第5章 专题11《含参数的一元一次方程》同步演练 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

专题11　含参数的一元一次方程 　考点加油站　 对于变量，用含有字母的代数式来表示变量，这个代数式叫作参数式，其中的字母叫做参数。含参数的一元一次方程总可以化为 的形式。当字母 的取值范围未给出时，则要讨论解的情况，其方法是： ①当 时，方程有唯一解，即 ； ②当 时，方程有无数个解； ③当 时，方程无解。 　典例展示厅　 类型一　含参一元一次方程的基础解法 例1　解关于 的方程：. 点拨　先将原方程整理为“”的形式，因为是含参数的一元一次方程，所以必须讨论方程解的情况. 变式1　如果 为常数，那么关于 的方程：，无论 为何值时，它的解总是 .求 的值. 归纳总结 在解含参数的一元一次方程时，要格外留心一次项系数中含参数的情况，这时需要分类讨论而不能随便将系数化为 . 如果方程无解或使得任意实数都是解，则考虑一次项系数为 ，列方程解出参数的值. 类型二　整数解的个数 例2　若 为整数，，则使得方程 的解也是整数的 的值有＿＿＿种. 点拨　先带着参数解方程，然后根据整数的整除性讨论方程的解. 变式2　（“五羊杯”竞赛）已知关于 的方程 有整数解，那么满足条件的所有整数 ＿＿＿. 归纳总结 解含参数的一元一次方程时，需要将原方程化为 的形式后，再对方程中参数可能取值的情况讨论方程解的个数，或利用方程 各种解的情形所应满足的条件建立参数的关系式，或探究参数需满足怎样的条件时，方程的解是整数，则需要用到整数的基本知识. 类型三　含参一元一次方程解的个数问题 例3　已知关于 的方程 . (1)当 为何值时，方程无解？ (2)当 为何值时，方程有无穷多解？ 点拨　将方程去分母整理得到 的形式，再根据方程 各种解的情形所对应满足的条件建立关于 的关系式求解. 变式3　已知 为有理数，且关于 的方程 有无数个解，求 的值. 归纳总结 如果将一元一次方程化为 形式时系数 是否为 不确定，就要根据 的取值分类讨论，若 ，方程虽然不再是一元一次方程，但是这时需要转换理解；当 时，无论 取什么值等式都不能成立，因此方程无解；当 时，无论 取什么值等式都能成立，因此方程有无限多个解. 类型四　含参一元一次方程的应用 例4　若 是关于 的方程 的解， 是关于 的方程 的解，且 满足 ，则称方程 与方程 的解接近. 例如：方程 的解是 ，方程 的解是 .因为 ，所以方程 与方程 的解接近. (1)请直接判断方程 与方程 的解是否接近. (2)若关于 的方程 与关于 的方程 的解接近，请你求出 的最大值和最小值. (3)请判断关于 的方程 与关于 的方程 的解是否接近，并说明理由. 点拨　(1)解出两个一元一次方程的解分别是 和 ，根据题意 则两个方程的解接近，否则不接近.本题中 ；(2)由题意可知 ，分别求出两个方程的解（用含 的式子来表示），求出 的取值范围，再从中确定 的最大值和最小值；(3)分别解出两个一元一次方程的解（都用含 的式子来表示），求出两个解的差的绝对值与 比较大小即可. 变式4　我们规定，若关于 的一元一次方程 的解为 ，则称该方程为“差解方程”，例如： 的解为 ，且 ，则方程 是差解方程.请根据上述规定解答下列问题： (1)判断 是不是差解方程. (2)若关于 的一元一次方程 是差解方程，求 的值. 归纳总结 解含参数的方程关键在于研究解的特征，从解的特征中发现数量关系，这类问题既可以讨论解的个数，又可以探究解的特征，常用到整数的基本知识、简单的相等或者不等关系等等. 　强基直通车　 例5　已知 ，且 ，若不论 取何值，代数式 的值固定不变，求 的值. 点拨　取特殊值法：令 与 ，使其值相等得到关于 与 的方程，与已知方程联立求出 与 的值即可. 归纳总结 对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或者部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★　已知关于 的方程 无解，则 的值是（　） A．　　　　B． C．　　D． 2　★★★　若 是有理数，关于 的方程 至少有两个不同的解，则另一个关于 的方程 的解的情况是（　） A．无法确定解的个数　　B．有无限多个解 C．只有一个解　　　　　D．无解 3　★★　如果方程 的解与关于 的方程 的解互为负倒数（两数乘积为 ），那么代数式 的值为＿＿＿. 4　★★★　 为常数，关于 的方程 ，无论 为何值，它的解总是 ，则 ＿＿＿. 5　★★　解关于 的方程 . 6　★★★　(1)小马虎同学在解方程 去分母时，方程右边的 项漏乘了 ，因而求得方程的解为 ，请你帮助小马虎同学求出 的值，并正确地求出原方程的解. (2)已知关于 的方程 和 的解相同，求 的值. ▍竞赛集训（针对强基自招） 7　★★　已知 是不为 的整数，并且关于 的方程 有整数根，则 的值共有（　） A． 个　　　　B． 个 C． 个　　　　D． 个 8　★★★　（“希望杯”竞赛）以 为未知数的方程 （ 为有理数，且 ）的解为正整数，则 是（　） A．负数　　B．非负数 C．正数　　D．零 9　★★　已知关于 的方程 有无数多个解，则 的值为＿＿＿， 的值为＿＿＿. 10　★★★　已知关于 的二元一次方程 ，当 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解，并证明对任意 值它都能使方程成立. 11　★★★　已知关于 的方程 的解为正整数，求所有满足条件的自然数 . 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　，，，当 ，且 时，，此时方程无解；当 ，且 时，，此时任意数都是方程的解；当 且 时，方程的解为 . 变式1　将 代入得 . 由题意，可将其视作关于 的方程时任意实数都是解. 整理得 ，则 ①， ②，解得 ①， ②. 则 . 例2　　解析：方程的解为 ，是整数，从而 的绝对值是 的因数，而 ，故 的可能取值为 ，从而 的可能取值为 ，共 种. 变式2　 或 或 或 　解析：方程的解为 ，从而 或 或 或 ，故 或 或 或 . 例3　将方程整理得 ，即 . (1)若方程无解，则有 ，且 ，解得 . (2)若方程有无穷多解，则有 ，且 ，解得 . 变式3　方程化为 ，则 ①， ②，所以 ，，若 ，则 ，解得 ，与 矛盾，舍去；若 ，则 ，解得 . 综上，，. 例4　(1)解方程 ，得 ，解方程 ，得 . ， 方程 与方程 的解不接近. (2)关于 的方程 的解为 ，关于 的方程 的解为 . 关于 的方程 与关于 的方程 的解接近，，解得 . 的最大值是 ，最小值是 . (3)解方程 ，得 ；解方程 ，得 . ， 方程 与方程 的解接近. 变式4　(1)，. ， 是差解方程. (2)，. 关于 的一元一次方程 是差解方程，，解得 . 强基直通车 例5　当 与 时，，即 ，. 又 ，，解得 ，. 学霸训练营 1　A　解析：原方程可化为 . 方程无解，，解得 . 2　D　解析：解方程：，可得 . 至少有两个不同的解，，即 ，. 把 ， 代入 中，得 ，无解. 方程 无解. 3　　解析：解方程 ，移项，得 ，合并同类项，得 ，系数化为 ，得 . 的负倒数是 ， 是方程 的解. ，解得 . . 4　　解析：把 代入方程得 ，化简，得 . 由于 可以取任意值， ①， ②，解得 ，. . 5　去分母，得 ，去括号，得 ，移项，得 . 若 ，即 ，则 可以为任意实数. 若 ，则 . 6　(1)把 代入方程 中，得 ，解得 . 原方程正确去分母的结果为 ，解得 . (2)由关于 的方程 ，解得 . 关于 的方程 和 的解相同，，解得 . 7　C　解析：解方程得 . 要使得 是整数，则 是整数，故 可取 ，共 个值. 8　A　解析：方程的解为 ，由于 ，，故必有 ，从而得出 是负数. 9　　　解析：整理方程得 ，要使得方程有无数个解，则 ①， ②，解得 ①， ②. 10　将方程当作以 为未知数的一元一次方程，整理得 ，方程的公共解使得这个关于 的方程的解是任意实数，从而 ①， ②，解得 ，. 将 代入原方程得到 ，化简得到 ，故任何一个 都能使得方程成立. 11　整理方程得 ，解得 . 而 为自然数， 为正整数，故 ，，故 只有 两个取值，当 取 时， 不是整数；当 取 时，. 故自然数 为 . 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $