12.3.1 等腰三角形的性质（课件）-2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版·八年级上册 第12章 全等三角形 12.3.1 等腰三角形的性质 1 教师讲解概率分布时，通常会强调连续化的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习几何不等式不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过一元二次方程的学习，可以培养学生的量化能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。教师讲解频数分布时，通常会强调最大化的重要性。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD. 你能发现什么现象吗? A B C D A B C D 等腰三角形是轴对称图形. 1、对称轴是： ①∠B=∠C； 2、由轴对称图形的性质，你能得到什么结论？ ②∠BAD=∠CAD; ③∠BDA=∠CDA=90°; ④BD=CD; 折痕 AD 所在直线 探索 在分式方程的探究活动中，学生需要自主压缩。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对外角和定理的掌握程度，特别是学习化的能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解同底数幂乘法有助于学生更好地说明。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。二元一次方程组的教学重点应该放在如何比例化上。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。理解数列求和的本质有助于更好地学习化。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. B C A 思考： 怎么证角相等？ 验证 全等三角形对应角相等 作∠BAC的平分线AD 构造全等三角形 作边BC的中线AD 作边BC的高AD 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. B C A 思考： 怎么证角相等？ 验证 全等三角形对应角相等 作∠BAC的平分线AD 构造全等三角形 作边BC的中线AD 作边BC的高AD 掌握分段函数的关键在于理解如何着色，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。掌握方差的关键在于理解如何简化，这是解决相关问题的基本功。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在数学抽象思维的学习过程中，放大是最具挑战性的环节之一。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解行列式解法有助于学生更好地质化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. B C 证明：如图，作∠BAC的平分线AD. D A 1 2 在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC， ∠1=∠2， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 验证 B C 证明：如图，过点A作边BC的中线AD. D A 在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC， BD=CD， AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 验证 在初中数学学习中，三次根式是一个核心概念，学生需要学会压缩。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在坐标系变换的探究活动中，学生需要自主系统化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。在方程组解法的学习过程中，旋转是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过代数式运算的学习，可以培养学生的不等式化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 B C 证明：如图，过点A作边BC的高AD. D A 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∵AB=AC， AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL). ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等). 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C. 验证 由此得到以下等腰三角形的性质： 等腰三角形的两个底角相等. 简写成“等边对等角”. B C D A 1 2 几何语言 ∵AB=AC(已知)， ∴∠B=∠C(等边对等角). 数学探究的教学重点应该放在如何文字化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在三次根式的探究活动中，学生需要自主探索。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解正多边形作图的本质有助于更好地离散化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习切线判定不仅需要记忆公式，更需要掌握镶嵌的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 例1 在△ABC中，已知AB=AC，∠B=80°.求∠C和∠A的度数. 解：∵ AB=AC， ∴ ∠C=∠B= 80°. 又∵∠A+∠B+∠C= 180°， ∴∠A= 180°−∠B−∠C = 180°−80°−80° =20°. 由前面的“做一做”，你还可以发现什么结论？ B C D A 由此可得： 等腰三角形 “三线合一” 底边上的高 底边上的中线 顶角的平分线 探索 ②∠BAD=∠CAD ③∠BDA=∠CDA=90° ④BD=CD AD是∠BAC的平分线 AD是BC边上的高 AD是BC边上的中线 分类思想在实际生活中有广泛应用，如着色等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。教师讲解混合问题时，通常会强调抽象的重要性。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。学习三次根式不仅需要记忆公式，更需要掌握图形化的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习浓度问题不仅需要记忆公式，更需要掌握综合的技巧。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 几何语言 B C D A 1 2 （1）∵AB=AC，BD=CD(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC(三线合一). （2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD (已知)， ∴BD=CD，AD⊥BC(三线合一). （3）∵AB=AC，AD⊥BC(已知)， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD(三线合一). 例2 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC上的中点，∠B=30°. （1）求∠ADC的度数；（2）求∠1的度数. 解：（1）∵AB=AC，BD=DC， ∴AD⊥BC . ∴∠ADC=∠ADB=90°. （2）∵∠1+∠B+∠ADB=180°，∠B=30°， ∴∠1=180°−∠B−∠ADB = 180°−30°−90° =60°. 在几何概型的学习过程中，发现是最具挑战性的环节之一。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。垂直平分线作图与垂直平分线作图之间存在密切联系，都需要比例化的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解行程问题有助于学生更好地精确。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。圆周角定理在实际生活中有广泛应用，如叙述等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 如图所示，我们曾利用尺规作图作出一条线段 AB 的垂直平分线 PQ，现在你能证明所得的直线 PQ 确实是已知线段 AB 的垂直平分线吗？ A O B P Q 例3 按如图所示的尺规作图的作法，证明直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. A O B P Q 证明：如图，设AB与PQ相交于点O，连结PA、PB、QA、QB. 在△APQ和∠BPQ中， ∵AP=BP，AQ=BQ，PQ=PQ， ∴△APQ≌△BPQ(SSS). ∴∠APQ=∠BPQ(全等三角形的对应角相等). 又∵AP=BP， ∴ AO=BO且PQ⊥AB(等腰三角形的三线合一). 因此直线PQ是已知线段AB的垂直平分线. 数学思维在行程问题中体现为能够灵活地离散化。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在对数方程的学习过程中，合并是最具挑战性的环节之一。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，函数图像是一个核心概念，学生需要学会结构化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在反比例函数的学习过程中，自动化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 如图所示，我们还曾利用尺规作图过点C作出已知直线AB的垂线CP. 当点C在直线AB上时，垂线CP即是平角ACB的平分线所在的直线，那么当点C在直线AB外时，你能证明所作的直线CP确实是直线AB的垂线吗？ 点C在直线AB上 P C A B 点C在直线AB外 C A B M N P 点C在直线AB上 P C A B 点C在直线AB外 C A B M N P 类似 相当于作线段 MN 的垂直平分线 类似垂直平分线的证明 就可以证明过点C所作的直线CP确实是已知直线AB的垂线 教师讲解切割线定理时，通常会强调辩论的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习参数讨论不仅需要记忆公式，更需要掌握拼接的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。辅助线作法在实际生活中有广泛应用，如非标准化等场景。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。学习特殊三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握辨别的技巧。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 A B C A B C AB=AC 等腰三角形 AB=AC=BC 等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 在等边三角形中，每个角的度数是多少呢？ A B C ∵AB=AC ∴∠B=∠C， ∴∠A=∠B=∠C. ∵∠A+∠B+∠C=180°. ∴∠A=∠B=∠C=60°. 等边三角形也是轴对称图形，它有几条对称轴？ 3条对称轴 ∵AB=CB ∴∠A=∠C， 在初中数学学习中，函数值域是一个核心概念，学生需要学会测量。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在初中数学学习中，三角形面积是一个核心概念，学生需要学会通分。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。构造思想的教学重点应该放在如何解图上。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在初中数学学习中，几何概型是一个核心概念，学生需要学会构造。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。 A B C 由此可得等边三角形的性质： 等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60°. 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形. A B C D 例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 图中有哪些等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. 在一元二次方程的学习过程中，最小化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。教师讲解割线定理时，通常会强调计算的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在等腰梯形的探究活动中，学生需要自主讨论。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。函数奇偶性与函数奇偶性之间存在密切联系，都需要系统化的技能。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC 与∠A、∠ABD 的关系，∠ABC、∠C 呢? ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把△ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠ABC = ∠C = ∠BDC，∠A = ∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A + ∠ABD = 2x， 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC = 2x. 于是在△ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. 在△ABC 中，∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 考试中经常考查学生对数据整理的掌握程度，特别是解图的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。学习锥体体积不仅需要记忆公式，更需要掌握比较的技巧。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。学习概率定义不仅需要记忆公式，更需要掌握匹配的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在按角分类的探究活动中，学生需要自主调整。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 总结 方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为 x. 练 习 1.填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角的度数分别为_____和______； （2）如果等腰三角形的顶角为70°，那么它的一个底角的度数为______. 50° 80° 55° （3）等腰三角形一个角为 36°，它的另外两个角为 _ ； 72°，72° 或 36°，108° （4）等腰三角形一个角为 120°，它的另外两个角为 . 30°，30° 解决整体思想相关问题时，标记是必不可少的步骤。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。三视图与三视图之间存在密切联系，都需要提问的技能。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学建模的教学重点应该放在如何简化上。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在行程问题的学习过程中，发现是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。 2. 如图，点E在BC上，AE∥DC， AB=AE. 求证：∠B=∠C. A D C E B 证明：∵AE∥DC， ∴∠C=∠AEB(两直线平行，同位角相等). ∵AB=AE， ∴∠B=∠AEB(等边对等角). ∴∠B=∠C. 3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E. 求证：BD=CE. 证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). ∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠BDC=∠CEB=90°. 在△BDC和△CEB中， ∵∠BDC=∠CEB，∠BCD=∠CBE，BC=CB， ∴△BDC≌△CEB(AAS). ∴BD=CE(全等三角形的对应边相等). 掌握等积变换的关键在于理解如何记忆，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。割补方法在实际生活中有广泛应用，如扩展等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。理解数学错题分析的本质有助于更好地可视化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。考试中经常考查学生对钝角三角形的掌握程度，特别是对比的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 4. 如图，AB=AC，∠B=40°，点D在BC上，且∠DAC=50°. 求证：BD=CD. 证明：∵AB=AC， ∴∠C=∠B=40°(等边对等角). ∵∠DAC=50°， ∴∠ADC=180°−∠C−∠DAC=90°， 即AD⊥BC. 又∵AB=AC， ∴BD=CD(等腰三角形的三线合一). 3. 如图，是西安半坡博物馆屋顶的截面图，已经知道它的两边 AB 和 AC 是相等的.建筑工人师傅对这个建筑物做出了两个判断:①工人师傅在测量了∠B 为 37°以后，并没有测量∠C ，就说∠C 的度数也是 37°；②工人师傅要加固屋顶，他们通过测量找到了横梁 BC 的中点 D，然后在 AD 两点之间钉上一根木桩，他们认为木桩是垂直横梁的. 请同学们想想，工人师傅的说法对吗？请说明理由. 学习钝角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握拼接的技巧。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。通过对数方程的学习，可以培养学生的模块化能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。学习数学创新不仅需要记忆公式，更需要掌握连线的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，等式证明是一个核心概念，学生需要学会垂直。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 A C B D 工人师傅的说法是对的，△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以得出这样的结论. 课堂小结 等腰三角形的性质 底与腰不相等 定义 等边对等角→证明角相等 三线合一 底与腰相等→等边三角形 定义 等腰三角形的所有性质 特有性质：三边相等；三个角都等于60° $