第5章专题13《辅助设元(设而不求)》同步演练 2026--2027学年浙教版七年级数学上册

专题13　辅助设元(设而不求) 　考点加油站　 (1)恰当地设元是列方程解应用题的关键步骤之一，如何设元，需要根据具体问题的条件来确定，设元的基本方法有：直接设元、间接设元、辅助设元、整体设元等.特别注意的是，列一元一次方程解应用题最常见的等量关系为“部分量之和等于总量”. (2)有些应用题中隐含着一些未知的常量，如若不指明这些常量的存在，则求解有困难，此时我们可以用字母表示这些常量，以便建立等量关系得出方程，这种用字母表示的常量在解题中发挥一定的作用，但往往对结果没有影响，称之为辅助元. 　典例展示厅　 类型一　工程问题 例1　,,,四人干一项工作，若,,三人合干，天可完工；若,,三人合干，天可完工；若与合干，天可完工.问若一人独干，需多少天完工？ 点拨　把,,,的工作效率分别设为,,,，看似未知数过多，无法求解，实际上可以把方程相加减消去无关的未知量仅解出. 变式1　杰克船长在驾驶船的过程中发现一个漏洞，发现漏洞时已经进了一些水，假设水以均匀速度进入船内.如果有个人淘水，小时可以淘完；如果只有人淘水，要小时才能淘完.如果用小时淘完水，需要多少人淘水？ 归纳总结 工程问题一般将总量设为；若工作效率未知，则将每一个部分的工作效率设为未知数.有的问题看似未知数过多无法求解，实际上可以将方程相加减，可以一次消去多个未知数而获解. 类型二　经济问题 例2　某商品按成本价增加的价格出售，因积压需降价出售，若每件商品仍想盈利，需打几折出售？ 点拨　设该商品成本价为元，可得降价前的售价，设打折，可得折后价格，根据销售利润率的计算方法即可求解. 变式2　某商店进了一批笔记本，按的利润定价.当售出这批笔记本的后，为了尽早售完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问售完后商店实际获得的利润百分数是多少. 归纳总结 销售利润问题的基本等量关系为售价进价利润率，在多个价格都未知的情况下，需要设辅助元，最后根据基本等量关系得到方程. 类型三　行程问题 例3　已知江岸的,两地相距 km，地在江的上游，地在江的下游.甲船顺流而下的速度是逆流而上的倍，乙船顺流而下的速度是逆流而上的倍；如果甲船从地去往地，乙船从地去往地，两船同时出发，途中第一次相遇；两船到达目的地后立即返回，途中第二次相遇，两次相遇的时间间隔为小时分钟，求江水的流速. 点拨　设江水的流速是，用表示出甲、乙两船的速度，带着参数按照相遇问题解出甲和乙第一次相遇的时间，计算出乙船先到达地以后转化为追及问题，判断乙不能追上甲后计算第二次相向而行时相遇的时刻，由两次相遇的时间间隔求出江水的流速. 变式3　一辆汽车从山脚出发上山，到达山顶后立即原路返回.已知汽车上山时的速度是 km/h，下山时的速度是 km/h，则汽车的平均速度是＿＿＿km/h. 归纳总结 对于行程问题，一般可以增设路程作为辅助元，以便准确地列出关系式进行求解. 　强基直通车　 例4　春节来临之际，某蛋糕店对凤梨味、核桃味、绿茶味年糕（分别记为,,）进行混装，推出了甲、乙两种礼盒.礼盒的成本是盒中年糕的成本与包装盒成本之和，每盒甲装有个,个,个，每盒乙装有个,个,个，每盒甲中年糕的成本之和是个成本的倍，甲礼盒每盒的包装盒成本与乙礼盒每盒的包装盒成本之比为，每盒乙的利润率为，每盒乙的售价比每盒甲的售价高，当该店销售这两种礼盒的总利润率为时，甲、乙两种礼盒的销售量之比为＿＿＿. 点拨　设凤梨味、核桃味、绿茶味年糕的成本每个分别为,,，甲礼盒的包装成本为，乙礼盒的包装成本为，甲礼盒的销售量是，乙礼盒的销售量是.根据题意列出甲、乙两种礼盒的总成本和总销售额的代数式，由该店销售这两种礼盒的总利润率为即可列方程求解甲、乙两种礼盒的销售量之比. 归纳总结 难度大的应用题往往未知数比较多，需要我们通过整体设元、设辅助元等方法来减少未知数的个数，或者找出各个未知量的关系实现未知量之间的转化，不管用什么方法处理题中的未知量，解题的关键还是在于正确地用代数式表示题目中的关键量，先得到代数式，再利用等量关系得到方程，只要能列出方程，就可以根据等式的性质求得答案. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★　如图，水平桌面上有个内部装水的长方体箱子，箱内有一个与底面垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为 cm, cm，今将隔板抽出，若过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，根据图中的数据，隔板抽出后水面静止时，箱内的水面高度为（　） A． cm　　　　B． cm　　　　C． cm　　　　D． cm 2　★★　妈妈去农贸市场买了黑米和大米两种米，平均每千克米元.已知黑米每千克元，大米每千克元，那么妈妈购买的黑米与大米的质量比是＿＿＿. 3　★★　某超市线上和线下两种销售方式.与去年月相比，该超市今年月份销售总额增长，其中线上销售额增长，线下销售额增长. (1)设去年月份的销售总额为元，线上销售额为元，请用含,的代数式表示今年月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）. (2)求今年月份线上销售额与当月销售总额的比值. ▍竞赛集训（针对强基自招） 4　★★　某探险队要到达目的地需要坐船逆流而上，途中不小心把地图掉入水中，当有人发现后，将船立即掉头去追这张地图，若船从掉头到追上地图共用了 min，则这个人发现地图掉到水中是（　） A． min后　　　　B． min后 C． min后　　　　D． min后 5　★★　甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的大米.用一台皮带输送机和个工人， h可将甲仓库里的大米搬完；用一台皮带输送机和个工人， h可将乙仓库内的大米搬完.现有两台皮带输送机，如果恰好用了 h将丙仓库内的大米搬完，那么需要＿＿＿个工人同时搬运. 6　★★★　乌龟和兔子相约赛跑，约定乌龟先出发，出发小时后兔子再出发.已知乌龟走完全程的一半时，兔子走完全程的，兔子走完全程的一半时，乌龟走完全程的. (1)求乌龟与兔子的速度比. (2)在这场比赛中，乌龟和兔子谁会先到达终点？ 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　设,,,四人的工作效率分别为,,,，根据题意可得 ①， ②， ③，①②，可得，即，将代入③可得，解得，即若一人独干，需天完工. 变式1　设每个人淘水速度为，进水速度为，原有的水为.则 ①， ②，②①，得，即.设个人淘水可以小时淘完，则 ③，①③，得，由，，得，故.∴如果用小时淘完水，需要人淘水. 例2　设该商品成本价为元，销售价格为元，设打折，折后销售价格为元.∵仍想盈利，∴，解得，∴需打折. 变式2　设这批笔记本的成本是.因此定价是.其中的售价是，的售价是.因此全部售完是.实际获得利润的百分数是. 例3　设江水的流速为，甲船在静水中的速度为，乙船在静水中的速度为，则，，解得，.设,两地之间的距离为，在两船回头之前，甲船顺水，乙船逆水.以两船出发为零时刻，则设第一次相遇时的时间为，则，解得.甲船到达地的时间，乙船到达地的时间，，故乙船先到达地，此时甲船走过的路程为(km)，此后甲、乙两船相向而行，均为顺水.假设乙船可以在甲船到达地前追上甲船，追上的时刻为，则，则，故乙船无法在甲船到达地之前追上甲船，于是甲船到达地时，乙船走过的路程为(km).之后两船相向而行，甲船逆水，乙船顺水，设甲、乙两船相遇的时刻为，则，解得.从而，解得. 变式3　　解析：设上山的路程为，则平均速度满足，解得. 强基直通车 例4　　解析：设凤梨味、核桃味、绿茶味年糕的成本每个分别为,,，甲礼盒的包装成本为，乙礼盒的包装成本为，甲礼盒的销售量是，乙礼盒的销售量是.由题意可得每盒甲的成本为，则，则每盒乙的成本为.∵每盒乙的利润率为，∴每盒乙的售价为.∵每盒乙的售价比每盒甲的售价高，∴每盒甲的售价为.∵该店销售这两种礼盒的总利润率为，∴，∴，∴.∴甲、乙两种礼盒的销售量之比为.故答案为. 学霸训练营 1　　解析：设长方体的宽为 cm，抽出隔板之后水面高度为 cm，长方体的长为(cm)，由题意得，解得. 2　　解析：设购买的黑米的质量为 kg，大米的质量为 kg，则由题意，得，，解得，故，即黑米与大米的质量比为. 3　(1)　解析：∵与去年月份相比，该超市今年月份线下销售额增长，∴该超市今年月份线下销售额为元.故答案为. (2)依题意，得，解得，∴.∴今年月份线上销售额与当月销售总额的比值为. 4　　解析：设这个人发现地图掉到水中是 min后，设水的流速为 km/min，船在静水中的速度为 km/min.依题意，得，整理，得，解得. 5　　解析：设一台皮带输送机每小时的工作效率为，一个工人每小时的工作效率为.根据题意得，化简得.设需要个工人同时搬运.根据题意得，则.∴需要个工人同时搬运. 6　(1)设总路程为，乌龟的速度为，兔子的速度为.则,. ①， ②，②①，得，解得.故乌龟和兔子的速度比为. (2)当乌龟到达终点时，兔子走过的路程是，所以兔子和乌龟同时到达终点. 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $