4.5整式的加减（讲义，4个知识点7大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本初中数学讲义聚焦“整式的加减”核心知识点，系统梳理去括号法则、运算步骤（去括号-找同类项-合并同类项）、化简求值及实际应用，承接代数式基础，为后续方程、分式等学习搭建支架。 资料以情境化问题（如图形周长、数量差）培养数学眼光，通过分层题型与解题贴士规范步骤发展数学思维，结合实际应用与规律探索（如雪花图案）促进数学语言表达，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

第四章 代数式 4.5 整式的加减 课标要点 1.结合图形周长计算、数量差值等情境，理解去括号的必要性，归纳去括号法则，区分括号前是“+”“-”时符号变化规律。 2.掌握整式加减完整运算流程：去括号→找同类项→合并同类项，规范书写整式加减的完整化简步骤。 3.能熟练处理多重括号、括号前带数字系数的去括号运算，准确分配系数、同步变更符号，减少计算失误。 4.掌握整式化简求值标准格式，先化简整式，再代入数值计算，简化运算量，规范作答步骤。 5.会运用整式加减列式求解图形周长、面积、实际数量差等问题，构建“列式—化简—求值”完整代数解题逻辑。 学习重难点 重点： 1.去括号法则，含数字系数的去括号运算。 2.整式加减的完整化简步骤，规范完成整式化简求值。 难点： 1.括号前为负号、带系数时，去括号易漏乘、漏变号。 2.多层括号逐层去括号，符号处理繁杂易出错。 3.根据文字、几何情境列出整式加减算式，综合运用去括号、合并同类项完成综合题型。 知识点 去括号法则（重点） 1.括号前是“+”号，去掉括号和前面的“+”，括号内各项符号不变； 2.括号前是“-”号，去掉括号和前面的“-”，括号内每一项都要变号； 易错提醒 括号前为负号去括号时，容易只改变第一项符号，遗漏后面项的变号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）将代数式去括号得（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）去括号：___________． 知识点 整式加减运算步骤（重点、难点） 1.步骤：①去括号；②找出同类项；③合并同类项； 2.本质：整式加减运算最终转化为去括号与合并同类项。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． (3)． 知识点 整式加减中的化简求值（重点） 1.解题流程：先对整式去括号、合并同类项化简，再代入字母数值计算； 2.若式子含多重括号，遵循由内向外逐层去括号的顺序。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 知识点 整式加减的实际应用 利用整式加减表示图形周长、面积、生活数量关系，通过化简简化计算。 教材延伸 整式加减是后续一元一次方程、分式化简、二次根式计算的基础，计算题为考试高频大题。 随学随练 1．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 2．（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 题型 去括号 ▌例1 （25-26七年级上·浙江温州·期末）去括号：，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 解题贴士 括号前是负数时，分配相乘后每一项符号都要变号。 ▌对点练1-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列去括号的各式：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）下列各式去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 题型 整式的加减运算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 解题贴士 1.括号规则：括号前是减号，去掉括号后括号内各项全部变号； 2.合并同类项只对系数加减，字母和指数原样保留，不能丢字母； 3.不同类项（字母种类/指数不同）不能合并。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知 (1)求： (2)求： ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）代数式，代数式减去等于 (1)求代数式 (2)化简 题型 整式加减中的化简求值 ▌例3 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中，． 解题贴士 先 化简再代入，避免直接代入复杂原式造成计算失误。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式． (1)化简：； (2)当时，求的值． 题型 整式加减中的无关型问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，． (1)请化简代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 解题贴士 1.“与某字母取值无关”题型核心：化简后该字母所有项的系数等于0； 2.先去括号、合并同类项，再把目标字母提取公因式； 3.令目标字母的整体系数为0，解方程求出参数。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，． (1)当时，求的值． (2)当时，若代数式的值与y的取值无关，求实数a，b满足的条件． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 题型 正式加减的应用 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 解题贴士 1.靠墙围长方形：先分清篱笆包含几条宽、几条长； 2.有门的情况：门的宽度要从篱笆总长里扣除； 3.面积大小比较：作差法，结果正代表增大，负代表减小，绝对值为变化量。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）将6个长为，宽为的长方形纸片（如图1所示），放置在一个大长方形内部（如图2 所示），得到长方形和长方形，其中． (1)用含，的代数式分别表示线段，的长． (2)设长方形的周长为，长方形的周长为．若，求的值． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与探究 【阅读材料】 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除．比如： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，通常记这个两位数为． 即． 因为和都能被9整除， 所以就能被9整除， 所以能被9整除． 【应用拓展】 (1)请参考以上阅读材料说明理由：设是一个三位数，若能被9整除，则就能被9整除． (2)若能被9整除时，也能被9整除，则的值为___________． 题型 规律探索 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）生活中处处有数学，瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花的图案，其具体做法是：将一个等边三角形的每条边分成三等份，然后再以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边，反复进行这个过程，最终可以得到一个“雪花”形状的图案．请回答以下问题： (1)根据图形补全下表： 图形标号 1 2 3 … n 图形边数 3 12 _____ … ______ (2)在这种变换中，是否存在一个图形的边数为768？如有，请求出图形标号，如没有，请说明理由． 解题贴士 已知边数求序号，转化为指数方程，统一底数后对比指数求解。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，…，． 将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：____ ____； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)思考并计算：的值． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存在怎样的数量关系．    小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（）时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中 ， ． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系． (2)请根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）时，写出探索过程，并归纳出m，t之间满足的等量关系． (3)当多边形的边数为n时，请直接写出时n，m，t之间满足的等量关系． 题型 带有字母的绝对值化简问题 ▌例7 （25-26七年级上·浙江金华·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 解题贴士 1.数轴化简绝对值核心三步：定大小→判断式子正负→正数直接去绝对值，负数整体变号； 2.绝对值前是减号时，去掉绝对值后一定要给变号后的整体加括号，避免符号出错； 3.去括号后合并同类项，消去同类字母项得到最简式。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示． (1)用“”连接：0，、、． (2)化简：． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某长方形窗框的周长为，长为，则窗框的宽是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，则代数式的值为___________． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一水池注满水，一根竹竿插入水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占竹竿全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，则水池的深度（包括淤泥部分）比露出水面部分的竹竿多____米． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）化简 (1) (2) 8．（25-26七年级上·浙江金华·期中）（1）计算代数式与的差； （2）化简并求值：，其中，． 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：，求代数式的值． 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 素养提升 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的多项式，，若不含一次项，则的常数项是（   ） A．15 B．18 C．20 D．28 13．（2022·浙江宁波·模拟预测）将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简代数式M． (2)当，时，求代数式M的值． (3)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 迁移创新 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）小李用一些小正方形拼如下图所示的“W型”图案，图①由5个小正方形拼成，图②由9个小正方形拼成，图③由13个小正方形拼成，以此类推，图⑳由________个小正方形拼成． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 代数式 4.5 整式的加减 课标要点 1.结合图形周长计算、数量差值等情境，理解去括号的必要性，归纳去括号法则，区分括号前是“+”“-”时符号变化规律。 2.掌握整式加减完整运算流程：去括号→找同类项→合并同类项，规范书写整式加减的完整化简步骤。 3.能熟练处理多重括号、括号前带数字系数的去括号运算，准确分配系数、同步变更符号，减少计算失误。 4.掌握整式化简求值标准格式，先化简整式，再代入数值计算，简化运算量，规范作答步骤。 5.会运用整式加减列式求解图形周长、面积、实际数量差等问题，构建“列式—化简—求值”完整代数解题逻辑。 学习重难点 重点： 1.去括号法则，含数字系数的去括号运算。 2.整式加减的完整化简步骤，规范完成整式化简求值。 难点： 1.括号前为负号、带系数时，去括号易漏乘、漏变号。 2.多层括号逐层去括号，符号处理繁杂易出错。 3.根据文字、几何情境列出整式加减算式，综合运用去括号、合并同类项完成综合题型。 知识点 去括号法则（重点） 1.括号前是“+”号，去掉括号和前面的“+”，括号内各项符号不变； 2.括号前是“-”号，去掉括号和前面的“-”，括号内每一项都要变号； 易错提醒 括号前为负号去括号时，容易只改变第一项符号，遗漏后面项的变号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）将代数式去括号得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号，根据去括号法则即可求解，当括号前是“+”号时，去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号都不变号；当括号前是“－”号时，去掉括号和前面的“－”号，括号内各项的符号都要变号． 【详解】解：， 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江温州·期末）去括号：___________． 【答案】 【分析】本题考查去括号，根据去括号法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 知识点 整式加减运算步骤（重点、难点） 1.步骤：①去括号；②找出同类项；③合并同类项； 2.本质：整式加减运算最终转化为去括号与合并同类项。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类项的概念及合并同类项的法则，需根据相关规则逐一判断选项的运算是否正确． 【详解】解：∵同类项是所含字母相同且相同字母指数也相同的项，合并同类项时系数相加，字母及指数不变， A选项：与不是同类项，不能合并，故A错误； B选项：，故B错误； C选项：，故C错误； D选项：与是同类项，，故D正确， 故选：D． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 知识点 整式加减中的化简求值（重点） 1.解题流程：先对整式去括号、合并同类项化简，再代入字母数值计算； 2.若式子含多重括号，遵循由内向外逐层去括号的顺序。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，40 【分析】先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 2．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3. 【分析】先去括号合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 知识点 整式加减的实际应用 利用整式加减表示图形周长、面积、生活数量关系，通过化简简化计算。 教材延伸 整式加减是后续一元一次方程、分式化简、二次根式计算的基础，计算题为考试高频大题。 随学随练 1．（25-26七年级下·浙江金华·开学考试）如图，图（1）和图（2）是两个形状、大小完全相同的大长方形，若在每个大长方形内放入四个如图（3）所示的小长方形，深色区域是空下来的地方，若已知大长方形的长比宽多4厘米，图（1）比图（2）中深色的区域的周长大（   ） A．8 B．4 C．2 D．6 【答案】A 【分析】由图（2）得大长方形的长为，那么它的宽为，然后分别表示出两个图形中阴影部分的周长，再将它们作差即可． 【详解】解：由图（2）得大长方形的长为， 大长方形的长比宽多4厘米， 它的宽为， ， ． 2．（2026·浙江金华·一模）如图，光明中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形草坪，草坪的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)草坪的周长为多少米（含a的代数式表示）； (2)当米时，求草坪的周长． 【答案】(1) (2)35.6米 【分析】（1）列出长和宽，然后再根据周长公式计算即可 （2）把代入（1）中的周长表示式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米） 草坪的周长： （2）解：当时，． 故当米时，草坪的周长为35.6米． 题型 去括号 ▌例1 （25-26七年级上·浙江温州·期末）去括号：，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．根据去括号的法则直接求解即可． 【详解】解： ． 故选：D． 解题贴士 括号前是负数时，分配相乘后每一项符号都要变号。 ▌对点练1-1 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）下列去括号的各式：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了去括号法则，掌握知识点是解题的关键． 根据去括号法则：括号前是“”号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是“”号，去括号后括号内各项符号改变，依次检查即可． 【详解】①∵，∴①正确； ②∵，∴②错误； ③∵，∴③错误； ④∵，∴④正确． ∴ 正确的是①④． 故选：D． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江金华·期末）下列各式去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查去括号，解题的关键是掌握去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项不符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 题型 整式的加减运算 ▌例2 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据合并同类项，去括号，计算即可. 本题考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 【详解】解： 对于选项A: , ∴ A错误. 对于选项B: , ∴ B正确. 对于选项C: , ∴ C错误. 对于选项D: , ∴ D错误. 故选：B. 解题贴士 1.括号规则：括号前是减号，去掉括号后括号内各项全部变号； 2.合并同类项只对系数加减，字母和指数原样保留，不能丢字母； 3.不同类项（字母种类/指数不同）不能合并。 ▌对点练2-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知 (1)求： (2)求： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）代数式，代数式减去等于 (1)求代数式 (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由题意，A为，然后去括号，合并同类项即可； （2）代入A，B，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型 整式加减中的化简求值 ▌例3 （25-26七年级上·浙江丽水·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先化简整式，第一步需运用去括号法则去掉式子中的括号，注意括号前的系数和符号对括号内各项的影响；去括号后，要找出式子中的同类项，再运用合并同类项法则进行合并；化简完成后，将给定的、代入化简后的式子，计算出最终结果． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 解题贴士 先 化简再代入，避免直接代入复杂原式造成计算失误。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题主要考查整式的加减—化简求值，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先去括号，再合并同类项，最后代入即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知代数式． (1)化简：； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查整式的加减运算，化简求值： （1）根据整式的加减运算法则进行计算即可； （2）将字母的值代入（1）中化简的代数式中，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：当时， ． 题型 整式加减中的无关型问题 ▌例4 （25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知，． (1)请化简代数式； (2)若代数式的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减． （1）根据去括号、合并同类项的法则，将化简即可； （2）根据题意可知，的系数为． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 由的值与的取值无关， 可得， 解得． 解题贴士 1.“与某字母取值无关”题型核心：化简后该字母所有项的系数等于0； 2.先去括号、合并同类项，再把目标字母提取公因式； 3.令目标字母的整体系数为0，解方程求出参数。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）设，． (1)当时，求的值． (2)当时，若代数式的值与y的取值无关，求实数a，b满足的条件． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，整式的加减—无关题型，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据整式的加减运算法则，先计算出，再整体代入计算即可得出结果； （2）先求出代数式，再根据代数式的值与y的取值无关，得出． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）解： ， 由于代数式的值与y的取值无关，且， 所以． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知整式，． (1)若，求的值． (2)若代数式的值与字母b的取值无关，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，非负数的性质及代数式的值与字母取值无关的条件． （1）先通过去括号、合并同类项化简的表达式，得到最简整式，再根据非负数的性质（平方数和绝对值均为非负数，和为0则各自为0），求出a和b的具体数值，最后将a、b的值代入化简后的整式，计算得出结果； （2）将的表达式整理为“不含b的项+含b的项”的形式，提取含b项的公因式，由于代数式的值与b无关，含b项的系数必须为0，据此建立方程求解a的值． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， 解得，， ∴ ， 将，代入上式得：． （2）解：∵代数式的值与字母b的取值无关， ∴， ∴含b的项的系数为， 解得． 题型 正式加减的应用 ▌例5 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）有长为米（米）的篱笆，利用它和房屋的一面墙（足够长）围成长方形园子，园子的宽为为4米． (1)若围成的园子如图1所示，求园子的面积（用含l的代数式表示）． (2)若围成的园子如图2所示，在园子的中间用篱笆隔开，并在上面开一道1米宽的门，此时园子的面积与图1中园子的面积相比，是增大还是减小了？增大或减小了多少？ 【答案】(1) (2)减少了 【分析】本题考查列代数式，整式加减的实际应用，正确的列出代数式是解题的关键： （1）求出的长，利用面积公式进行求解即可； （2）求出图2的面积，用图1的面积减去图2的面积进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，米； ∴园子的面积为； （2）解：由题意，米， ∴图2园子的面积为， ∵， ∴园子的面积与图1中园子的面积相比，减少了． 解题贴士 1.靠墙围长方形：先分清篱笆包含几条宽、几条长； 2.有门的情况：门的宽度要从篱笆总长里扣除； 3.面积大小比较：作差法，结果正代表增大，负代表减小，绝对值为变化量。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）将6个长为，宽为的长方形纸片（如图1所示），放置在一个大长方形内部（如图2 所示），得到长方形和长方形，其中． (1)用含，的代数式分别表示线段，的长． (2)设长方形的周长为，长方形的周长为．若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了整式加减运算几何意义的应用能力，关键是能正确理解并运用数形结合思想． （1）根据图形可得的长为长方形的长加上4个长方形的宽，，即可求解； （2）先列式表示出阴影部分的周长，再通过化简、代入进行求解． 【详解】（1）解：， （2）解： ∵， ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江温州·期末）综合与探究 【阅读材料】 一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除．比如： 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，通常记这个两位数为． 即． 因为和都能被9整除， 所以就能被9整除， 所以能被9整除． 【应用拓展】 (1)请参考以上阅读材料说明理由：设是一个三位数，若能被9整除，则就能被9整除． (2)若能被9整除时，也能被9整除，则的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了数的整除，整式的加减计算，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）参考阅读材料的思路，将三位数表示为含9的倍数与各数位数字和的形式，依据整除的性质完成证明； （2）先根据能被9整除的条件确定m的值，再利用三位数能被9整除的数字和性质求出n的值 ． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除，且能被9整除 ∴能被9整除 ∴能被9整除； （2）解：∵ ∴ ∵能被9整除，能被9整除 ∴能被9整除 ∵m是两位数的十位数字，m为1到9的自然数 ∴ 解得 ∵，且能被9整除 ∴能被9整除 ∵n是0到9的自然数 ∴ 解得 答：n的值为2． 题型 规律探索 ▌例6 （25-26七年级上·浙江台州·期末）生活中处处有数学，瑞典数学家科赫构造了能够描述雪花的图案，其具体做法是：将一个等边三角形的每条边分成三等份，然后再以各边的中间一段为底边分别向外作等边三角形，再去掉底边，反复进行这个过程，最终可以得到一个“雪花”形状的图案．请回答以下问题： (1)根据图形补全下表： 图形标号 1 2 3 … n 图形边数 3 12 _____ … ______ (2)在这种变换中，是否存在一个图形的边数为768？如有，请求出图形标号，如没有，请说明理由． 【答案】(1)48，3×4n﹣1 (2)存在，图5中，有768条边 【分析】本题考查几何变换综合题，数学常识，等边三角形的性质，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）图1中，有3条边，，图2中，有12条边，，图3中，有48条边，，……，图n中，有条边； （2）构建方程求解即可． 【详解】（1）解：图1中，有3条边，， 图2中，有12条边，， 图3中，有48条边，， ……， 图n中，有条边． 故补全表格为； 图形标号 1 2 3 … n 图形边数 3 12 48 … （2）解：存在． 理由：由题意， 解得． ∴图5中，有768条边． 解题贴士 已知边数求序号，转化为指数方程，统一底数后对比指数求解。 ▌对点练6-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）已知，，…，． 将以上等式两边分别相加得 用你发现的规律解答下列问题 (1)猜想并写出：____ ____； (2)直接写出下列各式的计算结果： ①_____________； ②______________； (3)思考并计算：的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了有理数的运算-裂项相消法，解题的关键是发现拆分规律，将复杂的式子转化为可抵消的数的差，进而简化计算． （1）根据已知等式的结构特征，猜想其拆分形式； （2）利用裂项相消法，抵消中间项后计算求和结果，注意②中分母形式的变化对拆分的影响； （3）先将分母为相差2的两数乘积的分式，通过提取转化为可裂项的形式，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：由已知规律可得， 故答案为：，； （2）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （3）解： ， 答：该式的值为． ▌对点练6-2 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格，它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图1）．受此启发，小聪提出如下问题：设多边形中，有m个点，连接它们成一张互相毗邻的三角形网（，时的情形如图2）． 若称每个小三角形为一个“网眼”，则网中“网眼”的个数t，多边形的边数n，多边形内点的个数m之间存在怎样的数量关系．    小慧采用由特殊到一般的方法进行探索，当多边形为三角形（）时，列表如下： 三角形（） … 三角形内点的个数（m） 1 2 3 … 网眼个数（t） 3 x y … (1)表中 ， ． 根据上述探索过程，猜想m，t之间满足的等量关系． (2)请根据小慧同学的探索思路，当多边形为四边形（）时，写出探索过程，并归纳出m，t之间满足的等量关系． (3)当多边形的边数为n时，请直接写出时n，m，t之间满足的等量关系． 【答案】(1)5；7； (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索： （1）直接根据图形数出对应图形内部的小三角形个数即可得到x、y的值，据此可得t的值等于2倍的m的值加1； （2）仿照（1）画出对应的图形并数出对应的三角形个数，类似可得t的值等于2倍的m的值加2； （3）仿照（2）画出n的值为5时对应的图形并数出对应的三角形个数，类似可得t的值等于2倍的m的值加3；据此可得t的值等于2倍的m的值加上n的值减2． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； （2）解：如图所示，当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； （3）解：如图所示，当时， 当时，， 当时，， 当时，， ……， 以此类推可知，； 以此类推可知，． 题型 带有字母的绝对值化简问题 ▌例7 （25-26七年级上·浙江金华·期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】根据数轴得到，进而根据绝对值的非负性计算即可． 【详解】解：由题意得， 则 ． 解题贴士 1.数轴化简绝对值核心三步：定大小→判断式子正负→正数直接去绝对值，负数整体变号； 2.绝对值前是减号时，去掉绝对值后一定要给变号后的整体加括号，避免符号出错； 3.去括号后合并同类项，消去同类字母项得到最简式。 ▌对点练7-1 （25-26七年级上·浙江绍兴·期中）有理数、、在数轴上的位置如图所示． (1)用“”连接：0，、、． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）根据各点在数轴上的位置判断出、、的符号及绝对值的大小，再从左到右用“＜”连接起来即可；； （2）先判断出各式的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ． （2）由图可知，，，， ． ▌对点练7-2 （25-26七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，掌握合并同类项和去括号法则是解题的关键． 根据合并同类项法则和去括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D．和不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 2．（25-26七年级上·浙江丽水·期末）某长方形窗框的周长为，长为，则窗框的宽是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查长方形周长公式与整式加减计算，根据长方形周长公式推导出宽的计算方法，代入已知条件化简即可得到结果． 【详解】解：∵长方形窗框的周长为，长为， ∴窗框的宽是 ． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段检测）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，若，则的值为（  ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据新定义运算，将代入公式，得到方程，求解x即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（26-27七年级·浙江·暑假作业）有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【答案】 【详解】解：由数轴可得， ∴，． 5．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查代数式的整体代入求值，关键是利用整体思想将所求代数式转化为已知代数式的组合形式．观察所求代数式的结构，发现可拆分为，该式正好由已知的两个代数式的倍数和构成，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 6．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）一水池注满水，一根竹竿插入水池底部的淤泥中（如图），竹竿的入泥部分占竹竿全长的，淤泥以上的入水部分比入泥部分长米，则水池的深度（包括淤泥部分）比露出水面部分的竹竿多____米． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减应用，解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出式子．设竹竿有x米，则淤泥以上的入水部分为米，根据题意列出式子计算即可． 【详解】解：设竹竿有x米，则竹竿入泥部分为米，则淤泥以上的入水部分为米， 由题意可得： （米）， 则水池的深度（包括淤泥部分）比露出水面部分的竹竿多米． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号法则，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 8．（25-26七年级上·浙江金华·期中）（1）计算代数式与的差； （2）化简并求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查整式加减（合并同类项）、代数式求值．方法：去括号→合并同类项化简，再代入数值计算．关键：正确合并同类项，代入时注意符号．易错点：去括号符号错误；合并系数算错；代入负数时符号处理失误． （1）求代数式的差：；去括号变号：；合并同类项：得． （2）化简求值合并同类项：、合并，得；代入，：先算乘方，再算乘除，最后算加减，得结果． 【详解】（1） ； （2） 当，时： 原式 9．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值、偶次方的非负性，整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化简是解此题的关键． 先求出x、y的值，再去括号，合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 当，时， 原式 10．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）为了在中小学生中进行爱国主义教育，我县关工委决定开展“中华魂”经典诵读活动，并设立了一、二、三等奖．根据需要购买了件奖品，其中二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件，各种奖品的单价如下表所示： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件                               (1)请用含的代数式把表格补全； (2)请用含的代数式表示购买件奖品所需的总费用； (3)若一等奖奖品购买了件，则我县关工委共花费多少元？ 【答案】(1)表格见解析 (2)购买件奖品所需的总费用为元 (3)我县关工委共花费元 【分析】（1）根据题意计算出二、三等奖奖品的件数，并补全表格即可； （2）将每种奖品的单价和数量相乘，再求和即可； （3）将代入（2）中的代数式，求出总费用即可． 【详解】（1）解：∵二等奖的奖品件数比一等奖奖品的件数的倍多件， 又∵共购买件奖品， ∴二等奖奖品购买件，三等奖奖品购买件， 填表如下： 一等奖奖品 二等奖奖品 三等奖奖品 单价元 数量件 （2）解：根据题意，购买件奖品所需总费用为： 元； 答：购买件奖品所需的总费用为元； （3）解：当时，（元）． 答：我县关工委共花费元． 素养提升 11．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知两数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由数轴上点的位置确定式子符号、化简绝对值及整式加减运算等知识，由数轴上点的位置确定式子符号是解决问题的关键． 先由两数在数轴上对应的点的位置得到，进而得到，再由绝对值的代数意义去绝对值，最后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 则， ， 则 ， 故选：A． 12．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的多项式，，若不含一次项，则的常数项是（   ） A．15 B．18 C．20 D．28 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握整式加减运算法则，是解题的关键．不含一次项，则一次项系数为零，求出a后代入常数项表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵不含一次项， ∴， 解得：， ∴常数项． 故选：D． 13．（2022·浙江宁波·模拟预测）将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意易得上方阴影部分的周长为，下方阴影部分的周长为，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图，由题意得，上方阴影部分的周长为， 下方阴影部分的周长为， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴上下两个阴影部分的周长的差为． 14．（25-26七年级上·浙江金华·期末）观察下列图形中的数字排列规律，在第10个图中，的值为（   ） A．103 B．109 C．111 D．132 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字规律可得，右边的数减去下边的数等于左边的数，而左边的数的绝对值为从1开始的连续的整数，右边的数为从2开始的连续的数的平方，据此即可求解． 【详解】解：第1个图，，； 第2个图中，， 第3个图中，， ， 在第10个图中，，， ∴ 故选：C． 15．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知：代数式，代数式，代数式． (1)化简代数式M． (2)当，时，求代数式M的值． (3)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式的化简、求值及代数式与变量取值无关的条件，解题的关键是正确代入A与B的表达式化简M，理解与变量无关即该变量的系数为0． （1）将代数式A与2B代入M的表达式，展开后合并同类项化简M； （2）把x、y的值代入化简后的M计算其值； （3）整理M为关于x的式子，令x的系数为0，求解y的值． 【详解】（1）解： （2）解：当，时， （3）解：， ∵M的值与x的取值无关， ∴， 解得． 迁移创新 16．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）小李用一些小正方形拼如下图所示的“W型”图案，图①由5个小正方形拼成，图②由9个小正方形拼成，图③由13个小正方形拼成，以此类推，图⑳由________个小正方形拼成． 【答案】81 【分析】本题考查了图形的变化规律，观察图形变化，得出小正方形的个数规律，求出结果即可．分析图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第①个图形中小正方形的个数为：， 第②个图形中小正方形的个数为：， 第③个图形中小正方形的个数为：， ， ∴第⑳个图形中小正方形的个数为：， 故答案为：81． 17．（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 (1)给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） (2)若与是“强同类项”，求m的值； (3)若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； (4)已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【答案】(1)①④，②③； (2)； (3)； (4)x的最大值为，x的最小值为 【分析】知识点：新定义“强同类项”的应用、绝对值运算、整式项的系数与指数分析方法：根据“指数差绝对值为0或1”列条件，分类讨论求解．关键：准确理解新定义，逐一验证项的指数关系．易错点：遗漏指数差的两种情况；忽略项的系数为0的特殊情况． （1）计算各单项式的指数差，筛选出符合“强同类项”的组合． （2）根据指数差绝对值为0或1，列方程求m的可能值． （3）验证多项式中任意两项的指数关系，结合系数为0的情况确定n． （4）先确定s、t、k的范围，再结合绝对值公式求x的最值． 【详解】（1）计算各单项式字母指数的差： 、、、、、， 得：①与②③指数差绝对值大于1，不是“强同类项”； ①与④指数差绝对值为1，是“强同类项”； ②与③指数差绝对值为0或1，是“强同类项”； ②与④、③与④指数差绝对值大于1，不是“强同类项”． 故组合为：①④，②③． 故答案为：①④，②③． （2）根据“强同类项”定义，指数差的绝对值为0或1，即或1： 当时，； 当时，； 当时，． 故． （3）已知，任意两项为“强同类项”： 第一项与第二项满足“强同类项”； 第一项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、6、7； 第二项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、5、6； 当时，第一项系数为0，为单项式（不符合题意），故． （4）由与是“强同类项”，得、4、5，、2、3； 结合，得、1、； 由，得； ∵表示数轴上x到1的距离， ∴的值越大对应的x的两个值小的越小，大的越大， 即取最大值时，x的两个值分别取最小值和最大值， 当s取最大（）、k取最小（）时，，此时或． 故x的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $