12.3.1 等腰三角形的性质 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

# 华东师大版数学八年级上册 12.3.1 等腰三角形的性质专项练习（1232 字） ## 核心知识点梳理 1. **等腰三角形定义**：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形有两个底角，这两个底角是位于腰与底边之间的内角。 2. **性质 1（等边对等角）**：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”。即在\(\triangle ABC\)中，若\(AB=AC\)，则\(\angle B=\angle C\)。此性质可以用来在等腰三角形中证明角相等、计算角度大小。使用时注意：必须是同一个三角形中，相等的边所对的角才相等。 3. **性质 2（三线合一）**：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称 “三线合一”。三线合一是等腰三角形非常重要的性质，只要知道其中一条线满足顶角平分线、底边中线、底边高当中任意一个身份，就可以直接推出另外两个结论。注意：三线合一只针对顶角平分线、底边上的中线和底边上的高，腰上的高、中线不具备这个性质。 4. **等腰三角形对称性**：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线，也可以描述为底边上的高或者底边上中线所在直线。等腰三角形沿对称轴对折，左右两边能够完全重合，对应线段、对应角全部相等。 5. **角度计算要点**：等腰三角形已知一个内角，求另外两个内角时，需要分类讨论：这个已知角可能是顶角，也可能是底角，同时要满足三角形内角和为 180°，底角不能大于或等于 90°。已知两边长求周长，同样需要分情况讨论边长，还要满足三角形三边关系。 6. **易错提醒**：①“等边对等角” 的前提是同一个三角形；②三线合一不能乱用，必须是底边的中线、高，顶角平分线；③等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、钝角，但底角一定是锐角；④没有指明是顶角还是底角、腰还是底边时，一定要分类讨论，最后检验是否符合三角形内角和与三边关系。 ## 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，若\(\angle B=50^\circ\)，则\(\angle A\)的度数为（） A.\(50^\circ\) B.\(60^\circ\) C.\(80^\circ\) D.\(100^\circ\) 2. 等腰三角形的对称轴是（） A. 底边上的高 B. 底边上的高所在直线 C. 顶角平分线 D. 底边中线 3. 等腰三角形有一个内角是\(70^\circ\)，则它的底角为（） A.\(70^\circ\) B.\(55^\circ\) C.\(70^\circ\)或\(55^\circ\) D.\(40^\circ\) 4. 已知等腰三角形两边长为 4 和 9，则该三角形周长是（） A.17 B.22 C.17 或 22 D.13 5. 等腰三角形顶角平分线与底边上的高的关系是（） A. 互相垂直 B. 互相平分 C. 重合 D. 没有固定关系 ## 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 等腰三角形两个底角相等，简称________。等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高________。 7. 等腰三角形是________图形，对称轴是顶角平分线所在直线。 8. 在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\perp BC\)，则\(BD=\)********，\(\angle BAD=\)********。 9. 等腰三角形顶角为\(100^\circ\)，则底角等于________°。 10. 等腰三角形一个外角等于\(100^\circ\)，则它的顶角为________。 ## 三、解答题（共 60 分） 11. 计算并写出过程（16 分） （1）等腰\(\triangle ABC\)，\(AB=AC\)，顶角\(\angle A=40^\circ\)，求底角\(\angle B、\angle C\)； （2）等腰三角形，一个内角为\(90^\circ\)，求另外两个内角。 12. 证明题（16 分） 已知：如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点 D 是 BC 中点。求证：\(AD\perp BC\)。 13.（14 分）已知：在等腰\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点 D 在 BC 上，且\(AD=BD\)，\(\angle B=36^\circ\)，求\(\angle DAC\)的度数。 14.（14 分）求证：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 ## 参考答案与解析 选择题： 1.C。解析：\(AB=AC\)，\(\angle B=\angle C=50^\circ\)，\(\angle A=180^\circ-50^\circ-50^\circ=80^\circ\)。 2.B。解析：对称轴是直线，高、角平分线、中线都是线段。 3.C。解析：若 70° 是底角，则底角 70°；若 70° 是顶角，则底角\((180-70)\div2=55^\circ\)。 4.B。解析：4 作为腰长时，4+4<9，无法构成三角形；腰长只能是 9，周长 9+9+4=22。 5.C。解析：根据三线合一，顶角平分线与底边上的高重合。 填空题： 6. 等边对等角；互相重合。 7. 轴对称。 8.DC；\(\angle CAD\)。 9. 40。解析：\((180^\circ-100^\circ)\div2=40^\circ\)。 10.\(80^\circ\)或\(20^\circ\)。解析：外角 100°，对应内角 80°；80° 可为顶角，也可为底角。 解答题： 11. 解：（1）\(\because AB=AC\)，\(\therefore\angle B=\angle C\)。\(\angle B=\angle C=(180^\circ-40^\circ)\div2=70^\circ\)。 （2）这个 90° 角只能是顶角，如果是底角，两个底角之和就为 180°，不符合三角形内角和。另外两个底角都是 45°。 12. 证明：\(\because AB=AC\)，D 是 BC 中点，\(\therefore AD\)是底边 BC 上中线。根据等腰三角形三线合一，AD 也是底边上的高。\(\therefore AD\perp BC\)。 13. 解：\(\because AB=AC，\therefore\angle B=\angle C=36^\circ\)。\(\because AD=BD\)，\(\therefore\angle BAD=\angle B=36^\circ\)。\(\angle BAC=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ\)。\(\angle DAC=\angle BAC-\angle BAD=108^\circ-36^\circ=72^\circ\)。 14. 证明：连接底边上该点与顶点，把原等腰三角形分成两个小三角形。利用面积法，两个小三角形面积相加等于大三角形面积，化简后可证距离之和等于腰上的高。 （全文 1232 字） 华东师大版（新教材）数学八年级上册 12.3.1 等腰三角形的性质 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 全等三角形 学习目标 这些图形有什么共同点？它们属于哪种三角形？ 情境导入 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 如图，AB＝AC， △ABC 是等腰三角形. 情境导入 合作探究 请同学们拿出剪刀、纸分别剪出三个不同的等腰三角形（如图所示） 将左边三个等腰三角形对折，使得两腰重合，你发现了什么？ 新知探究 等腰三角形的性质1 由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B 同学们交流一下，写出证明过程。 典例分析 例1 . 如图，在△ABC中，∠C=55°，将△ABC绕点A 顺时针旋转一定角度后，得到△A'B'C'， 且点C'在边BC上，则∠B'C'B的度数为（ ） A. 50° B. 70° C. 75 ° D. 80° B 变式训练 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△A'B'C'（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接CC'．若∠CC'B'=32°，则∠BCA=（ ） A．13° B. 28° C. 32° D. 45° A 典例分析 例2 . 已知：如图，在△ABC中，CD是中线，且CD=AB，试判断△ABC是什么形状，并说明理由． 解：△ABC是直角三角形 ∵AD=DB，CD=AB，∴AD=BD=CD ∴∠A=∠2，∠1=∠B 又∵∠A+∠2+∠1+∠B=180° ∴∠2+∠1=90°，即∠ACB=90° ∴△ABC是直角三角形 1 2 变式训练 如图，在△ABC中，AB=BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD=BD．求证：∠ABE=∠CAD． 证明：∵AD为BC边上的高，且AD=BD ∴∠ABD=∠BAD=45° ∵BE平分∠ABC ∴∠ABE=∠ABC=22.5° ∴∠BAC=∠C= ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67.5°-45°=22.5° ∴∠ABE=∠CAD 1．图①是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似看成等腰三角形ABC(如图②)，若AB＝AC，∠B＝35°，则∠C的度数为(　　) A．70° B．45° C．35° D．110° 1星题 夯实四基 C 举一反三 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以C为圆心，CB的长为半径作弧，交AB于点D，连结CD，则∠BDC的度数为________． 75° 举一反三 3．如图，已知AB＝AC，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线．求证：AD∥BC. 证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. 又∵∠EAC＝∠B＋∠C，∴∠EAC＝2∠B. ∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD. ∴∠EAD＝∠B，∴AD∥BC. 举一反三 新知探究 等腰三角形的性质2 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合，简写成“等腰三角形的三线合一” CD 是等腰△ABC的角平分线、中线、高 典例分析 例3 .如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，工人师傅在焊接立柱时，只需找到BC的中点D，就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（ ） A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 垂直平分线的性质 D. 等腰三角形的“三线合一” D 变式训练 图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在△ABC中，AB=AC，若D是BC边上的一点，则下列条件不能说明AD⊥BC的是（ ） A. BD=CD B. ∠ADB=∠ADC C. ∠BAD=∠CAD D. BC=2AD D 典例分析 例4 .已知：如图AB=AC，∠EFH=∠B，BE=CF，M是EH的中点．求证：FM⊥EH． 证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C ∵∠EFH=∠B，∴∠CFE=∠B+∠BEF=∠EFH+∠BEF ∵∠CFE=∠EFH+∠CFH ∴∠BEF=∠CFH 在△BEF和△CFH中， ∴△BEF≌△CFH（ASA） ∴EF=FH ∵M是EH的中点，∴FM⊥EH 变式训练 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是边BC，AC上的点，连接AD，BE．若AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，∠CAD=20°，求∠CBE的度数． 解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线，∠CAD=20° ∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=20° ∴∠BAC=40°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=(180°-∠BAC)=70° ∵BE=∠ABC的角平分线 ∴∠CBE=∠ABC=35° 新知探究 等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，如图所示，若AB=AC=BC，则三角形ABC是等边三角形 等边三角形的各个角都相等， 并且每一个角都等于60° 60° 60° 60° 典例分析 例5 .如图，在等边△ABC中，AB=6cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°．则CE的长是（ ） A．1cm B. 2cm C.3cm D.4cm C 提示：根据等边三角形的性质得∠ACB=60°，DC=AD=3cm。运用三角形的外角性质得∠EDC=30°=∠E，再由等角对等边，解答即可 变式训练 如图，在△ABC中，AB=AC．以AB、AC为边在△ABC的外侧作两个等边三角形△ABE和△ACD，且∠EDC=40°，则∠ABC的度数为（ ） 提示：由题意得∠EAB=∠AEB=∠CAD=∠ADC=60°，AB=AC=AE=AD，∠ABC=∠ACB， 则有∠AED=∠ADE=20°，然后根据三角形内角和及等腰三角形的性质可进行求解 A．75° B. 80° C.70° D.55° B 4．[知识初练]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，若BD＝2，则BC＝________；若∠BAC＝100°，则∠BAD＝________． 4 50°　 举一反三 5．如图，这是一个等腰三角形屋顶钢架外框，其中AB＝AC，中柱AD(D为底边中点)，且顶角∠BAC＝110°，则∠DAB的度数为________． 55° 举一反三 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，则下列结论中不一定正确的是(　　) A．BD＝CD B．AD⊥BC C．∠B＝∠C D．AB＝2BD D 举一反三 7. 如图①是利用尺规作图作出一条线段AB的垂直平分线CD，为了探究线段垂直平分线的作法，点点尝试改变作弧半径，按图②的步骤作图． ①分别以点A，B为圆心，以大于 AB的长为 半径作弧，两弧在AB的上方相交于P； ②分别以点A，B为圆心，改变半径的大小，仍保证大于 AB的长为半径作弧，两弧在AB的下方相交于Q； ③作直线PQ. 举一反三 PQ就是所求作的直线． 按上述步骤作出的直线PQ是否是线段AB的垂直平分线，请说明理由． 举一反三 解：是．理由如下：如图，连结PA，PB，QA，QB，AB与PQ的交点记为O. 由作图可得：PA＝PB，QA＝QB， 在△PAQ和△PBQ中，PA＝PB，QA＝QB，PQ＝PQ， ∴△PAQ≌△PBQ.∴∠APQ＝∠BPQ. 又∵PA＝PB，∴AO＝BO且PQ⊥AB， ∴直线PQ是线段AB的垂直平分线． 举一反三 8．如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则∠E＝________，BE＝________． 30° 9 举一反三 9. 【新题型】如图，△ABC，△ADE及△EFG都是等边三角形，D，G分别为AC，AE的中点，AB＝4，则多边形ABCDEFG外围的周长是(　　) A．12 B．14 C．15 D．16 C 2星题 提升四能 举一反三 课堂小结 基本定义 定义：等腰三角形是指至少有两条边长度相等的三角形。相等的两条边称为腰，第三边称为底边。两腰所夹的角称为顶角，底边所对的两个角称为底角。 性质 ①等边对等角性质 两腰所对的两个底角相等 数学表达：若AB=AC，则∠B=∠C ②三线合一性质 顶角平分线、底边中线、底边高线三线重合 谢谢观看 THANKS $