第4章专题7《整式的加减》讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

专题7　整式的加减 　考点加油站　 (1) 同类项：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且各字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项.特别地，所有的常数项都是同类项. (2) 整式加减的一般步骤是：先去括号，然后合并同类项.去括号实际上是乘法分配律的应用，要注意两个方面：一是括号外的要乘括号内的每一项；二是当括号外面是减号时，去括号后括号内的每一项都要变符号. 　典例展示厅　 类型一　数字问题 例1　任取一个三位数，百位数字记作 ，十位数字记作 ，个位数字记作 ，使 .对以上三位数进行如下操作：(1)交换 和 的位置，构成另一个数.(2)求这两个数的差.(3)交换这个差的首位和末位数字，又构成一个新的数.(4)将(2)中所得的数与(3)中所得的数加在一起记作 . 现在，利用你所学习的知识，探究 的值（写出探究的过程，并得出结果）. 点拨　由题意可得出原三位数为 ，由(1)(2)(3)(4)结合整式加减的运算法则进行求解即可. 归纳总结 数字问题常用 的形式表示两位数 ，用 表示三位数 ……用代数式正确表示多位数是解决数字问题的关键. 类型二　图形问题 例2　（南昌中考）如图①，将一个边长为 的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“S”的图案，如图②所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图③所示，则新矩形的周长可表示为（　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 点拨　用 表示出剪下矩形的长和宽，求出新矩形的长和宽后即可求出周长. 归纳总结 图形问题体现数形结合的思想，往往需要将图形语言转化为代数语言来解决. 类型三　纠错问题 例3　已知多项式 ，其中 ，小马虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为 . (1) 求多项式 . (2) 求出 的正确结果. (3) 当 时，求 的值. 点拨　(1) ，将 代入即可求出多项式 ；(2) 将(1)中求出的 与 代入 ，去括号合并同类项即可求解；(3) 根据(2)的结论，把 代入求值即可. 变式3　小明做一道代数题：“求代数式 ，当 时的值”，由于粗心误将某一项前的“+”号看为“-”号，从而求得代数式的值为 ，小明看错了＿＿＿次项前的符号. 归纳总结 纠错问题常常采用逆推的方法，由错误答案反推原多项式和正确答案以获解. 类型四　等式恒成立问题 例4　已知含字母 的代数式：. (1) 化简代数式. (2) 小红取 互为倒数的一对数值代入化简的代数式中，恰好计算得代数式的值等于 ，那么小红所取的字母 的值等于多少？ (3) 聪明的小刚从化简的代数式中发现，只要字母 取一个固定的数，无论字母 取何数，代数式的值恒为一个不变的数，那么小刚所取的字母 的值是多少呢？ 点拨　(1) 原式去括号合并同类项即可得到结果；(2) 由 与 互为倒数得到 ，代入(1)结果中计算求出 的值即可；(3) 根据(1)的结果确定出 的值即可. 归纳总结 解决取值与字母无关的问题，需要化简以后，让含有该字母的项的系数全部为 . 类型五　数轴上的动点问题 例5　已知多项式 是关于 的二次多项式，且二次项系数为 ，数轴上 两点对应的数分别为 （如图）. (1) ＿＿＿， ＿＿＿，线段 ＿＿＿. (2) 若数轴上有一点 ，使得 ， 为 的中点，求 的长. (3) 有一动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度向终点 运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度在数轴上做同向运动，设运动时间为 （）， 为线段 的中点， 为线段 的中点，点 在线段 上且 ，在点 的运动过程中，求 的值. 点拨　(1) 由题意直接可求解；(2) ①当点 在 之间时；②当点 在点 的右侧时，分别计算 和 的长，相减可得结论；(3) 本题有两个动点 和 ，根据速度和时间可得点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，根据中点的定义得点 和 表示的数，由 得 的长和点 表示的数，可得 和 的长，相加可得结论. 归纳总结 本题综合了多项式的相关概念、数轴上点的含义以及用代数式表示数量关系、整式的加减运算等知识点.这类动点问题解题的关键是用含时间 的代数式表示动点运动过程中所表示的位置，然后将线段之间的数量关系转化为代数式的运算，这类解决问题的思想方法称为“数形结合”. 　强基直通车　 例6　苹果是深受人们的喜爱的水果，十分热销.一天，某批发商只剩下最后五筐质量不同的苹果，质量分别为 .现来了两位零售商贩，争着要这五筐苹果，各不相让，经协商两人各得相同质量的苹果.为尽可能减少重新包装的麻烦，只拆分其中一筐，包装成两筐，这两筐两人各取一筐，而且两人各得三筐，有人说：“这无法做到.”你认为能行吗？并对你的结论说明理由. 点拨　本题先设出 ，再把一筐苹果分成两筐，设它们的质量分别为 ，再根据题意列出式子，进行判断即可求出答案. 归纳总结 本题考查了整式的加减，在解题时要把题意读懂，用代数式表示出题中的等量关系，再用整式的加减运算处理数量关系，或者利用作差法比较大小，总之将问题转化为代数运算是解题的主要思路. 　学霸训练营　 ▍中考冲刺（针对中考压轴） 1　★★★　若 ，，则 与 的大小关系是（　） A．　　　B．　　　C．　　　D．不能确定 2　★★★　已知无论 取什么值，多项式 的值都等于定值 ，则 等于（　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 3　★★　如图，正五边形的面积为 ，扇形的面积为 ，空白部分的面积为 ，则图中两块阴影部分的面积和为（　） A． B． C． D． 4　★★★　已知多项式 是二次多项式，则 ＿＿＿. 5　★★★　小明在计算一个三次多项式 减去另一个三次多项式 时，把 中的若干个“+”号抄成了“-”号，得到的错误结果是 ，而正确的结果是 ，则小明抄错了＿＿＿个“+”号， 的二次项系数是＿＿＿， 的常数项是＿＿＿. 6　★★★　把千位数为 、百位数为 、十位数为 、个位数为 的四位数记为 ；规定：若一个四位数的各位数满足：（其中 为整数），则称这个四位数 为“ 阶位数”：例： 是“ 阶位数”，因为 ； 不是“ 阶位数”. (1) 判断数 与 是不是“ 阶位数”，若是，求出 的值； (2) 若四位数 是“ 阶位数”，且 ，，求所有满足条件的四位数； (3) 若记四位数 .将各位数顺序颠倒后记为 .若 是“ 阶位数”，且 ，，试用含 的式子表示 的值. ▍竞赛集训（针对强基自招） 7　★★　如图，在长方形 纸片内放入两张边长分别为 和 （）的正方形纸片，按照图①放置，长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（阴影部分）的面积为 ；按照图②放置，长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分面积为 ；按照图③放置，长方形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为 .已知 ，.设 ，则下列值确定的是（　） A．　　　B．　　　C．　　　D． 8　★★★　已知 ，且 ，，，则 的最大值为＿＿＿. 9　★★★　记 ，令 ，则称 为 这列数的“切萨罗和”.已知 的“切萨罗和”为 ，那么 的“切萨罗和”为＿＿＿. 　参考答案与详解　 典例展示厅 例1　由题意可得，原来的三位数是 ，由(1)得，所得的三位数是 ，由(2)得，此两个三位数的差是 ，因为 ，从而 ，从而由(3)构成的新数为 ，故由(4)得到 . 例2　　解析：根据题意得，，故选 . 例3　(1) ，，. (2) ，，. (3) 当 时，. 变式3　　解析：当 时，，， 小明看错了 次项前的符号. 例4　(1) 原式 . (2) 互为倒数，，，解得 . . (3) 由(1)得，原式 ，由结果与 的值无关，得到 ，解得 . 例5　(1) 　　　解析：由题意知，，，， 线段 .故答案为 . (2) 分两种情况：①当点 在 之间时，如图①，，，. 是 的中点，，；②当点 在点 的右侧时，如图②，，，. ，.综上， 的长是 或 . (3) 由题意得点 表示的数为 ，点 表示的数为 . ，， 点 在线段 之间. 为 的中点， 点 表示的数为 . 是 的中点， 点 表示的数为 . ，，. 点 表示的数为 . . 强基直通车 例6　能行.理由如下：不妨设 .把质量为 的一筐拆分包装成两筐，设质量分别为 ，则有 ①.两人分别得到质量为 和质量为 的三筐，则有 ，即 . 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $