12.3.2 等腰三角形的判定 课件 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

# 华东师大版数学八年级上册 12.3.2 等腰三角形的判定专项练习（1232 字） ## 核心知识点梳理 1. **等腰三角形判定定理**：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为 “等角对等边”。这是判定一个三角形是否为等腰三角形最核心的依据，要注意和性质 “等边对等角” 区分：性质是已知边相等推出角相等；判定是已知角相等推出边相等，二者互为逆命题，都只在同一个三角形内成立。 2. **判定思路拓展**：除了等角对等边，还可以直接用定义判定：有两条边相等的三角形是等腰三角形。在几何证明题中，两种方法按需选用。题目若给出角度关系、平行线带来的内错角相等、角平分线条件，优先用 “等角对等边” 证明两边相等，得到等腰三角形。 3. **常见模型**：角平分线 + 平行线模型。若一条角平分线搭配一组平行线，能直接推导出两个角相等，进而利用等角对等边得到等腰三角形。例如：BD平分\(\angle ABC\)，\(AD\parallel BC\)，则\(\angle ABD=\angle ADB\)，\(AB=AD\)。这个模型在考试里出现频率很高，需要熟练识别。 4. **等边三角形的判定预习**：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。本节以等腰三角形判定为主，部分综合题会结合等边三角形简单推理。 5. **证明书写规范**：使用 “等角对等边” 时，必须保证相等的两个角在同一个三角形中，再写出对应边相等。不能跨三角形使用这个结论。得到两边相等之后，即可判定三角形为等腰三角形，后续可使用等腰三角形的性质，如三线合一、等边对等角继续推导。 6. **易错提醒**：①区分性质与判定：等边对等角（边→角，性质）；等角对等边（角→边，判定），写证明依据不要写反；②必须是同一个三角形内的等角，才能推出对等边；③看到角平分线和平行线同时出现，优先找等腰三角形；④判定等腰三角形，最后结论要写明哪两条边相等，不要直接跳步。 ## 一、选择题（每题 4 分，共 20 分） 1. 在\(\triangle ABC\)中，若\(\angle B=\angle C\)，则可以得到（） A.\(AB=AC\) B.\(AB=BC\) C.\(AC=BC\) D.\(\angle A=\angle B\) 2. 下列条件，不能判定\(\triangle ABC\)是等腰三角形的是（） A.\(\angle A=70^\circ，\angle B=40^\circ\) B.\(\angle A:\angle B:\angle C=1:1:2\) C.\(AB=3，BC=3，AC=4\) D.\(\angle A:\angle B:\angle C=1:2:4\) 3. 如图，BD平分\(\angle ABC\)，\(DE\parallel BC\)交AB于E，则下列结论一定成立的是（） A.\(BE=DE\) B.\(BE=BD\) C.\(DE=BC\) D.\(AB=AC\) 4. 下列说法正确的是（） A. 等边对等角是等腰三角形的判定 B. 等角对等边可用于两个不同三角形 C. 有两个角相等的三角形是等腰三角形 D. 等腰三角形的判定只能用定义 5. 在\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=50^\circ\)，\(\angle B=65^\circ\)，则\(\triangle ABC\)是（） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 不等边三角形 ## 二、填空题（每题 4 分，共 20 分） 6. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，简称为________。 7. 等腰三角形判定除了等角对等边，还可以用定义：有________相等的三角形是等腰三角形。 8. 若\(\triangle ABC\)中，\(\angle A=45^\circ，\angle B=45^\circ\)，则相等的边是________。 9. 角平分线加平行线模型，一般可以得到________三角形。 10. “等边对等角” 是等腰三角形的性质；“等角对等边” 是等腰三角形的________。 ## 三、解答题（共 60 分） 11. 判断下列三角形是不是等腰三角形，并写出理由（16 分） （1）\(\triangle ABC\)，\(\angle A=50^\circ\)，\(\angle C=50^\circ\)； （2）\(\triangle MNP\)，\(\angle M=40^\circ，\angle N=50^\circ\)。 12. 证明题（16 分） 已知：如图，\(AD\parallel BC\)，BD平分\(\angle ABC\)。求证：\(AB=AD\)。 13.（14 分）已知：在\(\triangle ABC\)中，\(AB=AC\)，点D在AB上，过D作\(DE\parallel AC\)交BC于点E。求证：\(DB=DE\)。 14.（14 分）已知：点E在BC上，\(\angle AEC=\angle ADE\)，\(AD\parallel BC\)。求证：\(\triangle ABE\)是等腰三角形。 ## 参考答案与解析 选择题： 1.A。解析：\(\angle B、\angle C\)对应的边分别是 AC、AB，等角对等边。 2.D。解析：D 三个角角度各不相同，三边不等，不是等腰三角形。 3.A。解析：角平分线 + 平行线，推\(\angle EBD=\angle EDB\)，等角对等边，\(BE=DE\)。 4.C。解析：等角对等边是判定；只能在同一个三角形内使用。 5.B。解析：\(\angle C=180^\circ-50^\circ-65^\circ=65^\circ\)，\(\angle B=\angle C\)，等角对等边。 填空题： 6. 等角对等边。 7. 两条边。 8.\(BC=AC\)。 9. 等腰。 10. 判定。 解答题： 11. 解：（1）是等腰三角形。理由：\(\angle A=\angle C=50^\circ\)，同一个三角形内等角对等边，\(BC=AB\)。（2）不是。\(\angle P=180^\circ-40^\circ-50^\circ=90^\circ\)，三个角互不相等，没有相等的边。 12. 证明：\(\because AD\parallel BC\)（已知），\(\therefore\angle ADB=\angle DBC\)（两直线平行，内错角相等）。\(\because BD\)平分\(\angle ABC\)（已知），\(\therefore\angle ABD=\angle DBC\)。\(\therefore\angle ABD=\angle ADB\)。\(\therefore AB=AD\)（等角对等边）。 13. 证明：\(\because AB=AC\)（已知），\(\therefore\angle B=\angle C\)（等边对等角）。\(\because DE\parallel AC\)（已知），\(\therefore\angle DEB=\angle C\)（两直线平行，同位角相等）。\(\therefore\angle B=\angle DEB\)。\(\therefore DB=DE\)（等角对等边）。 14. 证明：\(\because AD\parallel BC\)，\(\therefore\angle ADE=\angle DEC\)。又\(\because\angle AEC=\angle ADE\)，\(\therefore\angle DEC=\angle AEC\)。\(\because\angle AEB+\angle AEC=180^\circ\)，\(\angle ABE+\angle BAE=180^\circ\)，可推得\(\angle B=\angle BAE\)，\(\therefore AB=BE\)，\(\triangle ABE\)为等腰三角形。 华东师大版（新教材）数学八年级上册 12.3.2 等腰三角形的判定 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/27 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第12章 全等三角形 学习目标 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它们所对的边 AB 和 AC 有什么数量关系? 建立数学模型： C A B 做一做：画一个△ABC，其中∠B =∠C = 30°，请你量一量 AB与 AC 的长度，它们之间有什么数量关系？你能得出什么结论？ AB = AC 你能验证你的结论吗？ 情境导入 合作探究 我们可以发现: 如果一个三角形中有两个角相等, 那么它就是等腰三角形 即有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成 “等角对等边” 已知：△ABC中∠A=∠B，求证：AC=BC 证明：过点C作CD⊥AB,如图所示 ∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB 在△ACD和△BCD中 △ACD≌△BCD ∴AC=BC 典例分析 例1 . 已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵D是BC的中点 ∴BD=CD ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴△BDE≌△CDF(HL) ∴∠B=∠C ∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形 变式训练 如图所示，在△ABC中，BC⊥AB，∠BAC=45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：△ABE≌△CBF 证明：∵CB⊥AB ∴∠ABC=∠FBC=90° ∵∠BAC=45° ∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB=CB ∴在Rt△ABE和Rt△CBF中 ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL) 1．将一平板保护套展开放置在水平桌面上，其侧面示意图如图所示，若∠ABC＝∠ACB，AB＝10 cm，则AC的长为(　　) A．9 cm B．10 cm C．11 cm D．12 cm 1星题 夯实四基 B 举一反三 2．下列条件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是(　　) A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 C．2∠A＝∠B＋∠C D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶2∶1 D 举一反三 3．如图，∠A＝36°，∠DBC＝36°，∠C＝72°，则图中等腰三角形有________个． 3 举一反三 典例分析 例2 .如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=4，ED=9，则BE+CD的值为（ ） A．13 B. 14 C. 15 D. 16 A 提示：由角平分线与平行线易得∠EGB=∠ABG，从而得到BE=EG，同理可得DF=CD，再根据BE+DC=ED+FG即可得到答案。 变式训练 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，DB=1，BC=3，则AC的长为（ ） 提示：由△BCD≌△ECD（ASA）得到BC=CE=3，BD=DE=1，由等角对等边判定AE=B，继而可求AC。 A．4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 C 新知探究 等边三角形的判定 等边三角形的两个判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 已知：△ABC中∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形。 证明：∠A=∠B，根据等角对等边可得BC=AC ∠B=∠C，同理可得AC=AB ∴AB=AC=BC ∴△ABC是等边三角形 你能自己证明第二个判定定理吗？ 典例分析 例3 .如图，在△ABC中，点D，E在BC边上，连接AD，AE，且AD=DE，线段DF,EH分别是△ADB和△AEC的高，且AF=AH，DF=EH．请判断△ADE是等边三角形吗？并加以证明． 证明：∵线段DF、EH分别是△ADB和△AEC的高， ∴∠AFD=∠AHE=90° 又AF=AH、DF=EH ∴△AFD≌△AHE（SAS） ∴AD=AE，又AD=DE，∴AD=DE=AE ∴△ADE是等边三角形 变式训练 如图，已知△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3．试问：△DEF是等边三角形吗？请说明理由． 解：DEF是等边三角形，理由如下： ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB=60°，∴∠3+∠BCE=60° ∵∠2=∠3 ∴∠BEF=∠2+∠BCE=60° 同理∠EFD=∠FDE=60° ∴△DEF是等边三角形 典例分析 例4 .如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A'在AB上，则旋转角的α大小可以是（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° C 提示：由旋转性质可知OA=OA'，由已知可推出∠A=60°，则△A'OA'是等边三角形，故旋转∠A'OA'可求 4．如图，B，E，C，F是直线l上的四点，AC，DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF. 求证：△GEC是等腰三角形． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF. 在△ABC和△DFE中， ∴△ABC≌△DFE. ∴∠ACB＝∠DEF， ∴EG＝CG，∴△GEC是等腰三角形． 举一反三 【思维模型】三角形的关系 ∠A＝60°(答案不唯一) 举一反三 5．如图是我们作圆(或作弧)时使用的圆规，已知圆规两脚OA＝OB＝8 cm.作圆或作弧时要调整圆规两脚张开的角度，若圆规两脚张开的角度为60°，则A，B两点间的距离为________cm. 8 举一反三 6．如图，在△ABC中，D为边AB上一点，DF⊥BC于点F，延长FD，CA交于点E.若∠E＝30°，AD＝AE.求证：△ABC为等边三角形． 证明：∵AD＝AE，∠E＝30°，∴∠E＝∠ADE＝30°， ∴∠CAB＝∠E＋∠ADE＝30°＋30°＝60°. ∵DF⊥BC，∴∠EFC＝90°，∴∠C＝90°－∠E＝60°， ∴∠B＝180°－∠C－∠CAB＝180°－60°－60°＝60°， ∴∠C＝∠B＝∠CAB，∴△ABC为等边三角形． 举一反三 7．如图，△ABC是等边三角形，点D，E，F在△ABC的内部，点D在AE上，点E在BF上，点F在CD上，且∠BAE∶∠CBF∶∠ACD＝1∶2∶3，则△DEF的形状是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2星题 提升四能 A 举一反三 8．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且∠ADC＝∠ACD＝2∠B，若AB＝27，△ADC的周长为43，则CD＝________． 11 举一反三 9.(原创题)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E在△ABC外，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°.求证：△ABE是等边三角形． 证明：∵BD＝BC，∠DBC＝60°， ∴△DBC是等边三角形，∴∠BDC＝60°，DB＝DC. 在△ADB和△ADC中， ∴△ADB≌△ADC， 举一反三 ∴∠ADB＝∠ADC＝ (360°－∠BDC)＝150°. ∵∠ABE＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠EBC. 在△ABD和△EBC中， ∴△ABD≌△EBC，∴AB＝EB. 又∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形． 举一反三 课堂小结 等角对等边 判定依据：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。 几何语言： 在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC，△ABC是等腰三角形。 等边三角形的判定 ①判定依据：三个内角都相等的三角形是等边三角形（每个角为60°）。 几何语言：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C=60°，则△ABC是等边三角形。 ②判定依据：若一个三角形是等腰三角形，且有一个角为60°，则它是等边三角形。 谢谢观看 THANKS $