-第5章专题10《一元一次方程及其解法》专项演练 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

专题10　一元一次方程及其解法 　考点加油站　 （1）方程是中学数学中最重要的内容之一，最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都需要通过变形转化为一元一次方程来解． （2）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 ，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，要灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向 的形式转化． 　典例展示厅　 类型一　一元一次方程的定义 例1　若 是关于 的一元一次方程，求 的值． 点拨　本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数的次数为 是解题的关键，同时关注一次项系数不为 ． 变式1　已知方程 是关于 的一元一次方程． (1)求代数式 的值； (2)求关于 的方程 的解． 归纳总结 一个方程是一元一次方程必须满足两个条件：①等号的两边必须是整式；②只含有 个未知数且未知数的最高次数为 ，一次项系数不为 ． 类型二　一元一次方程解的定义 例2　已知关于 的方程 的解是 ，其中 ，且 ，求整式 的值． 点拨　把 代入已知关于 的方程 中，可以求得 的数量关系：，然后将其代入所求的代数式求值． 变式2　若 是方程 的解，求 的值． 归纳总结 已知方程的解求参数的问题，将解代入原方程可以得到关于参数的方程，解这个方程即可． 类型三　解方程中多层嵌套 例3　解方程 ． 点拨　观察方程结构特征： 与 互为倒数， 是整数，故解此方程时先不急于去分母，而应先去中括号，再去小括号计算较简便． 变式3　解方程 ． 归纳总结 灵活解一元一次方程时常用到的方法技巧有：①若有多重括号，应根据方程中数据特征，灵活运用去括号法则与合并同类项法则，交替进行；②若括号内含分数时，应由外向内先去括号，再去分母；③恰当运用整体思想．因此在解方程时，既要学会严格按步骤进行，又要依据方程结构特征灵活变通步骤． 类型四　解方程中的去分母 例4　解方程：． 点拨　观察方程结构特征：若直接去分母，运算量太大，若将 移项到左边，并分解为 ，则分子均为 ，于是可求解． 变式4　（“希望杯”竞赛）若 ，则方程 的解是＿＿＿． 归纳总结 在解一元一次方程去分母时，在两边同乘所有分母的最小公倍数，再去括号、移项即可求解．如果方程的分母比较复杂，可以考虑采用特殊方法解方程，如提公分子法、裂项法等． 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★　已知 是关于 的一元一次方程，则 的值为（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 2　★★　七年级的两名爱好数学的同学在学完“一元一次方程”后，一名同学对另一名同学说：“方程 与方程 的解相同．”则 的值是（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 3　★★★　 是在数轴上不同的两个点，它们所对应的数分别是 ，，且点 到原点的距离相等，则 的值为＿＿＿． 4　★★　现有一系列方程：第 个方程是 ，解为 ；第 个方程是 ，解为 ；第 个方程是 ，解为 ……根据规律第 个方程是＿＿＿，解为＿＿＿． 5　★★　解方程： (1)； (2)； (3)，其中 ． ▍竞赛集训（针对强基自招） 6　★★　定义新运算“”为 ，如果 ，则 等于（　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．无法确定 7　★★★　方程 的解是 （　） A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． 8　★★★　设 为自然数，且 ，若方程 有正整数解，且该解为质数，则 的值为＿＿＿． 9　★★★　已知 ，且 ，则 ＿＿＿． 10　★★★　已知 都是质数，并且以 为未知数的一元一次方程 的解是 ，求代数式 的值． 11　★★★　对于两个整数 和一个正整数 ，如果 和 除以 的余数相同，那么就称 与 除以 同余，记作 ．如果同余式的两端是关于未知数 的代数式，且 的最高次数是 ，那么这样的同余式称为一元一次同余方程．和一元一次方程类似，一元一次同余方程也可以按照“去括号、移项、系数化为 ”的方式来求解． 例：解一元一次同余方程 ． 去括号：得到 ； 移项：得到 ．这一步以后，由于 ，因此可以把方程进一步化简为 ． 系数化为 ：寻找一个数 ，使得 ，我们发现 满足条件，因此在方程的两边同乘 ，得到 ，也就是 ，将两边的系数化为除以 的余数，就得到了方程的解 ．故同余方程的所有解是 （ 是整数）． (1)仿照上面的方法，解一元一次同余方程： ①； ②． (2)如果 是 的一个解， 是整数且 ，求 的值． (3)同余方程 有解吗？为什么？ 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　 是关于 的一元一次方程，，，即 ， 或 ，解得 或 ，． 变式1　(1) 方程 是关于 的一元一次方程， 且 ，， 原一元一次方程化为 ，解得 ．， 当 时，原式 ．(2)方程化为 ， 或 ， 或 ． 例2　由题意，得 ，解得 ，． 变式2　，，，，解得 ，将 代入，得 ，解得 ． 例3　去掉中括号，得 ，去掉小括号，得 ，解得 ． 变式3　原方程化为 ，解得 ． 技法点拨 线性迭代型多项式的化简：，当 时，上式 ；当 时，上式 ．若其为 ，则关于 的方程的解为 或 ． 例4　，，，，，解得 ． 变式4　　解析：，，，解得 ，，原方程化为 ，，，，解得 ． 学霸训练营 1　A　解析： 是关于 的一元一次方程， 且 ，， 原方程化为 ，解得 ，． 2　C　解析：，去分母，得 ，解得 ．把 代入方程 ，得 ，，解得 ． 3　　解析：根据题意知，，又 是在数轴上不同的两个点，则 ，． 4　　　解析：第 个方程是 ，解为 ；第 个方程是 ，解得 ；第 个方程是 ，解得 ；……可以发现，第 个方程为 ，解为 ． 第 个方程是 ，解为 ． 5(1)　，整理，得 ，即 ，去括号，得 ，移项，得 ，合并同类项，得 ，解得 ． 5(2)　，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，解得 ． 5(3)　将原式去分母，得 ，去括号并化简，得 ，解得 ． 6　C　解析：原方程为 ，即 ，解得 ． 7　D　解析：原方程裂项化简为 ，解得 ． 8　 或 　解析：原方程化为 ，解得 ；由于 都是自然数，且 ，故 ，从而 ，对 分类讨论．①若 ，则 ，由于 是质数，故只有 ，．②若 ，则 ，由于 是质数，故只有 ，．故 或 ． 9　　解析：原方程化为 ，由于 ，故 ． 10　由题意知 ， 都是自然数，因此它们必然一奇一偶，也就是 一奇一偶．由于质数中只有 为偶数，从而 中有一个为 ．若 为 ，则 ，解得 ；若 为 ，则 ，而 不是质数，舍去．故 ． 11　(1)①去括号：；移项并化简：；系数化为 ：，化简得 ，故方程的解是 （ 是整数）．②移项并化简：；系数化为 ：，化简得 ，故方程的解是 （ 是整数）．(2)将 代入得 ，移项并化简得 ，解得 ，又 ，故 ．(3)无解．因为 和 的最大公约数为 ，因此 除以 的余数只有 三种可能，不可能为 ，因此这个同余方程无解． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $