奥数思维培优 第5讲 加法模型·总量问题（讲义）2026-2027学年四年级上册数学人教版

人教版 · 四年级上册奥数思维培优讲义 第5讲 加法模型 · 总量问题 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第5讲 专题 加法模型——总量问题 适用年级 小学四年级上册 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 万以内加减法、表内除法、简单乘除法 核心方法 总量=部分+部分；凑整巧算、倒推还原、和差模型 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 理解加法模型“总量=部分+部分”，能灵活求总量或部分；掌握凑整巧算与基准数求和。 过程与方法 学会用“总量、部分”三个量分析问题；会用逆运算倒推还原，会用线段图解和差问题。 思维品质 培养模型意识、数感与逆向思维，学会一题多解并养成验算习惯。 情感应用 感受加法模型在购物、乘车、称重等生活中的应用，体会估算的价值。 三、情境导入 妈妈带300元去买学习用品：一个书包198元、一个文具盒35元、一盒水彩笔42元。她先在心里把所有价格加起来：“198+35+42=275”，再跟带的钱一比：“275<300，够！” 想一想：买几样东西算一共多少钱，为什么把价格加起来就行？如果把书包换成399元、水彩笔换成201元，你还能几秒算出总价吗？ 悬念：把加法练“巧”，还能帮我们“救回算错的答案”、求出“两人相差多少”，想不想试试？ 图1 购物情境 今天，我们就来把加法模型练“巧”、练“活”。 四、知识导航 图2 加法模型三关系 关系 算式 例子 总量=部分+部分 a+b=c 32+45=77 部分=总量−部分 c−a=b 800−325=475 变化后=原量−去+来 先减后加 34−9+12=37 凑整巧算 先凑整十整百，再调零头 297+498=300+500−5 倒推还原 逆运算：加变减、减变加 □+136−92=280 → □=236 和差问题 大数=（和+差）÷2 和92、差12 → 52、40 五、易错辨析 常见错误 正确做法 凑整后忘了调零头 297+498=300+500−5，多加了要减回 基准数选得不“接近” 选最接近的整十整百数做基准，零头正负相抵 倒推时符号弄反 逆运算：加变减、减变加，边倒边验算 和差问题大数、小数分不清 大数=（和+差）÷2，小数=和−大数 六、典例精讲 本讲安排6道例题：凑整巧算、基准数求和、倒推还原、和差问题、移多补少、估算策略，由浅入深，每例后附一道变式练习。 例1【凑整巧算·加整去零】 题目：简便计算 297+498+103。 分析：297、498 都接近整百数，把它们“看成整百、多退少补”，算起来更快。 详解： 297=300−3，498=500−2，103=100+3；300+500+100−3−2+3=900−2=898。 答：297+498+103=898。 图3 凑整巧算 方法点睛：加整去零——先按整百相加，再统一调整零头（多加了减回、少加了补上）。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：简便计算 199+99+201+101。 解答： 199=200−1，99=100−1，201=200+1，101=100+1； 200+100+200+100=600，零头−1−1+1+1=0，所以原式=600。 答：199+99+201+101=600。 点拨：与例1同法：先凑整，再统一调整零头。 例2【基准数求和】 题目：简便计算 98+99+101+102+100。 分析：这五个数都在100左右，以100为“基准数”，只算零头，又快又准。 详解： 以100为基准：98→−2，99→−1，101→+1，102→+2，100→0； 零头合计−2−1+1+2+0=0；基准数100×5=500，500+0=500。 答：98+99+101+102+100=500。 图4 基准数求和 方法点睛：基准数求和——选最接近的整十整百数做基准，基准数×个数±零头。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：简便计算 97+98+99+101+103+102。 解答： 以100为基准：零头−3−2−1+1+3+2=0；100×6=600。 答：97+98+99+101+103+102=600。 点拨：与例2同法：基准数×个数＋零头合计。 例3【倒推还原】 题目：一个数先加上136，再减去92，结果是280。这个数原来是多少？ 分析：知道最后结果，要“倒着走”：减去变成加上，加上变成减去，一直退到原来。 详解： 倒推：先“还原”减去的92：280+92=372。 再“还原”加上的136：372−136=236。 验算：236+136=372，372−92=280，符合题意。 答：这个数原来是236。 图5 倒推还原 方法点睛：倒推还原——从结果出发逆运算往回推：加变减、减变加，最后验算。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个数先减去48，再加上135，结果是300。这个数原来是多少？ 解答： 倒推：300−135=165，165+48=213。 验算：213−48=165，165+135=300。 答：这个数原来是213。 点拨：与例3同法：逆运算倒推，加变减、减变加。 例4【和差问题·线段图】 题目：四（1）班和四（2）班共有学生92人，四（1）班比四（2）班多12人。两班各有多少人？ 分析：知道了“和”与“差”，把大数多出的部分先“补”上，总数就变成两个大数。 详解： 先求大数：（92+12）÷2=52（人）； 再求小数：52−12=40（人），或 92−52=40（人）。 验算：52+40=92，52−40=12，符合题意。 答：四（1）班52人，四（2）班40人。 图6 和差问题 方法点睛：和差问题——大数=（和+差）÷2，小数=和−大数；画线段图最容易想清楚。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两个数的和是150，差是30。这两个数各是多少？ 解答： 大数：（150+30）÷2=90；小数：150−90=60。答：这两个数分别是90和60。 点拨：与例4同法：和差问题，先求大数再求小数。 例5【移多补少·差额等分】 题目：书架有两层，共放图书120本。从上层拿出8本放到下层，两层就一样多。原来上层有多少本？ 分析：移8本后一样多，说明原来上层比下层多“两个8本”，即多16本；这其实就变成了和差问题。 详解： 移8本后两层各有：120÷2=60（本）。 上层原来：60+8=68（本）；下层原来：60−8=52（本）。 验算：68+52=120（本），68−52=16（本）=8×2，符合题意。 答：原来上层有68本。 图7 移多补少 方法点睛：移多补少——相差数=移动数×2；再结合“和”用和差公式或“移后平均”求解。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：甲、乙两桶油共重80千克。从甲桶倒5千克到乙桶，两桶就一样重。甲桶原来有多少千克？ 解答： 倒5千克后两桶各有：80÷2=40（千克）。 甲桶原来：40+5=45（千克）；乙桶原来：40−5=35（千克）。 验算：45+35=80（千克），45−35=10（千克）=5×2，符合题意。 答：甲桶原来有45千克。 点拨：与例5同法：移多补少，相差数=移动数×2。 例6【估算策略·够不够】 题目：妈妈带900元去买三件小家电：烤箱458元、电饭煲287元、加湿器168元。钱够吗？ 分析：三个数都往大估，估出的920元比带的900元多——但“估大了”可能估过头，必须精确计算才能下结论。 详解： 估算：458≈460，287≈290，168≈170；460+290+170=920（元）＞900元——估大后超了，需精确验证。 精确：458+287+168=913（元），913＞900。 答：钱不够，还差13元。 图8 估算策略 方法点睛：估算要“看方向”——都往大估仍超，只能说“可能不够”，必须精确计算下结论；都往大估仍够，才能直接说“够”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小刚带500元，想买一辆398元的自行车和一副96元的球拍。钱够吗？ 解答： 估算：398≈400，96≈100，400+100=500（元）——往大估正好等于500，够！精确：398+96=494（元）＜500。 答：钱够，还剩6元。 点拨：与例6同法：先估算方向，再精确计算下结论。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【逆推总量·隐藏条件】（某名校小升初真题） 题目：一捆电线，电工第一次用去286米，第二次比第一次少用47米，两次用完后还剩205米。这捆电线原来长多少米？ 分析：第二个部分量被“少用47米”藏起来了，先求出它，再把三个部分量相加得总量。 详解： 第二次：286−47=239（米）； 两次共用：286+239=525（米）； 原来：525+205=730（米）。 验算：730−286−239=205（米），符合题意。 答：这捆电线原来长730米。 方法点睛：先破隐藏条件求出每个部分量，再用“部分+部分+部分=总量”。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一本书，第一天看了128页，第二天比第一天多看35页，两天看完后还剩96页。这本书一共有多少页？ 解答： 第二天：128+35=163（页）； 两天：128+163=291（页）； 一共：291+96=387（页）。 答：这本书一共有387页。 点拨：与真题1同法：先求隐藏的部分量，再加总。 真题2【错中求解·还原加数】（某重点中学招生真题） 题目：小马虎算一道加法题时，把一个加数十位上的3看成了8，把另一个加数个位上的7看成了2，得到的和是654。正确的和是多少？ 分析：十位3看成8，多加了50；个位7看成2，少加了5。把“多算的减掉、少算的补上”，正确结果就能找回来。 详解： 多算的：80−30=50；少算的：7−2=5； 正确和：654−50+5=609。 检验：把正确和还原回去——609−5+50=654，与看错后的和一致。 答：正确的和是609。 方法点睛：错中求解——先算“看错”造成的变化量，再反向调整：多加的减掉、少加的补上。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小华计算加法时，把一个加数十位上的6看成了9，得到的和是620。正确的和是多少？ 解答： 多算的：90−60=30；正确和：620−30=590。 检验：590+30=620。 答：正确的和是590。 点拨：与真题2同法：看错几位就调整几位的差，多加的减掉。 八、方法总结表 问题 方法 算式 凑整巧算 先凑整十整百，再调零头 297+498=300+500−5 基准数求和 基准数×个数±零头 98+99+101+102=100×4+0 倒推还原 逆运算往回推 □+136−92=280 → □=236 和差问题 大数=（和+差）÷2 和92、差12 → 52、40 移多补少 相差数=移动数×2 移8本相等 → 原来差16本 错中求解 多加的减、少加的补 十位3看成8 → 和减50 九、解题口诀 加法模型三兄弟，总量部分记心里； 凑整巧算先凑整，多加了要减回去； 基准数法找基准，零头正负来相抵； 倒推还原用逆算，加变减来减变加； 和差问题先求大，和加差后除以二； 移多补少差折半，错中求解补差起。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 两个加数分别是376和289，它们的和是多少？ A2. 比650少287的数是多少？ A3. 一个数减去345得289，这个数是多少？ A4. 学校图书馆原有图书846本，借出392本，还剩多少本？ A5. 果园有苹果树468棵，梨树比苹果树少129棵，梨树有多少棵？ B组 能力提升（5题） B6. 用凑整法计算：199+98+101+202。 B7. 用基准数法计算：196+197+199+205+203。 B8. 一个数先加上268，再减去179，结果是456。这个数原来是多少？ B9. 两个数的和是108，差是20。这两个数各是多少？ B10. 停车场开走27辆汽车后，又开来18辆，现在有126辆。停车场原来有多少辆？ C组 思维挑战（5题） C11. 简便计算：299+399+199。 C12. 甲、乙两袋大米共重96千克，从甲袋倒出8千克到乙袋后两袋一样重。甲袋原来重多少千克？ C13. 小马虎计算加法时，把一个加数十位上的5看成了2，得到的和是436。正确的和是多少？ C14. 四个数的和是1000，其中三个数是198、297、305。第四个数是多少？ C15. 一根绳子剪去两次后还剩170米。第一次剪去268米，第二次比第一次多剪46米。这根绳子原来长多少米？ 十一、参考答案与详细解析 A1 376+289=665。答：和是665。 A2 650−287=363。答：这个数是363。 A3 289+345=634。答：这个数是634。 A4 846−392=454（本）。答：还剩454本。 A5 468−129=339（棵）。答：梨树有339棵。 B6 199=200−1，98=100−2，101=100+1，202=200+2；200+100+100+200=600，零头−1−2+1+2=0。答：原式=600。 B7 以200为基准：196→−4，197→−3，199→−1，205→+5，203→+3；零头−4−3−1+5+3=0；200×5=1000。答：原式=1000。 B8 倒推：456+179=635，635−268=367。验算：367+268=635，635−179=456。答：这个数原来是367。 B9 大数：（108+20）÷2=64，小数：108−64=44。答：这两个数分别是64和44。 B10 倒推：126−18+27=135（辆）。验算：135−27+18=126。答：原来有135辆。 C11 299=300−1，399=400−1，199=200−1；300+400+200−3=897。答：原式=897。 C12 倒8千克后各有：96÷2=48（千克）；甲袋原来：48+8=56（千克）。答：甲袋原来重56千克。 C13 少算的：50−20=30；正确和：436+30=466。答：正确的和是466。 C14 先算三个数的和：198+297+305=800；第四个数：1000−800=200。答：第四个数是200。 C15 第二次：268+46=314（米）；两次：268+314=582（米）；原来：582+170=752（米）。答：原来长752米。 十二、本讲小结 本讲在加法模型“总量=部分+部分”的基础上，掌握了四把奥数“金钥匙”：凑整巧算、基准数求和、倒推还原、错中求解，还认识了和差问题与移多补少。 加法模型是小学数学最基础的模型，第6讲的乘法模型将在它的基础上继续学习；和差问题、移多补少也会在后续“和倍、差倍”问题中派上大用场。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 凑整后忘调零头 先按整百相加，多加了要减回、少加了要补上 基准数找错 选最接近的整十整百数；零头正负别漏 倒推符号弄反 逆运算：加变减、减变加，最后验算 错中求解漏一处 两处看错要分别算差：多加的减、少加的补 学习建议：先圈“总量、部分”，再选方法——能凑整先凑整；倒推、和差题做完务必验算。下讲预告：第6讲 乘法模型·总价与路程。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $