0209函数模型及其应用专项训练 -2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习—— 函数模型及其应用 专项训练 0209函数模型及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、不同增长的函数模型 例1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ） A．指数函数 B．对数函数 C．幂函数 D．二次函数 训练1-1．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（   ）    A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 训练1-2．（多选）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ） A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢 B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢 C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变 二、常见的函数模型（一次函数、二次函数、分段函数） 例2．（多选）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 训练2-1．（多选）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（    ） A．车辆营运年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 训练2-2．（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于 D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足 训练2-3．（多选）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 三、常见的函数模型——指数、对数、幂函数 例3．某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 训练3-1．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 训练3-2．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则． 其中正确的说法是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 训练3-3．（多选）某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）随时间t（单位：小时）变化的图象近似符合如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是（    ） A． B．按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D．按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为小时 四、函数模型的应用实例 例4．在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 训练4-1．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 训练4-2．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是（   ） ①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； ④虽然2002年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习—— 函数模型及其应用 专项训练 0209函数模型及其应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、不同增长的函数模型 例1．“红豆生南国，春来发几枝”，如图给出了红豆生长时间x(月)与枝数y(枝)的散点图(直角坐标系中作出对应的点)，那么最符合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（    ） A．指数函数 B．对数函数 C．幂函数 D．二次函数 【答案】A 【详解】由散点图可得，函数图象从左到右呈上升趋势，且增长速度越来越快， 这几个点接近，，，，， 因此，最符合的函数是指数函数 . 训练1-1．（多选）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是（   ）    A．投资3天以内（含3天），采用方案一 B．投资4天，不采用方案三 C．投资6天，采用方案一 D．投资12天，采用方案二 【答案】ABC 【分析】根据图象对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题图可知，投资3天以内（含3天），采用方案一的回报最多，所以A正确； 若投资4天，则方案一的回报约为（元）， 方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一，方案二都比方案三的回报多，所以B正确； 若投资6天，则方案一的回报约为（元）， 方案二的回报约为（元）， 结合题图可知方案一比方案三的回报多，所以C正确； 若投资12天，根据题图中图象的变化可知，方案三的回报比方案一，方案二高很多， 所以采用方案三，所以D错误． 故选：ABC 训练1-2．（多选）某工厂八年来某种产品总产量（即前年年产量之和）与时间（年）的函数关系如图，下列几种说法中正确的是（ ） A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢 B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢 C．第三年后，这种产品停止生产 D．第三年后，年产量保持不变 【答案】AC 【分析】根据函数图像依次分析各选项即可得答案. 【详解】由题中函数图像可知，在区间上，图像是凸起上升的，表明总产量的增长速度越来越慢，A正确， 由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减小，因此B错误， 在上，图像是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为，因此C正确，D错误. 故选：AC 二、常见的函数模型（一次函数、二次函数、分段函数） 例2．（多选）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 训练2-1．（多选）已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入营运，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y（万元）与营运年数x的关系为，则下列判断正确的是（    ） A．车辆营运年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 【答案】BC 【分析】由题可知二次函数开口向下，对称轴为6，根据二次函数的图象和性质可以判断；平均收入为，利用基本不等式即可求最大值，由此判断C. 【详解】由题意，，是开口向下的二次函数，故A错误； 对称轴，故B正确； 平均收入， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 当x＝1时，y＝－14，故D错误． 故选：BC 训练2-2．（多选）小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量与时间（天）之间的函数关系，则下列说法正确的是（　　） A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C．9天后，小菲的单词记忆保持量低于 D．26天后，小菲的单词记忆保持量不足 【答案】ABC 【分析】结合函数性质与图象逐项分析即可得. 【详解】由函数及在定义域内都为减函数， 且，故随着的增加而减少，故A正确； 结合图象及指数函数的性质可得第一天小菲的单词记忆保持量下降最多，故B正确； 当时，，则， 即9天后，小菲的单词记忆保持量低于，故C正确； ，故D错误． 故选：ABC. 训练2-3．（多选）某工厂对员工的计件工资标准进行改革，现制订了，两种计件工资核算方案，员工的计件工资（单位：千元）与其生产的产品件数（单位：百件）的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A．当某员工生产的产品件数为800时，该员工采用，方案核算的计件工资相同 B．当某员工生产的产品件数为500时，该员工采用方案核算的计件工资更多 C．当某员工生产的产品件数为200时，该员工采用方案核算的计件工资更多 D．当某员工生产的产品件数为1000时，该员工的计件工资最多为14200元 【答案】ACD 【分析】根据图象可直接判断A，B选项；对C，计算出采用A，B方案核算的计件工资可判断；对D，由图可知产品件数为1000时，A方案核算的计件工资最多，求出函数关系式运算得解. 【详解】从图中可得，A正确，B错误； 若某员工生产的产品件数为200，则该员工采用A方案核算的计件工资为3000元，采用方案核算的计件工资为元， 因为，所以该员工采用方案核算的计件工资更多，C正确； 从图中易得当时，员工采用A方案核算的计件工资（单位：千元） 与生产的产品件数（单位：百件）的函数关系式为， 则当时，，即当某员工生产的产品件数为1000时， 该员工的计件工资最多为14200元，D正确. 故选：ACD. 三、常见的函数模型——指数、对数、幂函数 例3．某放射性同位素的剩余质量（单位：克）与时间（单位：天）满足，其中、为常数．已知该同位素的半衰期为9天，则剩余质量变为原来的需要的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据半衰期的定义推导参数关系，再代入剩余质量为原质量的条件求解对应时间. 【详解】由半衰期定义，当时，剩余质量， 即，则. 当剩余质量为原质量的时，则， 所以. 由于指数函数为单调函数， 所以，则. 训练3-1．在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加：停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量随时间变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D． 停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C． 所以能反映血液中药物含量随时间变化的图象是B． 训练3-2．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法： ①浮萍每月的增长率为1； ②第5个月时，浮萍面积就会超过； ③浮萍每月增加的面积都相等； ④若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别是，，，则． 其中正确的说法是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】由图可得函数图像过，故即，故. 对于①，浮萍每月的增长率为，故①正确； 对于②，当时，，故②正确； 对于③，， 故当月增长大于上月增长，故③错误； 对于④，由题设有， 故即，故④正确. 训练3-3．（多选）某医药研究机构研发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（单位：微克）随时间t（单位：小时）变化的图象近似符合如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是（    ） A． B．按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D．按规定注射一次该药物，治疗该病的有效时长为小时 【答案】ACD 【分析】根据图象求出y与t之间的函数关系式，然后逐个分析判断即可. 【详解】由图可知当时，，因为在上，所以，所以， 所以y与t之间的函数关系式近似为， 对于A，当时，，即，得，故A正确． 对于BD，，当药物刚好起效时，即，得， 当药物刚好失效时，即，得， 所以该药物治疗该病的有效时长为（小时），故B错误，D正确． 对于C，注射该药物小时后，每毫升血液中的含药量为（微克），故C正确． 故选：ACD． 四、函数模型的应用实例 例4．在无人机集群搜救中，目标区域的未覆盖面积（单位：）与搜索时间（单位：）满足关系式，其中为目标区域总面积，为常数.某次演练中，搜索和后的未覆盖面积分别为和.下表给出了不同地形条件下，演练目标区域总面积指标的参考范围，则此次演练的地形属于（    ）. 地形复杂程度 高山峡谷 复杂山地 浅丘林地 平原水面 评判指标 参考数据：，. A．高山峡谷 B．复杂山地 C．浅丘林地 D．平原水面 【答案】C 【详解】由题意可得， 两式相除可得， 所以， 所以， 所以对应地形为浅丘林地. 训练4-1．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方法，即顾客在店内花钱满元（可以是现金，也可以是奖励券或二者合计），就送元奖励券；满元，就送元奖励券；满元，就送元奖励券，由此类推当日花钱最多的一位顾客共花出现金元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】利用奖励规则，先拆分元，现金得券，依次循环消费逐步计算出每次奖励券，再对奖励券求和即可. 【详解】这位顾客花的元可得奖励券（元），只有这位顾客继续把奖励券全部消费掉，他才能得到最多优惠，但当他把（元）奖励券消费掉可得到（元）奖励券，元奖励券又可得到（元）奖励券，元再加上先前的中的元共消费元应得奖励券（元），元奖励券消费时又得元奖励券，所以他总共会得到（元）优惠． 训练4-2．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是（   ） ①这几年人民生活水平逐年得到提高； ②人民生活费收入增长最快的一年是2000年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2001年； ④虽然2002年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善． A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 【答案】C 【详解】由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确； “生活费收入指数”年最陡，故②正确； “生活价格指数”在年是上升的，且上升最多，故上涨速度最快的一年是年，故③不正确； 由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确． 所以正确的有项. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $