5.3一元一次方程的解法 培优测试 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦一元一次方程解法，通过基础巩固、技能提升到综合应用的三层设计，培养运算能力与推理意识，适配新授课知识内化与适度拓展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程解、同解方程等单一知识点|选择题1-5题直接考查方程求解，填空题11-13题强化解的非负性应用，体现抽象能力| |中档|去分母、去括号等运算技能|计算题17-18题训练含分数系数方程求解步骤，填空题14-15题结合同解原理，培养运算能力| |提升|新定义、跨情境综合应用|解答题21-25题设计“倍移”“中点方程”等新情境，需建立方程模型解决问题，发展推理意识与模型观念|

5.3一元一次方程的解法 培优测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．若方程与关于的方程的解相同，则的值为（　　） A．1 B． C． D． 2．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 3．如图①，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即．如图②，当时，的值为（　　） A． B． C． D． 4．若单项式与的和仍是单项式，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 5．解方程时，小刚在去分母的过程中，右边的“﹣1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x＝2，则方程正确的解是（　　） A．x＝﹣3 B．x＝﹣2 C． D． 6．方程的解是x＝（　　） A． B． C． D． 7．已知a为自然数，关于x的一元一次方程的解也是自然数，则满足条件的自然数a共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 9．嘉琪在进行解方程的思维训练，其中有一个方程“2y-=y+■”中的■没印清晰，嘉琪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当×= 2时代数式5(x-1)-2(x- 2)-4的值相同．”嘉琪很快补上了这个有理数．你认为嘉琪补的这个有理数是（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-2 10．阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x= ；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程a=- （x-6）无解，则a的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 二、填空题（每空3分，共24分） 11．已知关于的方程：有非负整数解，则整数的所有可能的值之和为　 　． 12．已知关于x的方程与的解相同，则　 　. 13．小明做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，小芳告诉他该方程的解是负数，并且这个常数是负整数，该方程的解是　 　． 14．已知a，b为定值，且无论k为何值，关于x的方程的解总是，则 =　 　. 15．在一元一次方程中，如果两个方程的解相同，则称这两个方程为同解方程．方程与方程　 　填“是”或“不是”同解方程；若关于的两个方程与是同解方程，　 　；若关于的两个方程与是同解方程，　 　． 16．如果关于的方程有正整数解，那么正整数的所有可能取值之和为　 　． 三、计算题（共3题，共21分） 17．解方程， （1） （2） 18．解下列方程： （1） （2） （3）278（x﹣3）﹣463（6﹣2x）﹣888（7﹣21x）＝0 （4） 19．（第3讲 一元一次方程——例题）解关于x的方程 四、解答题（共6题，共45分） 20．已知关于x的方程是一元一次方程． （1）求k的值． （2）若已知方程与方程的解互为相反数，求m的值． （3）若已知方程与关于x的方程的解相同，求m的值． 21．（—+解一元一次方程+++++2 ）探究题 阅读下列材料，规定一种运算 =ad﹣bc，例如 =2×5﹣34=10﹣12=﹣2，再如 =﹣2x﹣3（x﹣3）=﹣5x+9，按照这种运算的规定，请解答下列问题： （1） =　 　（只填结果）； （2）若 =0，求x的值．（写出解题过程） 22．数学家欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示.例如：f（x）＝x2+x-1，当x＝a时.多项式的值用f（a）来表示，即f（a）＝a2+a-1.当x＝3时，f（3）＝32+3-1＝11. （1）已知f（x）＝x2-2x+3，求f（1）的值. （2）已知f（x）＝mx2-2x-m，当f（-3）＝m-1时，求m的值. （3）已知f（x）＝kx2-ax-bk（a.b为常数），对于任意有理数k，总有f（-2）＝-2，求a，b的值. 23．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以m（m≠0），再把所得数对应的点沿数轴向左平移n（n 0）个单位长度，得到点 .称这样的操作为点P的“倍移”，对数轴上的点A，B，C进行“倍移”操作得到的点分别记为 . （1）当m=-2，n＝6时，若点A表示的数为-2，则它的对应点 表示的数为　 　； （2）在（1）的条件下，若 ，k的值是否随着点C的移动而改变？若是，请说明理由，若不变，请求出k的值； （3）若 ，求m的值. 24．定义：若一个关于x的方程 的解为 ，则称此方程为“中点方程”.如： 的解为 ，而 ； 的解为 ，而 . （1）若 ，有符合要求的“中点方程”吗？若有，请求出该方程的解；若没有请说明理由； （2）若关于x的方程 是“中点方程”，求代数式 的值. 25．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例如：方程和为“美好方程”. （1）若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； （2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； （3）若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解. 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程 【解析】【解答】∵方程， ∴x-2x=1+2， ∴x=-3， ∵方程与关于的方程的解相同， ∴将x=-3代入， 可得：k×（-3-2）=， 解得：k=， 故答案为：D. 【分析】先求出方程的解为x=-3，再将其代入计算即可. 2．【答案】D 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：给方程两边同时乘以6，得6x-(2-ax)=2x-6， ∴6x-2+ax=2x-6， ∴(4+a)x=-4， ∴x=. ∵方程有非负整数解， ∴4+a=-1或-4或-2， 解得a=-5或-8或-6， ∴和为-5-8-6=-19. 故答案为：D. 【分析】给方程两边同时乘以6，得6x-(2-ax)=2x-6，化简可得x=，由方程有非负整数解可得4+a=-1或-4或-2，求出a的值，然后相加即可. 3．【答案】A 【知识点】解一元一次方程；列一元一次方程 【解析】【解答】根据题意知： a=x+2x=3x ，① b=2x+5， ② a+b=y ③ 把①和②带入③，得： y=3x+2x+5=5x+5， 当y=505时，5x+5=505， 5x=505-5 5x=500 x=100 把x=100代入②得：b=2×100+5=205 故答案为A 【分析】本题考查定义运算，按照要求写出算式，列出一元一次方程，解一元一次方程：移项，合并同类项，系数化1，带入求值，可得到所求字母的值。 4．【答案】A 【知识点】同类项的概念；解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：代数式与的和是单项式， 代数式与是同类项， ， 解得，代入方程中，得： ， 解得， 故答案为：A． 【分析】由题意知与是同类项，根据同类项的定义可求m、n的值，再代入方程解之即可. 5．【答案】A 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：由题意得， x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解， 所以a＝， 则正确解为： 去分母得，2（2x﹣1）＝3（x+）﹣6， 去括号得，4x﹣2＝3x+1﹣6， 移项合并同类项得，x＝﹣3， 故答案为： A． 【分析】根据题意可知将x=2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1可求出a的值；再将a的值代入原方程，然后求出原方程的解即可. 6．【答案】C 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：∵，，，， ∴原方程可化为：【+++】x=1 即x=1 ∴x=.故选C. 【分析】由题意易得：，，，，于是可将原方程化简为：x=1，然后系数化为1 即可求解. 7．【答案】B 【知识点】一元一次方程的解；解一元一次方程 【解析】【解答】解：解关于x的一元一次方程6x=ax+6得． ∵方程的解为自然数，且a为自然数， ∴是6的约数． ∴的值可以为1，2，3，6． ∴a的值可以为5，4，3，0． ∴满足条件的自然数a共有4个． 故选：B． 【分析】解方程可得，由于方程的解为自然数，且a为自然数，可得是6的约数，据此求解即可. 8．【答案】C 【知识点】一元一次方程的解；解含括号的一元一次方程 【解析】【解答】解： 解得： ∵方程的解是整数，k也是整数 ∴k可以为-5或-1或1或5 故答案为：C. 【分析】原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得到关于k的x的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于k的一元一次方程，解之即可． 9．【答案】A 【知识点】合并同类项法则及应用；利用合并同类项、移项解一元一次方程 【解析】【解答】当x＝2时代数式5（x-1）-2（x-2）-4 ＝5x-5-2x+4-4 ＝3x-5 ＝3×2-5 ＝1， 即y＝1， 代入方程中，即可得出补的这个有理数是1 故答案为：A 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把a＝1，b＝-2代入化简后的代数式进行计算即可． 10．【答案】A 【知识点】解一元一次方程 【解析】【解答】要把原方程变形化简，去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6， 移项，合并得，x= ， 因为无解，所以a﹣1=0，即a=1． 故答案为：A． 【分析】对方程去分母、去括号、移项、合并同类项进行求解，再根据方程无解得到关于a的方程，求解可得a的值. 11．【答案】 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解方程，得，因为关于的方程：有非负整数解， 又 为整数，所以-a-4可以取1，2，4，所以a的值为-5，-6，-8，所以 整数的所有可能的值之和为 -5-6-8=-19. 故答案为：-19. 【分析】先解出方程的解，再由解为非负整数和a为整数来确定a的所有可能值，最后求出整数的所有可能的值之和 . 12．【答案】 【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；一元一次方程-同解问题 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ ∴， 把代入，得 ， 去分母，得 ， 解得. 故答案为：. 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可求出方程3x-(x-1)=5的解，然后代入中可得关于m的方程，求解可得m的值. 13．【答案】 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：设这个常数为，， 解得， 解是负数，是负整数， 所以，， 的值只有， 解得， 故答案为：． 【分析】设这个常数为m，则-1=+m，根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1表示出x，根据方程的解为负整数可得m的值，进而可得x的值. 14．【答案】 【知识点】一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：方程两边都乘14，去分母得 ， 整理得 ， ∵无论k为何值，方程的解总是 ， ∴ ， ， 解得： ， ， ∴ ， 故答案为： . 【分析】方程两边都乘14，然后整理可得(2x+7b)k+14x=14+2a，由题意可得2+7b=0，14+2a=14，求出a、b的值，然后根据有理数的加法法则进行计算. 15．【答案】是；1；-7 【知识点】一元一次方程的解；利用合并同类项、移项解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程 【解析】【解答】解：（1）解2x-1=3得x=2，解x+5=3x+1得x=2， ∴ 这两个方程是同解方程， 故答案为：是； （2）解2x=4得x=2， ∵方程2x=4与关于x的方程mx=m+1是同解方程， ∴x=2是关于x的方程mx=m+1的解， ∴2m=m+1， 解得m=1； 故答案为：1； （3）解关于x的方程2x=a+1得，解关于x的方程3x-a=-2得， ∵关于x的方程2x=a+1得与3x-a=-2是同解方程， ∴，解得a=-7， 故答案为：-7. 【分析】（1）根据解一元一次方程的一般步骤分别解出两个方程的解，进而根据同解方程的定义进行判定即可； （2）根据解一元一次方程的步骤求出第一个方程的解，根据两个方程是同解方程，将x的值代入第二个方程可得关于字母m的方程，求解即可得出m的值； （3）根据解一元一次方程的一般步骤分别解出两个关于x的方程的解，根据两个方程是同解方程可得关于字母a的方程，求解即可得出a的值. 16．【答案】23 【知识点】解一元一次方程；定义新运算 【解析】【解答】解：由 是整数知， 或 ． 若为前者，由于 ， 故知 只能为 ． 此时， ， 解得： ，因此 ，2，3，但一一验证知均不成立， 若为后者，设 ，其中 是正整数． 则 ， 故 时取到 或 时取到 ． 因此所求答案为 ． 故答案为：23. 【分析】根据题意可得7|k或7|x，若为前者，根据 可得k只能为7，此时x=>-3，求出x的范围，然后验证即可；若为后者，同理求解即可. 17．【答案】（1）解：方程 变形为 ， 去分母得 ， 去括号合并同类项得-10x+60=0， 移项得-10x=-60， 系数化为1得x=6. （2）解：方程 变形为 ， ∴ ∴ ∴ ， ∴ . 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【分析】（1）首先根据分数的性质把分子和分母中的小数化为整数，然后按照去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）先变形为 ，再整理得 ，即可解. 18．【答案】（1）解：去分母得，2（x﹣1）﹣（x+2）＝3（4﹣x）， 去括号，可得：2x﹣2﹣x﹣2＝12﹣3x， 移项合并同类项得，4x＝16， 系数化为1得，x＝4． （2）解：原方程可变形为：0.8+1.8﹣ 去分母，得15.6﹣6﹣4x＝3x﹣15， 移项合并同类项，得7x＝24.6， 系数化为1得，x＝3 ． （3）解：去括号得，278x﹣834﹣2778+926x﹣6216+18648x＝0， 移项合并同类项得，19852x＝9828， 系数化为1得，x＝ ． （4）解： 移项，得 { [ （ ）﹣3]﹣3}＝3， 方程的两边都乘以2，得 [ （ ）﹣3]＝9， 方程的两边都乘以2，得 （ ）＝21 方程的两边都乘以2，得 x＝45 方程的两边都乘以2，得x＝90 【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程 【解析】【分析】（1）（2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1，即可求出方程的解；（3）方程去括号，移项合并同类项，将x的系数化为1，即可求出方程的解．（4）方程的两边都乘以2，依次去掉大括号、中括号和小括号，求出x的值． 19．【答案】解：去分母得 4mx-4mn=3x+6m 移项，合并同类型得 （4m-3）x=4mn+6m 所以（1）当 ，即 时，原方程有唯一解x=. （2）当 ，即 时，又分为两种情况： 若4mn+6m=0，即 时，方程有无数多解，解为任意数 若4mn+6m 0，即 时，原方程无解 综上所述 当 ，n为任意数时，方程有唯一解 当 ，n=- ，方程有无数多解，解为任意数 当 ，n - 时，方程无解 【知识点】解一元一次方程 【解析】【分析】将方程整理成ax=b的形式，分三种情况讨论： (1)在 a ≠ 0 时 ，方程ax=b有唯一解x=， (2)在a=0且b=0时，方程ax=b有无穷多解，x可为任意数； (3)在a=0且b≠0时 ，方程ax=b无解. 20．【答案】（1）解：∵是一元一次方程， ∴，，解之得： （2）解：将代入，得，解之得：， 解方程，得， ∵它们的解互为相反数， ∴，解之得： （3）解：由（2）知已知方程的解为， 解方程，得， ∵它们的解相同， ∴，解之得： 【知识点】一元一次方程的概念；一元一次方程的解；解含分数系数的一元一次方程 【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义“含有1个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作一元一次方程”并结合已知的方程可得关于k的方程和不等式，解之可求解； （2）把（1）中求得的k的值代入方程（-3）x2-(k-3)x+2m+1=0可得关于x一元一次方程，解之可将x用含m的代数式表示出来，再解方程3x-2=4-3x，根据这两个方程的解互为相反数并结合相反数的意义“互为相反数的两个数和为0”可得关于m的方程，解之可求解； （3）结合（2）的结论根据两个方程的解相同可得关于m的方程，解之可求解. 21．【答案】（1）7 （2）解：因为 =0 所以2（x+8）﹣3（x﹣1）=0 解得x=19． 【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次方程 【解析】【解答】解：（1）1×（﹣2）﹣3×（﹣3）=7， 故答案为：7， 【分析】（1）根据 =ad﹣bc，可得答案；（2）根据 =ad﹣bc，可得答案． 22．【答案】（1）解：当x＝1时，f（1）＝1-2+3＝2； （2）解：当x＝-3时，f（-3）＝mx2-2x-m＝9m+6-m＝m-1， ∴m＝-1； （3）解：当x＝-2时，f（-2）＝kx2-ax-bk＝4k+2a-bk＝-2， ∴（4-b）k+2a＝-2， ∵k为任意有理数， ∴4-b＝0，2a＝-2， ∴a＝-1，b＝4. 【知识点】代数式求值；多项式的项、系数与次数；利用合并同类项、移项解一元一次方程 【解析】【分析】（1）把x=1代入x2-2x+3，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出答案； （2）把x=-3代入mx2-2x-m得mx2-2x-m＝9m+6-m，再结合x=-3时mx2-2x-m=m-1，可列出方程，求解可得m的值； （3）把x=-2代入kx2-ax-bk得kx2-ax-bk＝4k+2a-bk ，结合x=-2时， kx2-ax-bk＝-2 ，建立方程得 （4-b）k+2a＝-2， 由“ k为任意有理数时”该式子的值都是-2，从而可得关于k的项的系数为0，据此求出a、b的值. 23．【答案】（1）-2 （2）解：设点C表示的数为c，则C′表示的数为mc-n， ∴ ∴k的值不会随着点C的移动而改变，k=2 （3）解：设点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点A′表示的数为am-n，点B′表示的数为bm-n， 当 ∴ ，解得： 【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；解含括号的一元一次方程 【解析】【解答】解：（1）设P点表示的数为x，由题意，则其在数轴上进行“倍移”所表示的数为mx-n， 当m=-2，n＝6，点A表示的数为-2时， 则它的对应点 表示的数为：-2×（-2）-6=-2 故答案为：-2 【分析】（1）设P点表示的数为x，则其在数轴上进行“倍移”所表示的数为mx-n，然后将题目中数据代入求解即可； （2）设点C表示的数为c，则C′表示的数为mc-n，由数轴上两点间距离公式列式并化简求解； （3）设点A表示的数为a，点B表示的数为b，则点A′表示的数为am-n，点B′表示的数为bm-n，然后根据数轴上两点间距离公式列方程求解. 24．【答案】（1）解：没有符合要求的“奇异方程”，理由如下： 把 代入原方程解得：x= ， 若为“中点方程”，则x= ， ∵ ≠ ， ∴不符合“中点方程”定义，故不存在 （2）解：∵ ， ∴（2a-b）x+b=0. ∵关于x的方程 是“中点方程”， ∴x= =a. 把x=a代入原方程得： ， ∴ = 【知识点】解一元一次方程 【解析】【分析】（1）把 代入原方程解得：x= ，若为“中点方程”，则x= ，由于b≠b-2，根据“中点方程”定义即可求解；（2）根据“中点方程”定义得到 ， = ，整体代入即可. 25．【答案】（1）解：，. .. 关于的方程与方程是“美好方程”， ， （2）解：“美好方程”的两个解的和为1， 另一个方程的解为：. 两个解的差为8， 或. 或 （3）解：.. 关于的一元一次方程和是“美好方程”， 关于的一元一次方程的解为. 关于的一元一次方程可化为：. . 【知识点】解含分数系数的一元一次方程 【解析】【分析】（1）根据“美好方程”的定义可求解； （2）根据“美好方程”的定义可将另一个方程的解用含n的代数式表示出来，由两个解的差为8可得关于n的解，解方程可求出n的值； （3）解方程x+1=0可求出x的值，根据“美好方程”的定义可得方程的解为x=2024，则关于y的一元一次方程可求解. 1 学科网（北京）股份有限公司 $