21.2解一元二次方程：公式法典型题型专项练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

解一元二次方程：公式法 一、一元二次方程求根公式的认识 1． 用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为　　 A．3，，8 B．3，4，8 C．3，4， D．3，， 2． 下列各项中，以为根的一元二次方程可能是　　 A． B． C． D． 3． 若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为　　 A． B． C． D． 二、用公式法解一元二次方程 4．用公式法解方程： （1）； （2）； （3）． 5．用公式法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 6．用公式法解下列方程． （1）； （2）； （3）． 三、不解一元二次方程判断根的情况 7． 一元二次方程的根的情况为　　 A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 8． 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是　　 A． B． C． D． 9． 关于的方程的根的情况是　　． A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 四、已知一元二次方程根的情况求参数范围 10． 若关于的方程无实数根，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 11． 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 12． 若关于的方程有两个实数根，则的取值范围为 　　 ． 五、判别式的有关计算与证明 13． 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为1，求的值． 14． 关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 15． 已知关于的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求实数的值； （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 16． 关于的方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）当为正整数时，求此时方程的根． 答案 1． 整理为一般式即可得出答案． ， ， 则，，． 2． 利用公式法求解即可． 利用公式法可知： ．，故不符合题意． ．，故不符合题意． ．，故不符合题意． ．，故符合题意． 3． 根据一元二次方程的求根公式，即可解答． 可以表示一元二次方程的根， ，，， 这个一元二次方程可以是， 4． （1），； （2）方程没有实数解； （3），． （1）先计算出根的判别式的值得到△，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到△，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到△，然后利用求根公式得到方程的解． （1）， ，，， △， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， △， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， △， ， ，． 5． （1）； （2）； （3），． （1）把，，代入求根公式计算即可； （2）把，，代入求根公式计算即可； （3）把，，代入求根公式计算即可． （1）， ，，， △， ， ； （2）， ，，， △， ， ； （3）， ，，， △， ， ，． 6． （1）去括号，移项方程化为一般式为：， ，，， ， ，； （2），，， ， ， ，； （3），，， ， ， ，． 7． 当△时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△时，一元二次方程有两个相等的实数根；当△时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可得出结论． 由条件可知△， 方程没有实数根． 8． 判断方程的根的情况，只要看根的判别式△的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程． 、△，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 、△，该方程有两个相等的实数根．故本选项符合题意； 、△，该方程无实数根．故本选项不符合题意； 、△，该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意； 9． 根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论． 由条件可得， 这个一元二次方程有两个不相等的实数根． 10． 由关于的方程无实数根，可得△，即，即可解得答案． 关于的方程无实数根， △，即， 解得； 11． ． 根据二次方程的定义以及判别式的值，构建方程求解． 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 12． 且． 根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 根据题意得且△， 解得且， 即的取值范围为且． 故答案为：且． 13． （1）证明：， △， 不论为何值，， △， 方程总有两个实数根； （2）把代入关于的一元二次方程，得． 解得． 14． ，． 直接利用根的判别式得出的取值范围，求得，进而解方程得出答案． 关于的方程有实数根， ， ， 解得：， 为正整数， ， 原方程可化为， 解得：，． 15． （1）； （2）证明过程见解答． （1）把方程的一个根代入，计算即可求的值； （2）根据关于的一元二次方程的根的判别式△的符号来判定该方程的根的情况． （1）解：将代入原式，得； 解得； （2）证明：△， 原方程总有两个不相等的实数根； 16． （1）； （2）． （1）关于的方程有两个实数根， △， 解得：； （2）由（1）可知，， 为正整数， ， 原方程为， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$