植树，每隔10米栽一棵（一端栽一端不栽），共栽多少棵？ 解答： 间隔数：；棵数=10（棵）。答：10棵。 点拨：与例3同法。 例4【封闭图形】 题目：一个圆形花坛的周长是40米，每隔8米种一棵树，一共要种多少棵？ 分析：圆形首尾相连，棵数=间隔数。 详解： 间隔数：。 封闭图形：棵数=间隔数=5（棵）。 答：一共要种5棵。 图6 环形花坛 方法点睛：封闭图形：棵数=间隔数，不加也不减。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个圆形水池的周长是60米，每隔10米种一棵树，共种多少棵？ 解答： ；棵数=6（棵）。答：6棵。 点拨：与例4同法。 例5【反向求距离】 题目：在一条小路一边每隔6米栽一棵树（两端都栽），共栽了21棵。这条小路长多少米？ 分析：先由棵数反推间隔数：棵数-1；再用间隔数×间距。 详解： 间隔数：。 路长：。 答：这条小路长120米。 图7 反向求距离 方法点睛：已知棵数求路长：先算间隔数（棵数-1），再乘间距。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两端都栽共栽16棵，每隔5米一棵，这条路长多少米？ 解答： 间隔数；。答：75米。 点拨：与例5同法。 例6【路灯综合】 题目：一条公路长500米，每隔20米安装一盏路灯（两端都装），一共要装多少盏路灯？ 分析：路灯相当于“树”，两端都装用棵数=间隔数+1。 详解： 间隔数：。 两端都装：。 答：一共要装26盏路灯。 图8 路灯 方法点睛：路灯问题与植树同法：看清“两端都装”还是“只装一端”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一条公路长400米，每隔25米装一盏路灯（两端都不装），要装多少盏？ 解答： 间隔数：；两端都不装：。答：15盏。 点拨：与例6同法。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【公路植树】（某名校小升初真题） 题目：在一条长200米的公路一侧每隔10米种一棵树（两端都种），一共种多少棵？ 分析：两端都种用棵数=间隔数+1。 详解： 间隔数：。 棵数：。 答：一共种21棵。 方法点睛：读题先找“两端都种”还是“两端不种”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：公路一侧每隔8米种一棵树（两端都种），共种26棵，公路长多少米？ 解答： 间隔数；。答：200米。 点拨：与真题1同法：反向求路长。 真题2【环形双问】（某重点中学招生真题） 题目：一个圆形池塘的周长是120米，每隔6米栽一棵柳树。一共栽多少棵柳树？在每两棵柳树之间等距离栽2棵桃树，一共栽多少棵桃树？ 分析：环形栽柳树：棵数=间隔数；桃树每间隔2棵。 详解： 柳树：。 间隔数与柳树数相同：20个间隔。 桃树：。 答：柳树20棵，桃树40棵。 方法点睛：环形问题棵数=间隔数；间隔数也是“之间”的次数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：圆形池塘周长90米，每隔9米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽1棵桃树，各多少棵？ 解答： 柳树；桃树。答：柳树10棵，桃树10棵。 点拨：与真题2同法。 八、方法总结表 栽法 棵数公式 例子 两端都栽 间隔数+1 ， 只栽一端 间隔数 ，棵数=12 两端都不栽 间隔数-1 ， 封闭图形 间隔数 ，棵数=5 反向求长 (棵数-1)×间距 ， 九、解题口诀 植树问题并不难，间隔模型记心间： 先除总长得间隔，再看栽法把数算； 两端都栽加一个，两端不栽减一个； 只栽一端刚刚好，封闭图形不多减； 已知棵数求路长，先减一再乘间距。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一条小路长40米，每隔8米栽一棵树（两端都栽），共栽多少棵？ A2. 一条小路长30米，每隔6米栽一棵树（两端都不栽），共栽多少棵？ A3. 一条小路长50米，每隔5米栽一棵树（一端栽一端不栽），共栽多少棵？ A4. 圆形花坛周长36米，每隔6米种一棵树，共种多少棵？ A5. 一条小路两端都栽共栽了11棵树，每隔5米一棵，这条路长多少米？ B组 能力提升（5题） B6. 一条长120米的小路一边，每隔6米栽一棵树（两端都栽），共栽多少棵？ B7. 一条长120米的小路一边，每隔6米栽一棵树（两端都不栽），共栽多少棵？ B8. 公路长300米，每隔15米装一盏路灯（两端都装），要装多少盏？ B9. 环形跑道周长200米，每隔10米插一面彩旗，共插多少面？ B10. 一条小路一端栽一端不栽，共栽了15棵树，每隔4米一棵，这条路长多少米？ C组 思维挑战（5题） C11. 一条长240米的路一边，每隔8米栽一棵树（两端都栽），共栽多少棵？ C12. 两座楼相距60米，在楼之间每隔10米栽一棵树（两端都不栽），共栽多少棵？ C13. 圆形水池周长80米，每隔8米种一棵树，共种多少棵？ C14. 一条全长1000米的公路，每隔25米装一盏路灯（两端都装），要装多少盏？ C15. 一条走廊长45米，每隔9米放一盆花（两端都放），一共要放多少盆？ 十一、参考答案与详细解析 A1 间隔数；两端都栽：。答：6棵。 A2 间隔数；两端都不栽：。答：4棵。 A3 间隔数；只栽一端：棵数=10（棵）。答：10棵。 A4 封闭图形：。答：6棵。 A5 间隔数；。答：50米。 B6 间隔数；。答：21棵。 B7 间隔数；。答：19棵。 B8 间隔数；两端都装：。答：21盏。 B9 封闭图形：。答：20面。 B10 一端栽一端不栽：间隔数=棵数=15（个）；。答：60米。 C11 间隔数；。答：31棵。 C12 间隔数；两端都不栽：。答：5棵。 C13 封闭图形：。答：10棵。 C14 间隔数；两端都装：。答：41盏。 C15 间隔数；两端都放：。答：6盆。 十二、本讲小结 本讲通过线段图认识了植树问题的间隔模型：间隔数=总长÷间距，再按栽法确定棵数（两端都栽加1、只栽一端不变、两端都不栽减1、封闭图形等于间隔数）。 这个模型还能解决路灯、插旗、放花等生活问题。 下一讲我们学习平均数，探索“移多补少”的奥秘。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 忘看栽法 先判断“两端”情况再套公式 封闭当直线 圆形不加也不减 反向题顺序乱 先减一得间隔，再乘间距 单位写错 棵/盏/面/盆要看清 学习建议：动手画线段图，把“树”和“间隔”一一对应；下讲预告：第14讲 平均数·移多补少。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $